有限單元法概論

有限單元法概論第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第4章有限元方法概論有限元方法（FiniteElementMethod)

有限元方法是力學(xué)、數(shù)學(xué)物理學(xué)、計算方法、計算機技術(shù)等多種學(xué)科綜合發(fā)展和集合的產(chǎn)物,是一種數(shù)值模擬分析方法.

利用有限元方法幾乎可以對任意復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)進行分析，獲取結(jié)構(gòu)的各種機械性能信息、對工程結(jié)構(gòu)進行設(shè)計和評判，對工程事故進行分析。第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.l有限單元法的思路及發(fā)展一.基本思想：

先化整為零，再集零為整。

即將原結(jié)構(gòu)劃分為許多小塊(單元），用這些離散單元的集合體代替原結(jié)構(gòu)．用近似函數(shù)表示單元內(nèi)的真實場變量，從而給出離散模型的數(shù)值解。能靈活處理和求解各種復(fù)雜問題,應(yīng)用廣泛

第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月技術(shù)路線1）標(biāo)準(zhǔn)化（理論研究：任意復(fù)雜問題標(biāo)準(zhǔn)化分解，單元建模有限種標(biāo)準(zhǔn)單元）2）規(guī)范化（前處理：CAD幾何、力學(xué)建模、求解，后處理顯示:）3）計算機化（標(biāo)準(zhǔn)程序、模塊）4）應(yīng)用的規(guī)?；?、普及性（可求解大型計算問題）第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月二、有限單元法發(fā)展過程如何處理

例如：中國古代就有離散化的思想，求圓周率

自然離散（如桁架）對象的離散化過程分為兩種

逼近離散（對連續(xù)體）連續(xù)體離散體第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月發(fā)展歷程1）1941年，累尼科夫（A.Hrennikoff）首次提出用構(gòu)架方法求解求解彈性力學(xué)問題——離散元素化——僅限桿系結(jié)構(gòu)。2）1943年，柯蘭特（Courant）在求解扭轉(zhuǎn)問題將截面分成若干三角區(qū)域，在各三角區(qū)域設(shè)定翹曲函數(shù)——有限單元法的萌芽3）1955年，德國的J.H.Argyris——一組能量原理與矩陣分析——奠定理論基礎(chǔ)第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月4）1956年，特納（Turner）、克拉夫（Clough）、馬?。∕artin）、托普（Top）等將鋼架分析中的位移法擴展到彈性力學(xué)平面問題，并用于飛機的結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計,系統(tǒng)地研究了離散桿、梁、三角單元剛度表達式，求得平面應(yīng)力問題的正確解。5）1960年，克拉夫（R.W.Clough）在處理剖面彈性問題時，發(fā)表“平面應(yīng)力分析的有限元法”論文——論文中首先使用“有限單元法”(theFiniteElementMethod)的名稱。6）70年代后，迅速發(fā)展，擴大應(yīng)用范圍。(固體力學(xué)中的位移場,應(yīng)力場分析,電磁場振動性分析、溫度場流體力學(xué)的流場)第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.2有限單元法的特點一、特點（1）概念簡單，容易理解。（2）適應(yīng)性強，應(yīng)用范圍廣泛。

1）對于復(fù)雜幾何形態(tài)構(gòu)件的適應(yīng)性。（劃分空間有一、二、三維，形狀二維有三角形、四邊形，三維單元有四面體、六面體等）

2）對各種構(gòu)型問題都有適應(yīng)性。（桿件問題、彈塑性、粘彈性問題、動力問題，流體力學(xué)、熱力學(xué)、電磁學(xué)，復(fù)雜非線性問題）第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）采用矩陣形式表達，有利于計算機引入,具有計算的高效性.（4）需編程，前后處理較麻煩。二、有限單元法分類位移法：易于實現(xiàn)自動化，應(yīng)用范圍廣。力法:單元插值函數(shù)難求混合法第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.3有限單元法分析過程概述結(jié)構(gòu)離散化單元分析整體分析變形體單元類型選擇單元劃分結(jié)點編碼選擇位移函數(shù)分析單元力學(xué)特征集成整體結(jié)點載荷向量集成整體剛度方程引入邊界求解第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月一、結(jié)構(gòu)離散化

