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Chap6其他決策方法及藝術(shù)

決策科學(xué)與藝術(shù)§1群決策方法

一、概述

1.對(duì)于單個(gè)決策者(利益關(guān)系一致的決策集體也視為單個(gè)決策者),從有限或無(wú)限個(gè)方案中,選擇一個(gè)或者多個(gè)滿意的方案,并進(jìn)行實(shí)施的過(guò)程,屬于單主體決策,也稱為個(gè)體決策。

2023/7/232.根據(jù)決策群體中利益關(guān)系有所差異的各個(gè)成員的意見(jiàn)和要求進(jìn)行組合,產(chǎn)生群體的選擇就叫做多主體決策,又稱為群決策。群決策研究的問(wèn)題一般具有3個(gè)前提:(1)自主性:各決策者有獨(dú)立的選擇機(jī)會(huì);(2)共存性:決策成員都在已知的共同條件下進(jìn)行選擇;(3)共意性:群作出的必然是所有參與者能一致接受的方案。

2023/7/23二、群決策的基本假設(shè)假設(shè)1:由于決策充滿著風(fēng)險(xiǎn)和不確定性,任何個(gè)體決策者難以作出完美的決策,都可能會(huì)犯錯(cuò)誤。假設(shè)2:至少有2名決策者共同負(fù)責(zé)該項(xiàng)決策。假設(shè)3:群決策一般來(lái)說(shuō)是非結(jié)構(gòu)化的復(fù)雜決策問(wèn)題。由于單個(gè)決策者的知識(shí)和精力是有限的,難以作出令人滿意的決策,需要集中群體決策者集體的智慧才能創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。2023/7/23假設(shè)4:群決策的結(jié)果應(yīng)該是單個(gè)決策者的偏好形成一致或妥協(xié)之后得出的。說(shuō)明:盡管決策是有風(fēng)險(xiǎn)的,但通過(guò)個(gè)體偏好的一致集結(jié),匯集各方面的信息,可以減少?zèng)Q策的風(fēng)險(xiǎn)和不確定性。假設(shè)5:群決策質(zhì)量受所采用的決策規(guī)則的影響。假設(shè)6:群決策質(zhì)量受個(gè)體和群體的關(guān)系的影響。2023/7/23三、群體偏好的集結(jié)1.簡(jiǎn)單多數(shù)規(guī)則——群決策中最早并且最常用的方法即當(dāng)決策成員是奇數(shù)時(shí),群采納的方案是多數(shù)人贊成的方案;當(dāng)決策成員是偶數(shù)時(shí),可以運(yùn)用同樣的規(guī)則,在贊成和反對(duì)的人數(shù)相等時(shí),由群體負(fù)責(zé)人(或稱主席)定奪。2023/7/232.Borda規(guī)則——如果有k個(gè)方案,按每個(gè)決策成員對(duì)方案排列的次序給出從高到低的分值,稱為Borda數(shù)。排第一位的得k分,第二位的得k-1分,如此下去,最后位得分為1分。然后統(tǒng)計(jì)各方案的得分總和并選取得分最高的方案。2023/7/23四、基于層次分析法的群決策方法利用該方法來(lái)解決群決策問(wèn)題,需要解決的主要問(wèn)題是如何集結(jié)個(gè)體判斷矩陣,形成群判斷矩陣A。解決這個(gè)問(wèn)題主要以下幾種方法。1.判斷矩陣加權(quán)幾何平均法2.判斷矩陣加權(quán)算術(shù)平均法2023/7/23層次分析法簡(jiǎn)介

層次分析法(analytichierarchyprocess,AHP)是美國(guó)著名運(yùn)籌學(xué)家,匹茲堡大學(xué)教授T.L.Saaty于20世紀(jì)70年代中期提出的一種多目標(biāo)決策方法,它是一種在處理復(fù)雜的多目標(biāo)決策問(wèn)題過(guò)程中,進(jìn)行方案的比較和排序的方法。2023/7/23AHP的基本思路:1)決策分析者將復(fù)雜的決策問(wèn)題分解為若干組成要素(如,多個(gè)決策目標(biāo)和多個(gè)決策備選方案等);2)將這些要素按支配關(guān)系形成有序的遞階層次結(jié)構(gòu);3)通過(guò)兩兩比較,確定層次中諸要素的相對(duì)重要性;4)綜合各層次要素的重要程度,得到諸要素的綜合評(píng)價(jià)值,并據(jù)此進(jìn)行決策。

