第四部分隨機(jī)變量課件

第四章隨機(jī)變量

隨機(jī)變量及分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是從數(shù)量的側(cè)面來研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科,為了全面地研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,揭示客觀存在著的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,我們將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來,將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化,引入隨機(jī)變量的概念.

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量

例1

在裝有m個(gè)紅球，n個(gè)白球的袋子中，隨機(jī)取一球，觀察取出球的顏色.此時(shí)觀察對(duì)象為球的顏色，若以數(shù)“1”表示取到的是紅球，“0”表示取到的是白球，那么我們就可以將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)聯(lián)系起來，引入量化指標(biāo)X：Ω={a1,a2,…,am,b1,b2,…,bm,}其中，ai表示紅球（i=1，2，…，m）

bj表示白球（j=1，2，…，n）此試驗(yàn)的樣本空間為

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量

在實(shí)驗(yàn)之前，X將取什么值是不確定的，而一旦有了試驗(yàn)結(jié)果后，X的值就完全確定.比如對(duì)1≤i≤m,

X(ai)=1,

對(duì)1≤j≤n,

X(bj)=0.P(X=1)=P(X=0)=且，X的取值有一定的概率m/(m+n)n/(m+n)

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量

例2拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).此時(shí)觀察對(duì)象為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)Ω={1,2,3,4,5,6}試驗(yàn)的樣本空間為引入量化指標(biāo)X,并令：即

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量上述例子中，試驗(yàn)結(jié)果可用一個(gè)數(shù)X來表示，這個(gè)數(shù)X隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果的不同而變化，即它是樣本點(diǎn)的一個(gè)函數(shù)，這種變量稱為隨機(jī)變量.常用大寫英文字母X，Y，Z

等表示.下面給出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)定義.

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量定義：對(duì)給定的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，Ω={ω}是試驗(yàn)的樣本空間，如果量X是定義在Ω上的一個(gè)單值實(shí)函數(shù)，即對(duì)于每一個(gè)ωΩ

，有且只有一實(shí)數(shù)X=X(ω)與之對(duì)應(yīng)，則稱

X=X(ω)為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用大寫字母X、Y、Z等表示，用字母小寫x、y、z等表示其取值。

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量注：隨機(jī)變量X()與高等數(shù)學(xué)中的實(shí)函數(shù)的區(qū)別：

X()的定義域是樣本空間，而不一定是實(shí)數(shù)集；

X()的取值是隨機(jī)的，它的每一個(gè)可能取值

隨機(jī)變量是隨機(jī)事件的數(shù)量化.即對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x,{X()≤x}是隨機(jī)事件.都有一定的概率；

對(duì)于隨機(jī)變量,我們常常關(guān)心它的取值.

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量特點(diǎn)：1.X的全部可能取值是互斥且完備的

2.X的部分可能取值描述隨機(jī)事件分類：隨機(jī)變量例4:考察擲兩次硬幣這一試驗(yàn)，樣本空間為S=｛HH，HT，TH，TT｝，令X表示正面出現(xiàn)的次數(shù)，X是一隨機(jī)變量，且有｛X＝1＝｛HT，TH｝，值域Rx=｛0，1，2｝例5:假設(shè)我們關(guān)心某地區(qū)居民的身高情況，可引入隨機(jī)變量X：(單位cm)

X＝隨機(jī)抽出一個(gè)人其身高

則X就是隨機(jī)變量，事件“隨機(jī)抽出一個(gè)人的身高不超過170cm”可表示為｛X≤170｝。

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量

例6

從一批量為N、次品率為p的產(chǎn)品中，不放回抽取n（n≤Np）個(gè)，觀察此樣品中的次品數(shù).此時(shí)觀察對(duì)象為樣品的次品數(shù)，我們記之為Y，那么Y的可能的取值為0，1，2,…,n.引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)下的各種形式的隨機(jī)事件,比如本例中：A={沒有次品}A={ω|Y(ω)=0}A={Y=0}B={至少有2個(gè)次品}B={ω|Y(ω)≥2}B={Y≥2}C={不多于k個(gè)次品}C={ω|Y(ω)≤k}B={Y≤k}例7:某射手向一目標(biāo)射擊，其彈著點(diǎn)的橫坐標(biāo)X是一隨機(jī)變量，其縱坐標(biāo)Y也是隨機(jī)變量。例8:一批產(chǎn)品共100件，其中95件合格，5件不合格。從中有放回地一件一件地取產(chǎn)品，直到取出一件合格品為止時(shí)所取出的產(chǎn)品件數(shù)X是一隨機(jī)變量。

