【測量學(xué)】第6章-測量誤差基本知識課件

第6章測量誤差基本知識6.1

測量誤差概述一、測量誤差1.測量誤差（ObservationMagementError）觀測量的觀測值與其真值之差，包括觀測誤差和模型誤差。

觀測誤差：觀測值發(fā)生的偏差。如：對同一量進行多次觀測，其結(jié)果通常略有差異。

模型誤差：數(shù)學(xué)模型不同而導(dǎo)致待求量發(fā)生的偏差。如：二、觀測誤差產(chǎn)生的原因1.儀器的原因（InstrumentalErrors）每一種測量儀器具有一定的精確度，使測量結(jié)果受到一定的影響。另外，儀器結(jié)構(gòu)的不完善，也會引起觀測誤差。2.觀測者的原因（PersonalErrors）由于觀測者的感覺器官的辨別能力存在局限性，在儀器對中、整平、瞄準、讀數(shù)等操作時都會產(chǎn)生誤差。3.外界環(huán)境的影響（NaturalErrors）

測量作業(yè)環(huán)境的溫度、氣壓、濕度、風(fēng)力、日光照射、大氣折光、煙霧等客觀情況時刻在變化，使測量結(jié)果產(chǎn)生誤差。例如，溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮，風(fēng)吹和日光照射使儀器的安置不穩(wěn)定，大氣折光使望遠鏡的瞄準產(chǎn)生偏差等。

三、測量誤差的分類與處理原則

1.

系統(tǒng)誤差（SystematicError）

在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。如：鋼尺的尺長誤差等。系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響具有累積性，因而對成果質(zhì)量的影響也特別顯著。但由于它具有規(guī)律性，可采用下列方法消除或削弱其影響：計算改正數(shù)。采用一定的觀測方法。2.

偶然誤差（AccidentError，&RandomError）

在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，其大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。

如讀數(shù)誤差、照準誤差等。

偶然誤差是不可避免的，且具有統(tǒng)計規(guī)律性，可應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的方法加以處理。

3.

粗差（Blunder,&GrossError）

觀測數(shù)據(jù)中存在的錯誤，稱為粗差。是由于作業(yè)人員的粗心大意或各種因素的干擾造成的，如瞄錯目標、讀錯大數(shù)，光電測距、GPS測量中對載波信號的干擾等。

粗差必須剔除，而且也是可以剔除的。

4.

誤差處理原則

在進行觀測數(shù)據(jù)處理時，按照現(xiàn)代測量誤差理論和測量數(shù)據(jù)處理方法，可以消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響；探測粗差的存在并剔除之；對偶然誤差進行適當(dāng)處理，來求得被觀測量的最可靠值。四、偶然誤差的特性

設(shè)某一量的真值為X，在相同的觀測條件下對此量進行n次觀測，得到的觀測值為l1，l2，…，ln

，在每次觀測中產(chǎn)生的誤差（又稱“真誤差”）為Δ1，Δ2，…Δn，則定義

從單個偶然誤差來看，其符號的正、負和數(shù)值的大小沒有任何規(guī)律性。但是，如果觀測的次數(shù)很多，觀察其大量的偶然誤差，就能發(fā)現(xiàn)隱藏在偶然性下面的必然規(guī)律。進行統(tǒng)計的數(shù)量越大，規(guī)律性也越明顯。下面結(jié)合某觀測實例，用統(tǒng)計方法進行說明和分析。

實例

在某一測區(qū)，在相同的觀測條件下共觀測了358個三角形的全部內(nèi)角，由于每個三角形內(nèi)角之和的真值（180°）為已知，因此，可以上式計算每個三角形內(nèi)角之和的真誤差Δi，將它們分為負誤差和正誤差，按誤差絕對值由小到大排列次序。以誤差區(qū)間dΔ=3″進行誤差個數(shù)k的統(tǒng)計，并計算其相對個數(shù)k／n（n＝358），k／n稱為誤差出現(xiàn)的頻率。

誤差區(qū)間dΔ"負誤差正誤差誤差絕對值KK/nKK/nKK/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581.000

由此，可以歸納出偶然誤差的特性如下：有限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。集中性：絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小。對稱性：絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的出現(xiàn)頻率。抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零，即：由上圖可以看出：偶然誤差的出現(xiàn)符合正態(tài)分布，其分布曲線的方程式為：