2023/7/23(一)基本原理AHP法就是將n個(gè)備選方案當(dāng)作n個(gè)要素或物體,把某一評(píng)價(jià)準(zhǔn)則(決策目標(biāo))看成物體的某種屬性,通過(guò)比較判斷矩陣得出每一備選方案對(duì)于某一評(píng)價(jià)準(zhǔn)則的優(yōu)先權(quán)重系數(shù)。2023/7/23(二)建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型在遞階層次模型中,通常第一層是目標(biāo)層(最高層),它表示解決問(wèn)題的目的和總目標(biāo);第二層是準(zhǔn)則層,它是總目標(biāo)的具體體現(xiàn),是決策所要考慮的多個(gè)子目標(biāo),由目標(biāo)展開(kāi)和細(xì)化后的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成;第三、第四等層是子準(zhǔn)則層,它們將準(zhǔn)則進(jìn)一步細(xì)化和具體化;從第二層起的準(zhǔn)則層和所有的子準(zhǔn)則層都屬于中間層;最下面的一層是方案層(最低層),它表示待選擇的解決問(wèn)題的途徑、措施和政策等備選方案。這樣就形成了遞階層次結(jié)構(gòu)模型2023/7/23O目標(biāo)層(最高層)準(zhǔn)則層子準(zhǔn)則層……方案層(最低層)S1S2Ss……G1G2Gg……M1M2Mm……(中間層)遞階層次結(jié)構(gòu)圖2023/7/23(三)構(gòu)造比較判斷矩陣

比較判斷矩陣是描述對(duì)于上一層次某要素來(lái)說(shuō)本層次相關(guān)要素之間相對(duì)重要性的矩陣。層次分析法采用1~9標(biāo)度的判斷尺度。表6-1中各判斷尺度的倒數(shù)表示否定的意思。例如,如果要素i比要素j“明顯重要”,則bij=wi/wj=5;反過(guò)來(lái),要素j比要素i“明顯不重要”,則bji=wj/wi=1/bij=1/5。表6-1判斷尺度定義表判斷尺度定義1對(duì)于上層的某個(gè)要素,本層的某個(gè)要素和另一個(gè)要素相比同樣重要3對(duì)于上層的某個(gè)要素,本層的某個(gè)要素和另一個(gè)要素相比略微重要5對(duì)于上層的某個(gè)要素,本層的某個(gè)要素和另一個(gè)要素相比明顯重要7對(duì)于上層的某個(gè)要素,本層的某個(gè)要素和另一個(gè)要素相比非常重要9對(duì)于上層的某個(gè)要素,本層的某個(gè)要素和另一個(gè)要素相比極端重要2,4,6,8其重要性介于上述兩個(gè)相鄰判斷尺度之間2023/7/23舉例:某市擬進(jìn)行一項(xiàng)道路改造工程項(xiàng)目,現(xiàn)有3個(gè)工程隊(duì)可供選擇,選擇工程隊(duì)需考慮的主要準(zhǔn)則是施工質(zhì)量、價(jià)格和速度。根據(jù)該問(wèn)題的具體要求繪出包括目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層的遞階層次結(jié)構(gòu)模型。O選擇一支滿意的工程隊(duì)O層G層M層M1工程隊(duì)之一M2工程隊(duì)之二M3工程隊(duì)之三G1施工質(zhì)量G2施工速度G3施工價(jià)格

選擇工程隊(duì)決策的遞階層次結(jié)構(gòu)圖2023/7/23由專家對(duì)要素G1,G2,G3進(jìn)行兩兩比較,結(jié)論如下:表6-2G層各要素關(guān)于目標(biāo)O的重要性比較