Rx={1,2,...}例9:一個(gè)月某交通路口的事故數(shù)X，是隨機(jī)變量。例10:用天平稱量某物體的重量的誤差X，是隨機(jī)變量。

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

如果我們對(duì)隨機(jī)事件{X()≤x}求概率,就引出了隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念.1.分布函數(shù)的定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱定義域?yàn)?-∞,+∞),函數(shù)值在區(qū)間[0,1]上的實(shí)值函數(shù)F(x)=P(X≤x)(-∞<x<+∞)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

例4

設(shè)一口袋中依次標(biāo)有-1,2,2,2,3,3數(shù)字的六個(gè)球，從中任取1個(gè)球，記X為取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，求X的分布函數(shù).當(dāng)x〈-1時(shí)，解：X的可能取值為-1，2，3，取這些值的概率分別為1/6，1/2，1/3{X≤x}是不可能事件，F(xiàn)(x)=0;當(dāng)-1≤x〈2時(shí)，{X≤x}等同于{X=-1}，F(xiàn)(x)=1/6;當(dāng)2≤x〈3時(shí)，{X≤x}等同于{X=-1或X=2}，F(xiàn)(x)=2/3;當(dāng)x≥3時(shí)，{X≤x}是必然事件，F(xiàn)(x)=1;-11232/31/31xF(x)F(x)的示意圖

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)由此題可以看出一般地，若X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布P(X=xk)=Pk(k=1,2,3…)則X的分布函數(shù)為

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)注1：（1）由分布函數(shù)的定義知，分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值是事件F(x)=P{X≤x}=P({e|X(e)≤x}的概率。

若把X看成數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值，就是表示X落在區(qū)間[-∞,x]上的概率。（2）若已知x的分布函數(shù)F(x)，我們就知道了X落在任一區(qū)間的概率，從這個(gè)意義上講，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。（3）分布函數(shù)是在(-∞,+∞)上值域?yàn)閇0，1]的普通函數(shù)，它具有良好的分析性質(zhì)，許多概率論的問題歸結(jié)為函數(shù)的運(yùn)算從而利用數(shù)字分析出許多結(jié)果，這是引入分布函數(shù)的好處之一，再加上分布函數(shù)對(duì)任意隨機(jī)變量都有定義，因此分布函數(shù)在理論上有極重要的地位。

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)注2：（1）隨機(jī)變量X是一個(gè)從樣本空間到實(shí)數(shù)空間的函數(shù)，它的定義域?yàn)闃颖究臻gΩ。它的值域Rx為全體實(shí)數(shù)集或它的一個(gè)子集。（2）從隨機(jī)變量的定義來看，它與通常的函數(shù)概念沒有什么不同，把握這個(gè)概念的關(guān)鍵之點(diǎn)在于試驗(yàn)前后之分：在試驗(yàn)前，我們不能預(yù)知它取何值，這要憑機(jī)會(huì)，“隨機(jī)”的意思就在這里，一旦試驗(yàn)完成后，它的取值就確定了。

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.分布函數(shù)的性質(zhì)(1)由于對(duì)于任意的為一概率,根據(jù)概率公理化定義,有證

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)重要公式

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)重要公式

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

4.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)解：例2．一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)擊中都能中靶，以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離。試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

解:若x<0,則{X≤x}是不可能事件，于是

F(x)=P{X≤x}=0

若0≤x≤2，由題意，P{0≤X≤x}=kx2,k是某一常數(shù)，為了確定k的值，取x=2，有

隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

若x≥2，由題意{X≤x}是必然事件，于是F(x)=1

綜合上述，即得X的分布函數(shù)為P{0≤X≤2}=22k，但已知P{0≤X≤2}=1，故得k=1/4，即P{0≤X≤x}=x2/4，于是F(x)=P{X≤x}=P{x<0}+P{0≤X≤x}=x2/4隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)它的圖形是一條連續(xù)的曲線，如圖