就是將結(jié)構(gòu)分成有限個小的單元體，單元與單元、單元與邊界之間通過結(jié)點連接．由單元、結(jié)點、結(jié)點連線構(gòu)成的集合稱為有限單元模型，是有限單元分析計算的對象。離散化步驟(1）單元類型的選擇：包括單元形狀、單元結(jié)點數(shù)與結(jié)點自由度數(shù)等三個方面。單元形狀如圖A所示：（a）三角形三節(jié)點單元，(b)矩形四節(jié)點單元(c)四邊形單元，(d)三角形六節(jié)點單元，（e）曲邊單元?；镜膯卧愋鸵姳?-2第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月圖A第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月圖B懸臂梁有限元模型第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月(2）單元劃分（i）網(wǎng)格的加密：網(wǎng)格劃分越細，結(jié)點越多，計算結(jié)果越精確。（ii）單元形態(tài)應(yīng)盡可能接近相應(yīng)的正多邊形或正多面體。如圖1-1，1-2第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月圖C第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月(iii)單元結(jié)點應(yīng)與相鄰單元相連接，不能置于相鄰單元邊界上，如圖1-3示．(iv)同一單元由同一種材料構(gòu)成．(v)網(wǎng)格劃分應(yīng)盡可能有規(guī)律，以利于計算機自動生成網(wǎng)格．(3)結(jié)點編碼：整體結(jié)點編碼和單元節(jié)點編碼。第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月二、單元分析(1)選擇位移函數(shù)

對結(jié)構(gòu)離散化成單元的集合體后,對于單個單元,可以遵循某些基本準(zhǔn)則，用較之以整體為對象簡單得多的方法設(shè)定一個簡單的函數(shù)為位移的近似函數(shù),稱為位移函數(shù).一般為多項式形式,有廣義坐標(biāo)法和插值法.(2)分析單元的力學(xué)特征

(i)單元應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣[B]：

單元應(yīng)變矩陣反映出單元節(jié)點位移與單元應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，由幾何學(xué)條件導(dǎo)出.第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月

(ii)單元應(yīng)力矩陣[S]：

單元應(yīng)力矩陣反映出單元結(jié)點位移與單元應(yīng)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，由物理學(xué)條件導(dǎo)出.(iii)單元剛度矩陣[K]e

單元剛度矩陣反映出單元結(jié)點位移與單元節(jié)點力之間的關(guān)系,由平衡條件導(dǎo)出，所得到的轉(zhuǎn)換關(guān)系式稱單元剛度方程第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月三、整體分析（1）集成整體結(jié)點載荷向量{R}

結(jié)構(gòu)離散——結(jié)點傳遞力——

結(jié)點載荷作用力（集中力、體積力、表面力）

——形成等效節(jié)點載荷——節(jié)點編碼——節(jié)點載荷向量。第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）集成整體剛度方程[K]

集合所有的單元剛度方程就得到總體剛度方程。

式中[K]——總體剛度；

——整體結(jié)點位移向量

——整體節(jié)點載荷向量（3）引進邊界約束條件，解總體剛度方程求出結(jié)點位移分量（位移法有限元分析的基本未知量）。第23頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.4有限單元法的應(yīng)用應(yīng)用范圍：

桿狀構(gòu)件、彈性力學(xué)平面問題、空間問題、板殼問題、靜力平衡、穩(wěn)定問題、動力問題、波動問題、流體力學(xué)、熱力學(xué)、電磁學(xué)，復(fù)雜非線性問題研究對象:

彈性材料、彈塑性、粘彈性、粘塑性復(fù)合材料。第24頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月有限單元法在機械工程中的應(yīng)用（1）靜力學(xué)分析：分析機械結(jié)構(gòu)承受靜載荷作用下的應(yīng)力、應(yīng)變和變形情況（2）模態(tài)分析：分析結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。（3）動力學(xué)分析：包括諧響應(yīng)分析和瞬態(tài)動力學(xué)分析，用于分析結(jié)構(gòu)在隨時間呈正正弦規(guī)律或任意規(guī)律變化的載荷作用下的響應(yīng)。（4）熱應(yīng)力分析：分析結(jié)構(gòu)