高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法教學(xué)課件

高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法課件41、俯仰終宇宙，不樂復(fù)何如。42、夏日長抱饑，寒夜無被眠。43、不戚戚于貧賤，不汲汲于富貴。44、欲言無予和，揮杯勸孤影。45、盛年不重來，一日難再晨。及時當勉勵，歲月不待人。高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法課件高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法課件41、俯仰終宇宙，不樂復(fù)何如。42、夏日長抱饑，寒夜無被眠。43、不戚戚于貧賤，不汲汲于富貴。44、欲言無予和，揮杯勸孤影。45、盛年不重來，一日難再晨。及時當勉勵，歲月不待人?！?.3高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法一、可降階的一些方程類型n階微分方程的一般形式:1不顯含未知函數(shù)x,或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到k-1(k>1)階導(dǎo)數(shù)的方程是若能求得(4.58)的通解對上式經(jīng)過k次積分,即可得(4.57)的通解即

2不顯含自變量t的方程,

一般形式:因為用數(shù)學(xué)歸納法易得:將這些表達式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一階

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解解令則方程化為從而可得及這兩方程的全部解是例2再代回原來變量得到所以得原方程的通解為

3已知齊線性方程的非零特解,進行降階的非零解令則代入(4.69)得即引入新的未知函數(shù)方程變?yōu)槭且浑A線性方程,解之得因而則因此(4.69)的通解為

解題步驟:第一步:第二步:解之得即第三步:第四步:(4.69)的通解為注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)解這里由(4.70)得例3代入(4.2)得事實上若則即因此,對(4.67)仿以上做法,二、二階線性方程的冪級數(shù)解法對二階變系數(shù)齊線性方程其求解問題,歸結(jié)為尋求它的一個非零解.下面考慮該方程及初始條件用級數(shù)表示解?定理10定理11例4解設(shè)級數(shù)為方程的解,由初始條件得:因而將它代入方程,合并同類項,并令各項系數(shù)等于零,得即因而也即故方程的解為例5解將方程改寫為易見,它滿足定理11條件,且將(4.75)代入(4.74)中,得由(4.76)得即從而可得因此(4.77)變?yōu)槿羧t可得(4.74)的另一個特解由達朗貝爾判別法,對任x值(4.77),(4.78)收斂.因而(4.74)的通解為因此,不能象上面一樣求得通解;因此,(4.74)的通解為例6解代入方程得代回原來的變量得原方程的通解為作業(yè)P1652,5,P1658,1031、只有永遠躺在泥坑里的人，才不會再掉進坑里?！诟駹?/p>

32、希望的燈一旦熄滅，生活剎那間變成了一片黑暗?！樟心凡?/p>

33、希望是人生的乳母。——科策布