+3+6+9+12+15+18+21+24X=Δ-24-21-18-15-12-9-6-30式中，參數(shù)σ為觀測誤差的標準差。從中可以看出正態(tài)分布具有偶然誤差的特性。即

f(△)是偶函數(shù)，即絕對值相等的正、負誤差求得的f(△)相等，故曲線對稱于縱軸。△越小，f(△)越大；△越大，f(△)越小。當(dāng)△=0時，f(△)最大，其值為當(dāng)方差為偶然誤差平方的理論平均值：

標準差為

由上式可知，標準差的大小決定于在一定條件下偶然誤差出現(xiàn)的絕對值的大小。由于在計算標準差時取各個偶然誤差的平方和，因此，當(dāng)出現(xiàn)有較大絕對值的偶然誤差時，在標準差的數(shù)值大小中會得到明顯的反映。6.2

衡量精度的標準

一、精度（Precision）

測量值與其真值的接近程度準確度（Accuracy）：表示測量結(jié)果與其真值接近程度的量。反映系統(tǒng)誤差的大小。精密度（Precision

）：表示測量結(jié)果的離散程度。反映偶然誤差的大小量。二、衡量精度的指標

1.中誤差（rootmeansquareerror）

根據(jù)偶然誤差概率分布規(guī)律，以標準差σ為標準衡量在一定觀測條件下觀測結(jié)果的精度是比較合適的。在測量中定義：按有限次觀測的偶然誤差求得的標準差為中誤差，用m表示，即兩組觀測值的誤差絕對值相等m1<m2，第一組的觀測成果的精度高于第二組觀測成果的精度次序第一組觀測第二組觀測

觀測值真誤差Δ"Δ２觀測值真誤差Δ"Δ２１180°00ˊ03"-39180°00ˊ00"00２180°00ˊ02"-24179°59ˊ59"+11３179°59ˊ58"+24180°00ˊ07"-749４179°59ˊ56"+416180°00ˊ02"-24５180°00ˊ01"-11180°00ˊ01"-11６180°00ˊ00"00179°59ˊ59"+11７180°00ˊ04"-416179°59ˊ52"+864８179°59ˊ57"+39180°00ˊ00"00９179°59ˊ58"+24179°59ˊ57"+39１０180°00ˊ03-39180°00ˊ01"-11Σ|

|247224130中誤差

-m2-m1+m1+m2XY不同中誤差的正態(tài)分布曲線2.相對誤差（relativeerror）

觀測值的中誤差與觀測值之比，一般用分子為1的分式表示。例如：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm

，不能認定其精度相同，前者的相對中誤差為0.02／200

＝1／10000，而后者則為0.02／40＝l／2000，顯然前者的量距精度高于后者。3.極限誤差（limiterror）

根據(jù)正態(tài)分布曲線，可以表示出偶然誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間dΔ中的概率：根據(jù)上式的積分，可得到偶然誤差在任意大小區(qū)間中出現(xiàn)的概率。設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率為：

分別以k＝1，2，3代入上式，可得到偶然誤差的絕對值不大于中誤差、2倍中誤差和3倍中誤差的概率：

由此可見，偶然誤差的絕對值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5%，而大于3倍中誤差的僅占誤差總數(shù)的0.3%。一般進行的測量次數(shù)有限，2倍中誤差應(yīng)該很少遇到，因此，以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為允許誤差，簡稱“限差”，即

Δ允＝2m

現(xiàn)行測量規(guī)范中通常取2倍中誤差作為限差。6.3

誤差傳播定律一、誤差傳播定律觀測值的誤差對觀測值函數(shù)的影響。用觀測值的中誤差去表征待求量中誤差的數(shù)學(xué)模型，則為中誤差傳播定律。二、線性函數(shù)的中誤差傳播定律設(shè)Xi（i=1,2,

…,n）是一組獨立觀測量，而Y是Xi的函數(shù)，即：

式中，系數(shù)ai已知，且假定無誤差。設(shè)xij是第i個觀測量的第j次觀測值，則按上式求出待定量的計算值yj為：將（2）式減去（1）式得：當(dāng)對Xi各觀測k次時，上式將共有k個，分別將各式兩邊平方，并對k個式求其和，再除以觀測次數(shù)k，考慮到偶然誤差的抵償性，可得：顧及中誤差的定義公式，并設(shè)Xi的中誤差為mi，則可得：三、非線性函數(shù)的中誤差傳播定律

