數(shù)學(xué)物理方程第三章達(dá)朗貝爾公式

數(shù)學(xué)物理方程第三章達(dá)朗貝爾公式第1頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)定解問題§3.1達(dá)朗貝爾（）公式1無界弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾公式推導(dǎo)方程的特征方程為解得特征線為做變換，則代入方程并化簡(jiǎn)得第2頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中為兩個(gè)任意函數(shù)。于是得偏微分方程的通解為于是的通解為第3頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月聯(lián)立求解得于是原問題的解為第4頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這就是無界弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾公式。特解例1解定解問題解方程的特征方程為第5頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解得特征線為做變換，則于是方程的通解為兩式聯(lián)立，求解得第6頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故原問題的解為第7頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2達(dá)朗貝爾公式的物理意義的物理意義(1)即t=0時(shí)的波形即t時(shí)的波形表示在t時(shí)刻初始波以速度a沿x軸向右平移at個(gè)單位，稱為右行波。第8頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理表示以速度a沿x軸的左行波。的物理意義(2)行波例2在上述問題中，初值條件為試說明其解的物理意義。-22012第9頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可見右行波與左行波分別為由達(dá)朗貝爾公式有于是右行波與左行波的波形均為隨著時(shí)間的推移，其波形如圖所示：第10頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0-2-42412-224012-42012-2-424第11頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月012-2-424012-2-424012-2-424第12頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖形演示：（1）初位移不為零，初速度為零：則解為解的動(dòng)畫演示（my1）第13頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第14頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）初位移為零，初速度不為零：則解為解的動(dòng)畫演示（my2）該式表示將函數(shù)表示的波形向左、右以a的速度移動(dòng)。第15頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第16頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式，有例3用達(dá)朗貝爾公式求解下列問題第17頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域看達(dá)朗貝爾公式，回答下面三個(gè)問題：（1），即在(x,t)處函數(shù)值由哪些初值決定？進(jìn)一步由x軸上哪些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的初值決定？答：由區(qū)間[x-at,x+at]上的初值決定。將此區(qū)間稱為點(diǎn)(x,t)的依賴區(qū)間。第18頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月進(jìn)一步分析：方程的特征線為過(x,t)的兩條特征線與x軸的交點(diǎn)正好是x-at和x+at.如圖（2）區(qū)間上的初值都能確定哪些點(diǎn)處的函數(shù)值？特征線，斜率1/a特征線答：過和分別作斜率為和的兩條直線，與x軸圍成的三角形區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值都可由上的初值決定。稱此區(qū)域?yàn)榈臎Q定域。依賴區(qū)間決定區(qū)域第19頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）區(qū)間上的初值都能影響到哪些點(diǎn)處的函數(shù)值？答：過和分別作斜率為和的兩條直線，與x軸圍成的無界區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值都能受到上的初值的影響。稱此區(qū)域?yàn)榈挠绊懹颉Ｒ稽c(diǎn)的影響域如圖影響區(qū)域影響區(qū)域第20頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4齊次化原理考慮非齊次問題不能用達(dá)朗貝爾公式可分解成如下兩個(gè)問題和用達(dá)朗貝爾公式求解如何求解？用齊次化原理（Ⅰ）（Ⅱ）第21頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月齊次化原理：若是下列問題的解，則（Ⅱ）的解為#解的進(jìn)一步分析：令，則有由達(dá)朗貝爾公式，有第22頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是從而（Ⅱ）的解為例4：求解下列初值問題：自己驗(yàn)證原問題的解為第23頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：由如上公式，有第24頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例５求解Goursat問題解：令即于是有第25頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

補(bǔ)充作業(yè)：解定解問題作業(yè)：習(xí)題1，2，4；習(xí)題3（1）、（3）第26頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§3.2髙維波動(dòng)方程的初值問題1三維波動(dòng)方程的泊松公式從形式上看，三維與一維相似，不妨將一維的達(dá)朗貝爾公式推廣到三維中來，為了便于推廣，將達(dá)朗貝爾公式寫成如下積分形式：表示在上的平均值第27頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一維到三維的對(duì)應(yīng)一維三維區(qū)間區(qū)間中心球心區(qū)間長(zhǎng)度球面面積區(qū)間上的平均值球面上的平均值于是推廣的三維波動(dòng)方程的泊松公式球面第28頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算中采用球面坐標(biāo)，直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系：此解法稱為平均值法?？梢则?yàn)證。第29頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：由泊松公式有例1計(jì)算下列初值問題的解：第30頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2二維波動(dòng)方程的降維法先將其看成三維問題，則由泊松公式有下面將曲面積分化成二重積分：曲面或投影區(qū)域第31頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月面積元素于是有第32頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2求解下列問題解由泊松公式，有第33頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3髙維波動(dòng)方程初值問題泊松公式解的物理意義1三維泊松公式解的物理意義不妨假設(shè)初始擾動(dòng)僅發(fā)生在空間某個(gè)有限區(qū)域內(nèi)，如圖。三維泊松公式為可見時(shí)刻在處的函數(shù)值是由以為球心、以為半徑的球面上的初值來確定。(見圖示)記到的最短距離為，在長(zhǎng)距離為，則第34頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時(shí)，上的初值為零，故，說明擾動(dòng)還未到達(dá)點(diǎn)處；當(dāng)時(shí)，與相交，即上有初值，故一般有，說明點(diǎn)處于擾動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)時(shí)，上的初值為零，故，說明擾動(dòng)已經(jīng)越過了點(diǎn)，此處恢復(fù)到原來的靜止?fàn)顟B(tài)。這種現(xiàn)象在物理學(xué)上稱為惠更斯原理或無后效現(xiàn)象。第35頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可見時(shí)刻在處的函數(shù)值是由以為圓心、以為半徑的圓面上的初值來確定。(見圖示)2二維泊松公式解的物理意義也不妨假設(shè)初始擾動(dòng)僅發(fā)生在某個(gè)有限區(qū)域內(nèi)，如圖。二維泊松公式為第36頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時(shí)，與相交，即上有初值，故一般有，說明點(diǎn)處于擾動(dòng)狀態(tài)；這種現(xiàn)象在物理學(xué)上稱為有后效現(xiàn)象或稱為波的彌散。當(dāng)時(shí)