第九講解直角三角形應用

第九講

解直角三角形的應用西南位育中學劉辰解直角三角形的應用知識梳理1、測量問題基本概技念能ɑb仰角2、：坡水面平問線題與向上視線的C夾角BAAB

bsin

ab=

sin

a

\

AB

==

cot

a

\

BC

=

b

cot

a3、b預測問題俯角B：C水平線與向下視線的夾角???盡量使用原始數(shù)據(jù)減小誤差例題解析----測量問題例1.飛機在空中A測得地面目標B的俯角為53°,飛行高度為1200

km,求此時飛機與目標B間的距離。(精確到個位)（參考數(shù)據(jù)：sin

53

）?

0.80,

sin

37

?

0.60,

tan

37

?

0.75ABCD1200解:在RtDABC中—

ABC

=

53 ,

AC

=1200sin

53

0.80AC\

AB

= ?

1200

=

1500誤53°誤答：此時飛機與目標B間的距離約為1500km。即時小結：明確概念（如仰角、俯角、距離等）方能實現(xiàn)數(shù)學量與現(xiàn)實量之間的一一匹配。例題解析----測量問題CDBA100EF例2.

在距地面100米高的平臺上，測得地面上一塔頂與塔基的俯角分別為30°，60°，求塔高。分析:AB=BF

-

AFCD=100RtDACF中RtDBCF中CF?—ACF=30BF

=100,—BCF=

60例題解析----測量問題CDBA100EF3—

ACF

=30

,CF

=

100

33

3

33

=100\

AF

=CF

?tan30

=100 3

·\

AB

=

BF

-

AF

=100-100

=

2003

33答：塔高為200

米。100

33\

CF

=

BF

?cot

60

=在RtDACF中例2.

在距地面100米高的平臺上，測得地面上一塔頂與塔基的俯角分別為30°，60°，求塔高。解：過點C作CE//DB，延長BA交CE于點F在RtDBCF中

—

BCF

=

60 ,

BF

=100例題解析----測量問題接下來依次求解Rt△BCD和Rt△ACG,例2.

在距地面100米高的平臺上，測得地面上一塔頂與塔基的俯角分別為30°，60°，求塔高。CDB即時小結A

另解：過點A作AG⊥CD，垂足為點G。，G100無論以上哪種做法，我們不難看到，構造直角三角形，發(fā)現(xiàn)可解的直角三角形始終是解決此類題型的前提。CD

BA100FE獲得結論。CDBAH發(fā)現(xiàn)等腰△ABC求解Rt△BCD和Rt△AHB3、預測問題知識梳理解直角三角形的應用1、測量問題2題斜坡問題基本概念1)坡角—

BAC,

(0

<

—

BAC

<

90

)=

tan

—

BAC水平距離鉛垂高度2)坡比(坡度)記作i

=、坡面問題3、預測問題表達形式i=1：m

堤壩問CAB鉛垂高度水平距離坡面表達形式i=1：m知識梳理解直角三角形的應用1、測量問題2、坡面問題斜坡問題基本概念堤壩問題堤壩

問題3、預測問題3、預測問題壩高壩底迎水坡壩頂壩長ABCD

背水坡EE知識梳理解直角三角形的應用1、測量問題坡面問題BAC

90

)基本技概能念m鉛垂A高C度2)\坡A比C(坡=度m)記x作i

=水平距離=tan

—BAC表達形式i=1：m1)坡i角=—taBnA—CB,(A0

<C—=

x

<=

1坡面3、預測問3、預測問B題表達形式題表達形式鉛垂高度i=1i=1：m：m

C水平距離A

ABxC?i=

1：m例題解析----坡面問題例3.

測繪員從景觀臺(橫截面為梯形ABCD)的底部A沿坡面的AB方向走30米到達頂部B處,用測角儀(高度忽略不計)在點B處測得塔頂E的仰角是45°,沿BC方向走20米到達點C處。請求3FEDABCADF測得塔頂E的仰角是60°已知坡面AB的坡度是1:出塔高（精確到1米）。EB

45°C

60°FEDAB30例題解析----坡面問題分析:EF=EG+

GFBQRt

D

CGE

,

Rt

D

BGE

中RtDABQ中3

AB=30坡度1:例3.