設(shè)有非線性函數(shù)Y=f（X1，X2，…，Xn），Xi（i=1,2,

…,n）為獨立觀測量，并設(shè)Xi的中誤差為mi，為此，可先將非線性函數(shù)線性化，然后再按線性函數(shù)處理。

四、誤差傳播定律的應(yīng)用

1.步驟：列出正確的函數(shù)模型注意：模型符合測量事實；觀測量各自獨立非線性函數(shù)線性化運用誤差傳播定律

2.應(yīng)用舉例例1：用尺長為l的鋼尺丈量距離S，共丈量4個尺段，設(shè)丈量一個尺段的中誤差為m，試求S的中誤差。解一：應(yīng)用誤差傳播定律得：

解二：應(yīng)用誤差傳播定律得：由兩種解算方法的結(jié)果可以看出：距離S的中誤差不相等，顯然，解二的數(shù)學(xué)模型是錯誤的。例2：設(shè)有函數(shù)。若X、Y為獨立觀測量，其觀測值中誤差為mx、my

，試求U的中誤差。解一：由線性中誤差傳播定律，顯然有：則有：解二：由于應(yīng)用線性函數(shù)中誤差傳播定律，得：即：顯然，這兩種解法中至少有一種解法是錯誤的。解法一中由于未考慮觀測量的獨立性，顯然是錯誤的。例3：設(shè)有函數(shù)若觀測值d=180.23m，中誤差md=±0.05m；δ=61°22′10″，其中誤差為mδ=±20″，試求y的中誤差。解：故有：思考題設(shè)自已知點A向待定點B進行水準測量，共觀測n站。設(shè)每站的觀測精度相同，其中誤差為m站，試求A、B兩點間高差的中誤差。例4：水平角觀測限差的制定

水平角觀測的精度與其誤差的綜合影響有關(guān)，對于J6光學(xué)經(jīng)緯儀來說，設(shè)計時考慮了有關(guān)誤差的影響，保證室外一測回的方向中誤差為±6″。實際上，顧及到儀器使用期間軸系的磨損及其它不利因素的影響，設(shè)計精度一般高于±6″，新出廠的儀器，其野外一測回的方向中誤差小于±6″，在精度上有所富裕。

對于水平角觀測的精度，通常以某級經(jīng)緯儀的標稱精度作為基礎(chǔ)，應(yīng)用誤差傳播定律進行分析，求得必要的數(shù)據(jù)，再結(jié)合由大量實測資料經(jīng)統(tǒng)計分析求得的數(shù)據(jù)，考慮系統(tǒng)誤差的影響來確定。下面僅以標稱精度為基礎(chǔ)進行分析。6.3

誤差傳播定律設(shè)J6經(jīng)緯儀室外一測回的方向中誤差為：（1）一測回角值的中誤差（2）半測回方向值的中誤差（3）歸零差的限差（4）同一方向值各測回較差的限差6.4等精度觀測值平差一、等精度觀測與非等精度觀測等精度觀測

在相同的觀測條件下所進行的觀測。由等精度觀測而獲得的觀測值稱為等精度觀測值。非等精度觀測在不同的觀測條件下所進行的觀測。由非等精度觀測而獲得的觀測值稱為非等精度觀測值。二、測量平差由于觀測結(jié)果不可避免地存在偶然誤差的影響，因此，在實際工作中，為提高成果質(zhì)量，同時也為了檢查和及時發(fā)現(xiàn)觀測值中的粗差，通常進行多余觀測。（例如：一個平面三角形，只要觀測其中的兩個內(nèi)角，即可確定其形狀，但通常是觀測三個內(nèi)角）。由于偶然誤差的存在，通過多余觀測必然會發(fā)現(xiàn)觀測結(jié)果不一致。因此，必須對帶有偶然誤差的觀測值進行處理，使得消除不符值后的結(jié)果，可認為是觀測值的最可靠結(jié)果。由此可知，測量平差的任務(wù)是：（1）對一系列帶有觀測誤差的觀測值，運用概率統(tǒng)計的方法來消除它們之間的不符值，求出未知量的最可靠值。（2）評定測量成果的精度三、等精度直接觀測值平差1.算術(shù)平均值原理

在相同的觀測條件下，對某個未知量進行n次觀測，其觀測值分別為l1，l2,…，ln，將這些觀測值取算術(shù)平均值，作為該量的最或是值，即：現(xiàn)用偶然誤差的特性來證明:設(shè)某一量的真值為X，各次觀測值為l1，l2,…，ln

，其相應(yīng)的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn，則將上列等式相加，并除以n，得到等式兩端取極限，則由偶然誤差的抵償性，有故可得：2.觀測值的改正數(shù)及其性質(zhì)觀測值的最或是值與觀測值之差，即：將上列等式相加，得

即：一組觀測值的改正值之和恒等于零。這一特性可以作為計算