參照要素需判斷要素施工質(zhì)量G1施工速度G2施工價(jià)格G3施工質(zhì)量G1同樣重要G1比G2:明顯重要G1比G3:略微重要施工速度G2G2比G1:明顯不重要同樣重要G2比G3:略微不重要施工價(jià)格G3G1比G3:略微不重要G2比G3:略微重要同樣重要2023/7/23由此,構(gòu)造出G層的比較判斷矩陣BG

同理可構(gòu)造出以G1為評(píng)價(jià)依據(jù)的M層比較判斷矩陣B1-M;以G2、G3為評(píng)價(jià)依據(jù)的M層比較判斷矩陣B2-M,B3-M

。2023/7/23(四)逐層排序——求比較判斷矩陣的最大特征值和相應(yīng)的特征向量。一般矩陣求解最大特征根及其特征向量的方法有冪乘法、方根法以及和積法。冪乘法是一種在精度上效果比較好的方法。但矩陣本身就是用人為標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造而成的,一般來(lái)說(shuō)并不需要追求很高的精度,方根法與和積法是精度上相對(duì)效果較差,但操作比較方便。2023/7/231.方根法首先計(jì)算判斷矩陣B的值:,i=1,…,n

進(jìn)行規(guī)范化處理后,得:

wi(i=1,…,n)即為判斷矩陣B的特征向量W的第i個(gè)分量:W=[w1,w2,…,wn]T此外,判斷矩陣B的最大特征根可由下式計(jì)算:

式中,(BW)i——向量(BW)的第i個(gè)元素。2023/7/23例:已知比較判斷矩陣

第一步,計(jì)算BG的:第二步,規(guī)范化::2.466+0.405+1=3.871W=[0.637,0.105,0.258]T0.637,0.105和0.258即為該層相應(yīng)的權(quán)系數(shù)。

2023/7/232.和積法(1)對(duì)B按列進(jìn)行規(guī)范化處理:(2)對(duì)規(guī)范化后的矩陣按行相加,得:(3)對(duì)進(jìn)行規(guī)范化處理,得:

,i,j=1,…,n

,i=1,…,n

wi(i=1,…,n)即為判斷矩陣B的特征向量W的第i個(gè)分量。

2023/7/23(五)一致性檢驗(yàn)判斷矩陣B的一致性,主要緣于以下兩種思維上的邏輯錯(cuò)誤:(1)克星邏輯錯(cuò)誤。這是一種根本性的判斷錯(cuò)誤。在本節(jié)選擇工程隊(duì)的例子中,當(dāng)施工質(zhì)量比價(jià)格重要,價(jià)格又比速度重要時(shí),如果再認(rèn)為速度比質(zhì)量重要,那么在優(yōu)劣排序上就不符合邏輯了。這種自相矛盾的邏輯錯(cuò)誤就是克星邏輯錯(cuò)誤。2023/7/23(2)量度邏輯錯(cuò)誤這是一種對(duì)重要性程度的判斷錯(cuò)誤。例如,對(duì)施工質(zhì)量而言,當(dāng)判斷者認(rèn)為工程隊(duì)M1相對(duì)于工程隊(duì)M2的相對(duì)重要性b12=1/4,M2相對(duì)于M3的重要性b23=8,如果再認(rèn)為M1相對(duì)于M3的重要性為b13=5,那么在重要性程度上不符合邏輯了。因?yàn)?,從邏輯上說(shuō),b13應(yīng)當(dāng)為:2023/7/23研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)判斷矩陣B完全一致時(shí),則有?

max=n;當(dāng)不完全一致時(shí),?

max>n;不一致性越大,?

max與n的差就越大。因此,可以用?

max-n作為度量判斷矩陣一致性的指標(biāo)。定義一致性指標(biāo)C.I.為另外,考慮到一致性偏差還有可能是由隨機(jī)原因造成的,因此,在檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性是否滿意時(shí),還得將C.I.與平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.進(jìn)行比較,得出檢驗(yàn)數(shù)