隨機(jī)變量及分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為:求:(1)常系數(shù)A及B;

(2)隨機(jī)變量X落在(-1,1)內(nèi)的概率.解(1)根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)可知依題意可得練習(xí)1聯(lián)立上面兩個(gè)方程可以解得

(2)隨機(jī)變量X落在(-1,1)內(nèi)的概率可以表示為練習(xí)2拋擲均勻硬幣求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解1．離散型隨機(jī)變量的定義

設(shè)X為一隨機(jī)變量，如X的全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，則稱隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量。

4.2離散型隨機(jī)變量

一、離散型隨機(jī)變量的分布律定義設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，X的所有可能取的值為xk(k=1，2…)，記X取xk

的概率為

P{X=xk}=pk

(k=1，2，…)，

則稱下面一組等式

P{X=xk}=pk

(k=1，2，…)為X的分布律。

probabilitydistribution2．離散型隨機(jī)變量的分布律（1）分布律可以用表格的形式表示：xn一般從小到大排列。XPx1x2…xn…p1p2…pn…（2）分布律可以用圖形表示PXx1x2xk…分布律的表示方法：

4.2離散型隨機(jī)變量

一、離散型隨機(jī)變量的分布律分布律具有以下性質(zhì):

4.2離散型隨機(jī)變量

一、離散型隨機(jī)變量的分布律證明:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為x1,…,xn,…

則事件組{X=x1}，…，{X=xn}，…構(gòu)成了的一個(gè)劃分。例：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P(X=i)=pi(i=1,2…,n)其中，0<p<1,求p的值.解：由分布律的性質(zhì)得所以P=1/2從而X－2

0

3

5

P1/4a1/21/12試求待定系數(shù)a,P(X>3).例：已知隨機(jī)變量X的分布律為

即可求得a=1/6解:由分布律的性質(zhì)可知

4.2離散型隨機(jī)變量

一、離散型隨機(jī)變量的分布律(一班進(jìn)度)（1）已知隨機(jī)變量X的分布律，可求出X的分布函數(shù)：①設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=xk}=pk

(k=1，2，…)

由概率的可列可加性可得X的分布函數(shù)為

這里的和式是所有滿足xk≤x的k求和的。分布函數(shù)F(x)在x=xk(k=1,2,…)處有跳躍，其躍跳值為pk=P{x=xk}。

分布律與分布函數(shù)的關(guān)系

②已知隨機(jī)變量X的分布律,亦可求任意隨機(jī)事件的概率。例如，求事件｛X∈B｝（B為實(shí)軸上的一個(gè)區(qū)間）的概率P{X∈B}時(shí)，只需將屬于B的X的可能取值找出來，把X取這些值的概率相加，即可得概率P{X∈B}，即

因此，離散型隨機(jī)變量的分布律完整地描述它的概率分布情況。

4.2離散型隨機(jī)變量

一、離散型隨機(jī)變量的分布律例．袋中5個(gè)球，分別編號(hào)1－5，從中同時(shí)取出3個(gè)，以X表示取出球的最小編號(hào)，求X的分布律與分布函數(shù)．解：P{X=1}=C24/C35=3/5,P{X=2}=C23/C35=3/10,P{X=3}=1/C35=1/10X的分布律為XP1233/53/101/10下面求X的分布函數(shù)當(dāng)x〈1時(shí)，{X≤x}是不可能事件，F(xiàn)(x)=0;當(dāng)1≤x〈2時(shí)，{X≤x}等同于{X=1}，F(xiàn)(x)=3/5;當(dāng)2≤x〈3時(shí)，{X≤x}等同于{X=1或X=2}，F(xiàn)(x)=9/10;當(dāng)x≥3時(shí)，{X≤x}是必然事件，F(xiàn)(x)=1;綜合得XP1233/53/101/10例2.一盒內(nèi)裝有5個(gè)乒乓球，其中2個(gè)是舊的，3個(gè)是新的，從中任取2個(gè)，求取得的新球個(gè)數(shù)x的分布規(guī)律，并計(jì)算：解：x=（取得新球的個(gè)數(shù)），其分布規(guī)律為或X的分布函數(shù)F(x)=P法一：法二：

設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，并設(shè)F(x)的所有間斷為x1,x2,…，那么，X的分布律為