測繪員從景觀臺(橫截面為梯形ABCD)的底部A沿坡面的AB方向走30米到達頂部B處,用測角儀(高度忽略不計)在點B處測得塔頂E的仰角是45°,沿BC方向走20米到達點C處出塔高（精確到1米）。3測得塔頂E的仰角是60°已知坡面AB的坡度是1:

。請求20G45°C

60°QEB例題解析----坡面問題分析:EF=EG+

GFCD=BQRtDABQ中3

AB=30坡度1:例3.

測繪員從景觀臺(橫截面為梯形ABCD)的底部A沿坡面的AB方向走30米到達頂部B處,用測角儀(高度忽略不計)在點B處測得塔頂E的仰角是45°,沿BC方向走20米到達點C處出塔高（精確到1米）。3測得塔頂E的仰角是60°已知坡面AB的坡度是1:

。請求G45°C

60°30

20A

Q

D

Fx\

20

=

x

cotBBCCRt

D

BGE

,

Rt

D

CGE

中45 ,

CG

=

x

cot 6

0--

CCGG45

-

x

cot 6

0BG

=

x

cot==

BBGGFEDAB30例題解析----坡面問題=

45

+

10 3

?

45

+

10

·

1

.7?

62

答

:

塔高約為

62

米.坡度

1

: 3

\\

EF

=

EGBQ

=

GF

=

15+

GF\

x

=

EG

=

30

+

10

3在

Rt

D

ABQ

中

AB

=

30,

—

EGB

=

45 ,

—

ECG

=

60

又

BG -

CG

=

BC

\

x

cot

45

-

x

cot 6

0

=

20例3.

測繪員從A沿AB方向走30米到達B處,用測角儀測得塔頂E的仰角是45°,沿BC方向走20米到達點C處測得塔頂E的仰角是60°已知坡面AB的坡度是1: 3

。請求出塔高（精確到1米）。解

:

作

CG

^

EF,

BQ

^

AF在

Rt

D

BGE

和

RtD

CGE

中設

EG

=

x20G45°C

60°QEDAB30例題解析----坡面問題45°C

60°GQ例3.

測繪員從A沿AB方向走30米到達B處,用測角儀測得塔頂E的仰角是45°,沿BC方向走20米到達點C處測得塔頂E的仰角是60°已知坡面AB的坡度是1: 3

。請求出塔高（精確到1米）。即時小結這是一道融合斜坡背景的測高問題，在較為復雜的圖形中，尋找或構造可解的直角三角形，依然是解題先決。2030F

ADFGQa\

EG

=cot

b

-

cot

aa

=

EG

cot

b

-

EG

cot

aE

BC

=

BG

-

CGabBB

b

C

a測高應用aEF= +

bcot

b

-

cot

a例題解析----堤壩問題例4.有一段防洪大堤，其橫截面為梯形

ABCD,

AD//BC,壩頂AD，壩高AG均為

6米。迎水坡

CD的坡比為

1:1，背水坡

AB

的坡比為

1:2

（1）若將大堤加高，加高部分橫截面為梯形

ADPQ,

PQ//AD,

點P,

Q分別在

CD,BA的延長線上，請問需加高

幾米，使壩頂寬

PQ長為

4

米。:1QABCDG61:21:21:21:14

PS

6

T3x

=2

米分析:

