2022-2023學(xué)年重慶墊江第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年重慶墊江第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略2.函數(shù)f（x）=ln（x+1）﹣的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A．（3，4） B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【分析】根據(jù)所給的幾個(gè)區(qū)間看出不在定義域中的區(qū)間去掉，把所給的區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值求出，若一個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)的函數(shù)值符合相反，得到結(jié)果．【解答】解：∵在（0，+∞）單調(diào)遞增∵f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴f（1）f（2）＜0∴函數(shù)的零點(diǎn)在（1，2）之間，故選：C．3.一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)．已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為………………(

)

（A）6

（B）2

（C）

（D）

參考答案：D4.函數(shù)f（x）=的定義域是A．(-1,

1)

B．

C．

D．參考答案：B略5.如圖，是拋物線的一條經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的弦，與兩坐標(biāo)軸不垂直，已知點(diǎn)，，則的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C則化簡(jiǎn)得因?yàn)樗裕蔬xC.考點(diǎn)：1、拋物線的幾何性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想；2、直線的點(diǎn)斜式方程及韋達(dá)定理.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查直線的點(diǎn)斜式方程及韋達(dá)定理、拋物線的幾何性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決選擇題、填空題是發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將已知曲線的性質(zhì)研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).6.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：C因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(,)，由此復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故選C.

7.一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：B蜜蜂“安全飛行”區(qū)域?yàn)槔忾L(zhǎng)為1的正方體,其體積為1.而棱長(zhǎng)為3的正方體的體積為27.故所求概率為.選B.8.已知過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F（﹣c，0）和虛軸端點(diǎn)E的直線交雙曲線右支于點(diǎn)P，若E為線段EP的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意，P（c，2b），代入雙曲線方程，即可轉(zhuǎn)化求出該雙曲線的離心率．【解答】解：由題意過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F（﹣c，0）和虛軸端點(diǎn)E的直線交雙曲線右支于點(diǎn)P，若E為線段EP的中點(diǎn)，可得P（c，2b），由雙曲線方程，可得=1，∴e=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．9.若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略10.圓（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直線3x+4y﹣11=0的距離等于1的點(diǎn)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：C【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】由圓的方程找出圓心A的坐標(biāo)和半徑r=3，然后由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心A到已知直線的距離為2，由AE﹣AD=DE，即3﹣2=1求出DE的長(zhǎng)，得到圓A上的點(diǎn)到已知直線距離等于1的點(diǎn)有三個(gè)，如圖，點(diǎn)D，P及Q滿足題意．【解答】解：由圓的方程，得到圓心A坐標(biāo)為（3，3），半徑AE=3，則圓心（3，3）到直線3x+4y﹣11=0的距離為d==2，即AD=2，∴ED=1，即圓周上E到已知直線的距離為1，同時(shí)存在P和Q也滿足題意，∴圓上的點(diǎn)到直線3x+4y﹣11=0的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)．故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示2×2方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1、2、3、4中的任何一個(gè)，允許重復(fù)，則填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為_(kāi)________．參考答案：略12.在中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且滿足,則的最大值是

.參考答案：略13.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項(xiàng)和.若是方程的兩個(gè)根，則_________．參考答案：

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14.在某大型企業(yè)的招聘會(huì)上，前來(lái)應(yīng)聘的本科生、碩士研究生和博士研究生共2000人，各類畢業(yè)生人數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，則博士研究生的人數(shù)為_(kāi)____.參考答案：略15.已知點(diǎn)在曲線上，為曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則的取值范圍是___________________參考答案：或，即切線的斜率為，所以，因?yàn)椋?，即，所以，即的取值范圍是?6.若函數(shù)的最大值與最小值分別為M,m，則M+m=

參考答案：6

略17.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_______________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分10分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，且..（I）求的值；（II）若面積的最大值.

參考答案：（I）；（II）【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的性質(zhì)解三角形解析：（I）在△ABC中，由余弦定理可知，，由題意知，∴；又在△ABC中A+B+C=π,∴（II）∵b=2，∴由可得，∴，∵，∴，∴，∴△ABC面積的最大值為.【思路點(diǎn)撥】熟悉余弦定理特征是求角B的關(guān)鍵，當(dāng)已知三角形內(nèi)角時(shí)注意利用含夾角的面積公式進(jìn)行解答.19.將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計(jì)、面積為100dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個(gè)矩形（B，C全等），用來(lái)制成一個(gè)柱體．現(xiàn)有兩種方案：方案①：以為母線，將A作為圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)圓形作為圓柱的兩個(gè)底面；方案②：以為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)正方形（各邊分別與或垂直）作為正四棱柱的兩個(gè)底面．

（1）設(shè)B，C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑；（2）設(shè)的長(zhǎng)為dm，則當(dāng)為多少時(shí)，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？參考答案：（1）設(shè)所得圓柱的半徑為dm，

則，

……4分

解得．

……6分

（2）設(shè)所得正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為dm，

則即

……9分

方法一：

所得正四棱柱的體積

……11分

記函數(shù)

則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，．

所以當(dāng)，時(shí)，dm3．

……14分

方法二：

，從而．

……11分

所得正四棱柱的體積．

所以當(dāng)，時(shí)，dm3．

……14分答：（1）圓柱的底面半徑為dm；

（2）當(dāng)為時(shí)，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大．

……16分【評(píng)分說(shuō)明】①直接“由得，時(shí)正四棱柱的體積最大”給2分；②方法一中的求解過(guò)程要體現(xiàn)，凡寫成的最多得5分，

其它類似解答參照給分．20.已知函數(shù)，，.（1）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.參考答案：，所以，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，

略21.（本小題滿分14分）已知橢圓C:離心率，短軸長(zhǎng)為．(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)如圖，橢圓左頂點(diǎn)為A，過(guò)原點(diǎn)O的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)．試問(wèn)以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（與直線PQ的斜率無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

參考答案：（Ⅰ）．（Ⅱ）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．證明見(jiàn)解析.試題分析：（Ⅰ）由短軸長(zhǎng)為，得，由，得．（Ⅱ）設(shè)，，則有，從而直線方程，得到，由直線方程，得到，以為直徑的圓，根據(jù)，得到，令，解得即知以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．試題解析：（Ⅰ）由短軸長(zhǎng)為，得，

………………1分由，得．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

………………4分（Ⅱ）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．

………………5分證明如下：設(shè)，則，且，即，∵，∴直線方程為：，∴……………6分直線方程為：，∴，

………………7分以為直徑的圓為

………………10分【或通過(guò)求得圓心，得到圓的方程】即，

∵，∴，

………………12分令，則，解得.∴以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．

…………14分考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.圓的方程.22.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a1+a2+a3+…+an=an+1﹣1（n∈N），數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜對(duì)所有n∈N，都成立的最小正整數(shù)m．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）通過(guò)a1+a2+a3+…+an﹣1+an=an+1﹣1與a1+a2+a3+…+an﹣1=an﹣1作差，進(jìn)而計(jì)算可知=（n∈N），利用累乘法計(jì)算可知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）通過(guò)（1），利用等差數(shù)列的求和公式裂項(xiàng)可知bn=2（﹣），進(jìn)而利用并項(xiàng)相消法可知Tn=，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列{Tn}的最大值，計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：（1）∵a1+a2+a3+…+an﹣1+an=an+1﹣1（n∈N），∴當(dāng)n≥2時(shí)，a1+a2+a3+…+an﹣1=an﹣1，兩式相減得：an=an+