4.2離散型隨機(jī)變量

一、離散型隨機(jī)變量的分布律（2）已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，可求出X的分布律：步驟:取定值,算概率,驗(yàn)證一已知求X的分布律.P(X=1)=P(X≤1)=F(1)=3/5P(X=2)=P(1＜X≤2)=F(2)-F(1)=9/10-3/5=3/10P(X=3)=P(2＜X≤3)=F(3)-F(2)=1-9/10=1/10因此X的分布律為XP1233/53/101/10

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布（0－1）分布1.（0－1）分布：

設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律為

P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0，1.(0<p<1)

則稱X服從（0－1）分布,記為X（0－1）分布。（0－1）分布的分布律用表格表示為：X01P1-pp易求得其分布函數(shù)為：

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布（0－1）分布注：一般在隨機(jī)試驗(yàn)中雖然結(jié)果可以很多，但如果只關(guān)注具有某種性質(zhì)的結(jié)果，則可將樣本空間重新劃分分：A與ā，A出現(xiàn)時(shí)，定義X=1；ā出現(xiàn)時(shí)，定義X=0，此時(shí)X服從0-1分布.0.30.7Pk10X

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布（0－1）分布

二、常用離散型分布（0－1）分布例：200件產(chǎn)品中，有190件合格，10件不合格，現(xiàn)從中取一件，若規(guī)定則隨機(jī)變量服（0—1）分布x01190/20010/200

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布（0－1）分布0.6+0.30.1Pk10X2.二項(xiàng)分布：定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布律為其中0<p<1,q=1-p,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為Xb(n,p).即X服從二項(xiàng)分布。(1)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停涸趎重貝努利試驗(yàn)中，若以X表示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則X是一隨機(jī)變量，X可能取的值為0,1,2,…，n,由二項(xiàng)概率公式可得X的分布律為

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布二項(xiàng)分布（2）因?yàn)?，其?/p>

恰為二項(xiàng)式的一般項(xiàng)，故稱為二項(xiàng)分布。

（3）當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布為（0－1）分布，即

Xb(１,p)。

（4）二項(xiàng)分布的分布律為：

Px

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的取值情況

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布二項(xiàng)分布X~(8,1/3)X的分布律為XP0123456780.0390.1560.2730.2730.1790.0680.0170.0240.000二項(xiàng)分布的取值情況

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布二項(xiàng)分布X~(20,0.2)X的分布律為XP01234567891011~200.010.060.140.220.180.110.060.02<0.0010.210.010.002使P{X=k}取得最大值的k稱為分布的最可能值.二項(xiàng)分布的最可能值二項(xiàng)分布的最可能值(或最可能成功次數(shù))為

若(n+1)p不是整數(shù)若(n+1)p是整數(shù)

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布二項(xiàng)分布例：從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是1/4，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律及至多遇到一次紅燈的概率.解：X服從參數(shù)為3，1/4的二項(xiàng)分布B(3,1/4),

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布二項(xiàng)分布其分布律為即27/6427/64Pk10X9/6421/643至多遇到一次紅燈的概率為P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=27/32例：已知某公司生產(chǎn)的螺絲釘?shù)拇纹仿蕿?.01，并設(shè)各個(gè)螺絲釘是否為次品是相互獨(dú)立的.這家公司將每10個(gè)螺絲釘包成一包出售，并保證若發(fā)現(xiàn)某包內(nèi)多于一個(gè)次品則可退款.問賣出的某包螺絲釘將被退回的概率有多大?解：X服從參數(shù)為10，0.01的二項(xiàng)分布B(10,0.01),

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布二項(xiàng)分布當(dāng)X>1時(shí),這包螺絲釘將被退回例：設(shè)某保險(xiǎn)公司的某人壽保險(xiǎn)種有1000人投保,每個(gè)人在一年內(nèi)死亡的概率為0.005,且每個(gè)人在一年內(nèi)是否死亡是相互獨(dú)立的，試求在未來一年中這1000個(gè)投保人中死亡人數(shù)不超過10人的概率.解：X服從參數(shù)為1000，0.005的二項(xiàng)分布B(1000,0.005),

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布二項(xiàng)分布直接計(jì)算很繁，下面介紹possion定理。