設QS

=

PT

=

x則AS

=2x,DT

=xAD

=

6

=

AS

+

ST

+TDST

=

PQ

=

4AD

=

6

=

2x

+

4

+

x1:211:13答：需加高2

米。

3

\

AD

=

6

=

2x

+

4

+

x

\

x

=

2解:作QS

^

AD,PT

^

AD.設QS

=PT

=

x

AQ坡比1:2\AS

=2x,同理TD

=x例題解析----堤壩問題例4.有一段防洪大堤，其橫截面為梯形

ABCD,

AD//BC,壩頂AD，壩高AG均為

6米。迎水坡

CD的坡比為

1:1，背水坡

AB

的坡比為

1:2

（1）若將大堤加高，加高部分橫截面為梯形

ADPQ,

PQ//AD,

點P,

Q分別在

CD,BA的延長線上，需加高

n米，使壩頂寬

PQ

長為

4米。1:1QABCDG61:21:21:1四邊形QSTP

是矩形\ST

=PQ

=44

PS

6

T√例題解析----堤壩問題例4.有一段防洪大堤，其橫截面為梯形ABCD,AD//BC,壩頂AD，壩高AG均為6米。迎水坡CD的坡比為1:1，背水坡AB的坡比為1:2（2）若將壩頂加寬2米(即AF=2米)，斜坡EF

的坡比為i=1:2.5,

求加寬壩底BE

的長。2

BG

=12tan

—

ABG

=

1

AG

=

62.51

EH

=15tan

—

FEB

=BE

=

EG

-

BG√HG

=

AF

=

2\

BE

=

(15

+

2)

-12

=

5分析：RtDABG中EG

=

(HG

+

EH

)EBCGRtDEFH中FH

=

6661:11:21:2.5F

2

A

DH例題解析----堤壩問題例4.有一段防洪大堤，其橫截面為梯形ABCD,AD//BC,壩頂AD，壩高AG均為6米。迎水坡CD的坡比為1:1，背水坡AB的坡比為1:2（2）若將壩底加寬2米(即AF=2米)，斜坡EF

的坡比為i=1:2.5,

求加寬壩底BE

的長。AB坡比1:2\BG

=12解:作FH

^

BC在RtDABG中,AG

=6,EF坡比1:2.5\FH

=15

在RtDEFH中,FH

=6,EB

BE

=

EG

-

BG

=

(EH

+

HG)

-

BG

又

HG

=AF

=2G

C

\

BE

=

(15

+

2)

-12

=

5答：壩底長5米。661:11:21:2.5F

2

A

DH例題解析----堤壩問題即時小結：在本題中堤壩加高，坡比不變；堤壩加寬，壩高不變。尋找變化中的不變量------解題線索通過作高將四邊形轉化為直角三角形與矩形------化歸思想1:1QBCDG61:21:2A1:14

PS

6

TEBCDG661:11:21:2.5F

2

AH知識梳理解直角三角形的應用1、測量問題斜坡問題3、預測問題一般是指以觀測者的位置為中心，基本概念2方如、向:坡B角面在：問A題的正南東南B45轉到A

目標的方A向線所成的A銳角。將正北或正南方向作為始邊，B旋30堤北壩偏問東題30B圖1圖2圖3例題解析----預測問題例5.臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風暴，有極強的破壞力。據(jù)氣象觀測，在沿海某城市A的正南方向220

千米B

處有一臺風中心，其中心最大風力為12

級，每遠離臺風中心20

千米，風力就減弱一級。該臺風中心現(xiàn)正以15

千米/時的速度沿北偏東30°方向往C

移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或超過四級，則稱為臺風影響。分析：（1）該城市是否會受到這次臺風的影響？如何鑒定城市會否城市到臺風中心沿線的最短距離d

?受到臺風城市受臺風影響的最大包圍圈的半徑r

?中心影響當d<r時，城市受到臺風中心影響例題解析----預測問題分析：例5.臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風暴，有極強的破壞力。據(jù)氣象觀測，在沿海某城市A的正南方向220

千米B

處有一臺風中心，其中心最大風力為12

級，每遠離臺風中心20

千米，風力就減弱一級。該臺風中心現(xiàn)正以15

千米/時的速度沿北偏東30°方向往C

移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或超過四級，則稱為臺風影響。AB22030°C（1）該城市是否會受到這次臺風的影響？D城市到臺風中心沿線的最短距離d