當(dāng)C.R.≤0.1時(shí),認(rèn)為比較判斷矩陣B具有滿意的一致性;當(dāng)C.R.>0.1時(shí),認(rèn)為比較判斷矩陣B不一致,必須進(jìn)行修正。2023/7/23表6-3平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.的值矩陣階數(shù)n12345678910R.I.0.000.000.520.891.111.251.351.401.451.492023/7/23五、基于德?tīng)柗品ǖ娜簺Q策方法德?tīng)柗品梢杂脕?lái)預(yù)測(cè)決策自然狀態(tài)的未來(lái)值,可以用來(lái)確定自然狀態(tài)的概率值,也可以用來(lái)征求專家們選擇備選方案的意見(jiàn)。很顯然,把這些專家換成決策群體中的各個(gè)決策者,德?tīng)柗品ㄍ耆梢灾苯佑米魅后w決策。2023/7/23§2競(jìng)爭(zhēng)型決策方法及藝術(shù)——博弈論

一、博弈論的基本概念

1.博弈論的定義

博弈論(gametheory),又稱為對(duì)策論,是研究相互依賴、相互影響、相互競(jìng)爭(zhēng)的獨(dú)立決策主體的理性決策行為以及這些決策的均衡結(jié)果的理論。2023/7/232.博弈的分類(1)從參與人行動(dòng)次序的角度分:①靜態(tài)博弈:在博弈中,參與人同時(shí)選擇行動(dòng),或者雖然不同時(shí)選擇行動(dòng),但后行動(dòng)者并不知道先行動(dòng)者采取了什么行動(dòng)。

②動(dòng)態(tài)博弈:參與人的行動(dòng)有先后順序,并且后行動(dòng)者能夠觀察到先行動(dòng)者所選擇的行動(dòng)2023/7/23(2)從參與人掌握信息的角度分完全信息博弈:每一個(gè)參與人對(duì)所有其他參與人(對(duì)手)的特征、策略空間及得益函數(shù)有準(zhǔn)確的了解,否則就是不完全信息博弈。不完全信息博弈:又稱為貝葉斯博弈。

2023/7/23(3)同時(shí)從次序和信息的角度分4種不同類型的博弈:完全信息靜態(tài)博弈完全信息動(dòng)態(tài)博弈不完全信息靜態(tài)博弈不完全信息動(dòng)態(tài)博弈博弈的分類和對(duì)應(yīng)的均衡概念靜態(tài)博弈動(dòng)態(tài)博弈完全信息博弈完全信息靜態(tài)博弈:納什均衡完全信息動(dòng)態(tài)博弈:子博弈精煉納什均衡不完全信息博弈不完全信息靜態(tài)博弈:貝葉斯納什均衡不完全信息動(dòng)態(tài)均衡:精煉貝葉斯納什均衡2023/7/23(4)從參與人合作的角度分合作博弈:參與人之間有一個(gè)對(duì)各方都具有約束力的協(xié)議,參與人在協(xié)議范圍內(nèi)進(jìn)行的博弈。典型的合作博弈是寡頭企業(yè)之間的串謀(collusion)。非合作博弈