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布二項(xiàng)分布例：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次的命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。解：設(shè)擊中的次數(shù)X,則X～B(400,0.02)X分布概率為其中k=0,1····，400因此

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布

泊松定理：設(shè)λ>0是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)npn=λ,則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有證明：由pn=λ/n有

對(duì)于任意固定的k，當(dāng)n→∞時(shí)

意義：定理的條件npn=λ（常數(shù)）意味著當(dāng)n很大大于10時(shí)，pn必定很小小于0.1。因此，上述定理表明當(dāng)n很大、p很小時(shí)有以下近似式其中λ=np

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布3.泊松分布：

泊松分布是1837年法國數(shù)學(xué)家泊(PoisoonS.D.1781-1840)首次提出的(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

其中λ>0是常數(shù)。則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為Xπ(λ)。顯然

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布泊松分布(2)泊松分布背景：

例如，在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的電話的呼喚次數(shù)、一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)、某地區(qū)在一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)、某一醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù)、某一地區(qū)一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)、在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)發(fā)出的、經(jīng)過計(jì)數(shù)器的〆粒子數(shù)等都服從泊松分布，泊松分布也是概率論中的一種重要分布。

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布泊松分布例1設(shè)每分鐘通過某交叉路口的汽車流量X服從泊松分布,且已知在一分鐘內(nèi)無車輛通過與恰好有一輛車通過的概率相同,求在一分鐘內(nèi)至少有兩輛車通過的概率.解：設(shè)X服從參數(shù)為λ的泊松分布,由題意知

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布泊松分布P(X=0)=P(X=1)即解得λ=1因此,至少有兩輛車通過的概率為例

有300臺(tái)機(jī)器，工作相互獨(dú)立。發(fā)生故障概率為0.01,通常，一臺(tái)機(jī)器的故障可由一人來修理(一人修一臺(tái)),問至少需要多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)修理的概率小于0.01.解：設(shè)需要配備修理工人數(shù)為N個(gè)，設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)為X臺(tái)，由題知求最小的N為多少，即使

P{X>N}≤0.01.

因?yàn)閄~B(300,0.01)，由于n很大，p很小,故用泊松分布近似

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布泊松分布查表可得：

N+1=k≥9=>N=8（最小的）

4.2離散型隨機(jī)變量

二、常用離散型分布泊松分布例有80臺(tái)機(jī)器，工作相互獨(dú)立。發(fā)生故障概率為0.01,通常，一臺(tái)機(jī)器的故障可由一人來修理.（1）由四個(gè)人負(fù)責(zé)維修，每人20臺(tái)設(shè)備,求設(shè)備發(fā)生故障，而不能及時(shí)修理的概率；（2）又若由三個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)，求設(shè)備及時(shí)修理的概率。解：（1）設(shè)X為發(fā)生故障的機(jī)器數(shù),X~B(20，0.01)

X取值為0,1,2,…,20.

因?yàn)橐蝗酥荒苄抟慌_(tái)機(jī)器，故所求概率為：（2）設(shè)X為發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)，X~B(80，0.01)

X取值：0，1，2，…，80。結(jié)論：（1）>（2），說明盡管情況2任務(wù)重了（一個(gè)人修27臺(tái)），但工作質(zhì)量提高了，也說明，概率方法可用來討論國民經(jīng)濟(jì)中某些問題，以使達(dá)到更有效地使用人力、物力、資源的目的，這是運(yùn)籌學(xué)的任務(wù)，概率論是解決運(yùn)籌學(xué)問題的有力工具。例：某計(jì)算機(jī)內(nèi)的存儲(chǔ)器，由300個(gè)存儲(chǔ)單元組成每一個(gè)存儲(chǔ)單元損壞的概率為0.0005，如任一存儲(chǔ)單元損壞時(shí)，計(jì)算機(jī)便停止工作，求計(jì)算機(jī)停止工作的概率。解：設(shè)x表存儲(chǔ)單元損壞的個(gè)數(shù)，則若用泊松分布近似則計(jì)算機(jī)停止工作的概率約為0.777兩種結(jié)果計(jì)算表明，結(jié)果相差不大例.（人壽保險(xiǎn)）在保險(xiǎn)公司里有2500個(gè)同齡同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)，在每一年里每一個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日付12元保險(xiǎn)費(fèi)而在死亡時(shí)，家屬可在公司領(lǐng)取200元，問1）保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少？2）保險(xiǎn)公司獲利不少于1萬元的概率？解：設(shè)X表這一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則X～B(2500,0.002)保險(xiǎn)公司在1月1日的收入是2500×12=30000元保險(xiǎn)公司在這一年付出元，假設(shè)

