微專題2橢圓雙曲線的離心率

離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要性質(zhì)，在近幾年的高考中頻繁出現(xiàn).在求離心率的值或范圍時(shí)常涉及平面幾何、不等式、方程等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，且方法靈活.一、由雙曲線的漸近線求離心率例1已知雙曲線兩漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為_(kāi)________.解析由題意知，雙曲線的漸近線存在兩種情況.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，若其中一條漸近線的傾斜角為60°，如圖1所示；若其中一條漸近線的傾斜角為30°，如圖2所示，反思感悟雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，可以借助

＝

進(jìn)行互求.一般地，如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程，或者已知漸近線方程，求離心率的值，都會(huì)有兩解(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況)，不能忘記分類討論.二、利用焦點(diǎn)三角形求離心率√解析如圖，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△PF1F2的中位線.所以O(shè)M∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因?yàn)椤螾F1F2＝30°，由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，(2)如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線

＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.解析如圖，連接AF1，由△F2AB是等邊三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2為直角三角形，反思感悟涉及到焦點(diǎn)三角形的題目一般都是利用圓錐曲線的定義，找a，b，c的關(guān)系，求解.三、利用齊次方程求離心率例3已知雙曲線E：

＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是_____.2|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負(fù)值舍去).反思感悟求圓錐曲線的離心率，就是求a和c的值或a和c的關(guān)系，然后根據(jù)離心率的定義求得.但在多數(shù)情況下，由于受到題目已知條件的限制，很難或不可能求出a和c的值，只能將條件整理成關(guān)于a和c的關(guān)系式，進(jìn)而求得

的值，其關(guān)鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來(lái)建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化簡(jiǎn)為參數(shù)a，c的關(guān)系式進(jìn)行求解.四、求離心率的取值范圍又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，(2)已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|＝10，雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2)，求橢圓的離心率的取值范圍.解設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半焦距分別為a1，c，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)、半焦距分別為a2，c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，反思感悟求圓錐曲線離心率的取