數(shù)列極限的基本性質(zhì)

數(shù)列極限的基本性質(zhì)第1頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、收斂數(shù)列的性質(zhì).

1.唯一性定理1.1

(收斂數(shù)列極限的唯一性)即若則必有若極限則極限唯一.第2頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(用反證法)及且取因

N1

N+,使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)即當(dāng)n>N1

時(shí),從而使當(dāng)n>N1

時(shí),證法1第3頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理,因故

N2

N+,使當(dāng)n>N2時(shí),有從而使當(dāng)n>N2

時(shí),有從而使當(dāng)n>N1

時(shí),則當(dāng)n>N

時(shí),矛盾！故假設(shè)不真!第4頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.有界性例如:有界無(wú)界第5頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即若使(n=1,2,…).定理2.2(收斂數(shù)列的有界性)收斂的數(shù)列必定有界.第6頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有即收斂數(shù)列必有界.有第7頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注有界性是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件.

收斂有界關(guān)系：例如,雖有界，但不收斂.數(shù)列推論無(wú)界數(shù)列必發(fā)散.第8頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月使當(dāng)n>N時(shí)，恒有(1)若時(shí),有3.保號(hào)性、保序性第9頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證（1）：取因故存在N1,

使當(dāng)n>N1

時(shí),從而當(dāng)n>N1

時(shí),第10頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從而同理,因故存在

N2,使當(dāng)n>N2

時(shí),有則當(dāng)n>N

時(shí),便有與已知矛盾,于是定理得證.當(dāng)n>N1

時(shí),第11頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月推論：(收斂數(shù)列的保號(hào)性)(1)若則使當(dāng)n>N

時(shí)，(<)(<)(2)若則a0.(<)()恒有且第12頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)a>0,取證(1)(2)

用反證法證明.注如：第13頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系(1)子數(shù)列的概念稱為數(shù)列{xn}的一個(gè)子數(shù)列(或子列)。第14頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如,

從數(shù)列中抽出所有的偶數(shù)項(xiàng)是其子數(shù)列.它的第k項(xiàng)是組成的數(shù)列：第15頁(yè)，課件共16頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(