即x≥15人時(shí)公司虧本，于是，由泊松定理得:=2500×0.02=5

2）獲利不少于一萬元，即30000—≥10000即

超幾何分布

(Supergeometrydistribution)設(shè)一批產(chǎn)品共有N個(gè)，其中有M個(gè)次品，現(xiàn)從中任取個(gè)，令上述分布稱為超幾何分布，記做X~H(n,N,M)則X的分布律為X=“取出的n個(gè)產(chǎn)品中包含的次品數(shù)”幾何分布(Geometrydistribution)

在Bernoulli試驗(yàn)序列中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率都為P

，令

X=“事件A首次出現(xiàn)時(shí)的實(shí)驗(yàn)次數(shù)”則隨機(jī)變量X的可能取值有，其分布為稱X服從幾何分布，記作x~Ge(p)

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度函數(shù)及其性質(zhì)例：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

則可將F(x)表示為f的含變動(dòng)上限x的積分，即

當(dāng)x<0時(shí)

當(dāng)0≤x<1時(shí)

當(dāng)1≤x時(shí)

1.定義：如果隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)對(duì)于每一x可以表示為其中f(x)≥0,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)f(x)為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù).

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度函數(shù)及其性質(zhì)2.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)性質(zhì)

(1).連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)。

(2).對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X來說，它取任一指定實(shí)數(shù)a的概率均為零，即P{X=a}=0。事實(shí)上，設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，則P{X=a}=F(a)-F(a-0)

而F(x)為連續(xù)函數(shù)，所以有F(a-0)=F(a)，即得：

P{X=a}=0.

這里P{X=a}=0，而事件{X=a}并非不可能事件。就是說，若A是不可能事件,則有P(A)=0；反之，若P(A)=0，A并不一定是不可能事件。

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度函數(shù)及其性質(zhì)（3）在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量X落在某一區(qū)間的概率時(shí)，不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半開區(qū)間。例如有

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}

=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度函數(shù)及其性質(zhì)3.密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)：

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度函數(shù)及其性質(zhì)(1).(2).

反之，滿足（1）（2）的一個(gè)可積函數(shù)f(x)必是某連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度，因此，常用這兩條性質(zhì)檢驗(yàn)f(x)是否為概率密度。幾何意義：曲線y=f(x)與x軸之間的面積等于1．

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度函數(shù)及其性質(zhì)(3).

幾何意義：X落在區(qū)間(x1，x2)的概率P{x1<X≤x2}等于區(qū)間(x1，x2)上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積．(4).若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F′(x)=f(x)。

這是因?yàn)椋?dāng)f(x)連續(xù)時(shí)，

F(x)可導(dǎo)，所以在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處，F(xiàn)′(x)=f(x).

(5).概率密度f(x)的物理意義

由性質(zhì)4在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x處有4．概率密度f(x)與分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：(1)若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度為f(x)，那么它的分布函數(shù)為

(2)若連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，那么它的概率密度為f(x)=F′(x).

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度函數(shù)及其性質(zhì)注意：對(duì)于F(x)不可導(dǎo)的點(diǎn)x處，f(x)在該點(diǎn)x處的函數(shù)值可任意給出。

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度函數(shù)及其性質(zhì)

例1:設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度求:(1)常數(shù)c的值；(2)P(-1<X<1).

解:(1)由于,，解得c=3/8.(2)P(-1<X<1)=

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度函數(shù)及其性質(zhì)例2:確定常數(shù)A，B使得函數(shù)

為連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，并求出X的概率密度及概率P{-1<X<2}。解:由分布函數(shù)的性質(zhì)知

所以B=1.

又由連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的連續(xù)性知F(x)在x=0處有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，

所以：A=1/2

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

一、概率密度函數(shù)及其性質(zhì)于是X分布函數(shù)為：

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布均勻分布則稱X在區(qū)間(a，b)上服從均勻分布，其中a,b為兩個(gè)參數(shù),且a<b,記為XU(a，b).