?AD=110110城市受臺風影響的最大包圍圈的半徑r

?r=(12-4)x20=160

110<160

受影響例題解析----預測問題AB22030°C例5.據(jù)氣象觀測，在沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風中心，其中心最大風力為12

級，每遠離臺風中心20千米，風力就減弱一級。該臺風中心現(xiàn)正以15千米/時的速度沿北偏東30°方向往C

移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或超過四級，則稱為臺風影響。（1）該城市是否會受到這次臺風的影響？解：過點A作AD⊥BC,垂足為DD在RtDABD中

AB

=220,—ABD=30\

AD

=110由題意,當A點距臺風中心不超過160千米時,將受影響,故該城市會受到此次臺風的影響。例題解析----預測問題例5.據(jù)氣象觀測，在沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風中心，其中心最大風力為12

級，每遠離臺風中心20千米，風力就減弱一級。該臺風中心現(xiàn)正以15千米/時的速度沿北偏東30°方向往C

移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或超過四級，則稱為臺風影響。（2）若會受到臺風影響，請求出影響該城市的持續(xù)時間AB220CD30°

EF分析：時間=路程÷速度路程:

EF=

2ED=

2

1602

-1102

=

60

15速度:v=15千米/時時間:

t

=

60 15

?15

=

4

15.160110\

t

=

60 15

?15

=

4

15答:

該城市受臺風影響持續(xù)

時間是4

15小時.例題解析----預測問題例5.據(jù)氣象觀測，在沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風中心，其中心最大風力為12

級，每遠離臺風中心20千米，風力就減弱一級。該臺風中心現(xiàn)正以15千米/時的速度沿北偏東30°方向往C

移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或超過四級，則稱為臺風影響。（2）若會受到臺風影響，請求出影響該城市的持續(xù)時間解:設AE

=AF=160則EF=

2ED=

2

1602

-1102

=

60

15v

=15千米/時AB220CD30°

EF.160110如何鑒定平房CD的采光會否受到影響例題解析----預測問題例6.如圖，CD為一幢3米高的平房，其南面窗戶的底框

G距地面1米，此時陽光照射CD在地面上留下的最大影長

CF為2米?，F(xiàn)欲在距C點7米的正南方A處建一幢12米高的樓房AB（設A、C、F在同一水平線上）問若大樓AB建成后,同一時刻下是否影響平房CD的采光，試說明原因。分析：HCDFG如圖所示:若CH>CG

則判斷為平房采光受到影響例6.如圖，CD為一幢3米高的平房，其南面窗戶的底框G距地面1米，此時陽光照射CD在地面上留下的最大影長

CF為2米?，F(xiàn)欲在距C點7米的正南方A處建一幢12米高的樓房AB（設A、C、F在同一水平線上）問若大樓AB建成后,同一時刻下是否影響平房CD的采光，試說明原因。由CH>CG

判斷為影響采光1即比較CG

與CH

的長度大小若以樓房AB為基準例題解析----預測問題312BFDC

27AG分析：12影長

2=3

,得影長為812BDC

1

P

F7A3HCH

=

tan

—

BPA

=

3CP

2CH

=3

得CH

=1.51

2則AB在地面上的最大影長？121QDC

T

F7AG11.5<12

判斷為影響采光即比較AB

與AQ

的長度大小例題解析----預測問題312BFDC

27AG=

3

=1

AQCT

2

7

+CT3得CT

=2

,AQ

=11.5例6.如圖，CD為一幢3米高的平房，其南面窗戶的底框

G距地面1米，此時陽光照射CD在地面上留下的最大影長

CF為2米?，F(xiàn)欲在距C點7米的正南方A處建一幢12米高的樓房AB（設A、C、F在同一水平線上）問若大樓AB建成后,同一時刻下是否影響平房CD的采光，試說明原因。分析：若以平房窗戶CG為基準例題解析----預測問題312BFDC

27AG3１1.5＜１2答:溫室采光會受影響.=

=\

CT

=

2

,

AQ

=11.5

GC

3

AQCT

2

ＡTQDC

T

F7AG1例6.如圖，CD為一幢3米高的