若XU(a，b)，則容易計(jì)算出X的分布函數(shù)為

1．均勻分布

設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布均勻分布f(x)及F(x)的圖形分別如:

f(x)abxF(x)1abx

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布均勻分布例1:某公共汽車站從上午7時(shí)起,每隔15min來一趟車,一乘客在7：00到7：30之間隨機(jī)到達(dá)該車站，求(1)該乘客等候不到5min乘上車的概率;(2)該乘客等候時(shí)間超過10min才乘上車的概率.

解:設(shè)乘客于上午7點(diǎn)過X分到達(dá)該車站，則X服從區(qū)間(0,30)上的均勻分布,X的密度函數(shù)為(1)(2)

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布均勻分布例2:設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在900歐—1100歐。求R的概率密度及R落在950歐—1050歐的概率。解:按題意，R的概率密度為

故有

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布均勻分布注(1).均勻分布的特性：若XU(a，b)，對(duì)于任意的區(qū)間(c，c+l)∈(a，b)，則

就是說在同樣長的子區(qū)間內(nèi)概率是相同的，這個(gè)概率

只依賴于區(qū)間的長度而不依賴于區(qū)間的位置。(2).我們現(xiàn)在能把一個(gè)區(qū)間[a，b]上隨機(jī)地選取一個(gè)點(diǎn)P的直觀概念加以精確化。簡(jiǎn)單地說就是所選取的點(diǎn)P的坐

標(biāo)X在[a，b]上是均勻分布的。

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布指數(shù)分布2.指數(shù)分布

如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

其中λ>o為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記為X~E(λ).

服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布指數(shù)分布f(x)及F(x)的圖形λf(x)x1F(x)x

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布指數(shù)分布例：設(shè)打一次電話所用的時(shí)間(單位:min)服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布,如果有人剛好在你前面走進(jìn)公用電話間并開始打電話(假定公用電話間只有一部電話機(jī)可供通話),試求你將等待(1)超過5分鐘的概率,(2)5分鐘到10分鐘之間的概率.解:令X表示電話間中那個(gè)人打電話所占用的時(shí)間,X服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布,X的密度函數(shù)為(1)(2)

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布正態(tài)分布

驗(yàn)證f(x)是一個(gè)合理的概率密度函數(shù):①顯然，f(x)≧0；②下面驗(yàn)證3.正態(tài)分布（1）定義1：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

其中μ，σ（σ>0）為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布,記為XN(μ,σ2).

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布正態(tài)分布對(duì)于積分，作代換，

則因?yàn)樗?/p>

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布正態(tài)分布(2)正態(tài)密度函數(shù)f(x)的幾何特征

因?yàn)榈茫厚v點(diǎn)：x=μ,為函數(shù)的極大值點(diǎn)；

拐點(diǎn)：x=μ±σ.作圖如下

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布正態(tài)分布所以①曲線關(guān)于x=μ對(duì)稱，這表明對(duì)于任意h>o，有

P{μ-h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}；②當(dāng)x=μ時(shí)取到最大值

X離μ越遠(yuǎn)，f(x)的值越小，表明對(duì)于同樣長度的

區(qū)間，當(dāng)區(qū)間離μ越遠(yuǎn)，X落這個(gè)區(qū)間上的概率越

小。③在x=μ±σ處曲線有拐點(diǎn)，又由于，

所以曲線以x軸為水平漸近線。

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布正態(tài)分布④如果固定σ，改變?chǔ)痰闹?，則圖形沿著Ox軸平移，而不改變其形狀，可見正態(tài)分布的概率密度曲線y=f(x)的位置完全由參數(shù)μ所確定，μ稱為位置參數(shù)。

如果固定μ，改變?chǔ)?，由于最大值，可知?dāng)σ越小時(shí)圖形變得越尖，因而X落在μ附近的概率越大。

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的連續(xù)型分布正態(tài)分布(3).正態(tài)分布的概率計(jì)算①標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算

若XN(0，1)，則概率密度，如圖:X的分布函數(shù)為：

4.3連續(xù)型隨機(jī)變量

二、常用的