2023/7/23(5)從參與人數(shù)量的角度分單人博弈:?jiǎn)蝹€(gè)獨(dú)立決策者與自然狀態(tài)等非智能對(duì)象進(jìn)行博弈。兩人博弈:兩個(gè)各自獨(dú)立決策,并具有依存關(guān)系的博弈方之間的決策。多人博弈:3人或3人以上的博弈。與單人和兩人博弈的一個(gè)重要區(qū)別在于,在多人博弈中可能存在“破壞者”。2023/7/23(6)從社會(huì)總得益的角度分零和博弈:博弈中各方無(wú)論采用什么策略,得失總和均為零。在零和博弈中,參與博弈的各方是完全對(duì)立的,一方所得必然意味著他方或其他各方所失,不存在各方均得或均失的可能。非零和博弈:博弈中各方的得失總和不為零,一方或幾方所得,未必意味著他方必有所失。這樣,就會(huì)出現(xiàn)各方都認(rèn)為對(duì)自己有利的對(duì)策和結(jié)局,當(dāng)然也會(huì)出現(xiàn)各方均受損失的對(duì)策和結(jié)局。2023/7/23非零和博弈的劃分非零和博弈又可分為常和博弈與變和博弈。常和博弈:博弈中各方無(wú)論采用什么策略,得失總和為常數(shù)。零和博弈是常和博弈的一個(gè)特例。變和博弈:博弈中各方的得失總和并不確定,其結(jié)果取決于各方采用的策略。策略得當(dāng)會(huì)出現(xiàn)雙贏或多贏的結(jié)局,否則出現(xiàn)兩敗俱傷或多敗俱傷的結(jié)果。零和博弈和常和博弈可看作是變和博弈的特例。2023/7/23(7)從博弈次數(shù)的角度分一次博弈:博弈過(guò)程中,各博弈方只作一次決策和行動(dòng),然后博弈結(jié)束。重復(fù)博弈:同一個(gè)博弈需要各博弈方反復(fù)進(jìn)行決策和行動(dòng)。構(gòu)成重復(fù)博弈過(guò)程中的某一次博弈稱為階段博弈(stagegames)。2023/7/23二、完全信息靜態(tài)博弈1.完全信息靜態(tài)博弈的定義

所謂完全信息靜態(tài)博弈指的是各博弈方同時(shí)決策,或者決策行動(dòng)雖有先后,但后行動(dòng)者不知道先行動(dòng)者的具體行動(dòng)是什么,并且各博弈方對(duì)博弈中各種策略組合情況下的各參與人相應(yīng)的得益都完全了解的博弈。2023/7/23下面我們介紹兩種經(jīng)典的完全信息靜態(tài)博弈。▲“囚徒困境”博弈表1“囚徒困境”博弈得益矩陣囚徒2囚徒1不坦白坦白不坦白(–1,–1)(–10,0)坦白(0,–10)(–8,–8)2023/7/23▲“頂?!辈┺谋?“頂?!辈┺牡靡婢仃嚺?牛1前進(jìn)退避前進(jìn)(–4,–4)(2,0)退避(0,2)(0,0)2023/7/232.博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述在一個(gè)有n個(gè)參與人的博弈中,博弈用下式表示:S={s=(s1,…,sn)|si∈Si,i=1,…,n}U={u1(s),…,un(s)|s∈S}博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述集合:G={S,U}

式中,S——博弈的策略集合(策略空間);Si

={si(1),si(2),…,si(r)}——參與人i可以選擇的策略集合(i=1,…,n);si(j)——Si中一個(gè)特定的策略(i=1,…,n;j=1,…,r);s=(s1,s2,…,sn)——每個(gè)參與人選定一個(gè)策略所形成的策略組合;U——博弈的得益函數(shù)集合;ui(s)——參與人i的得益函數(shù)2023/7/233.納什均衡

定義:博弈G={S,U}中,如果策略組合(s1*,s2*,…,sn*)中任一個(gè)博弈方i的策略si*都是對(duì)其余博弈方的策略組合(s1*,s2*,…,si-1*,si+1*,…,sn*)的最佳對(duì)策,則稱(s1*,s2*,…,sn*)為G的一個(gè)納什均衡。

2023/7/23三、完全信息動(dòng)態(tài)博弈1.博弈的擴(kuò)展式表述(extensiveform)博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述有3個(gè)要素:參與人、每個(gè)參與人可選擇的策略、得益函數(shù)。完全信息動(dòng)態(tài)博弈的擴(kuò)展式表述包含5個(gè)要素:(1)參與人;(2)每個(gè)參與人在每次行動(dòng)時(shí)可供選擇的行動(dòng)集合(策略空間);(3)每個(gè)參與人選擇行動(dòng)的時(shí)點(diǎn)(進(jìn)行博弈的次序);(4)得益函數(shù);(5)每個(gè)參與人在每次行動(dòng)時(shí)有關(guān)對(duì)手過(guò)去行動(dòng)選擇的信息。2023/7/23博弈擴(kuò)展式表述常用形式:博弈樹(shù)(gametrees)eg:設(shè)想有一個(gè)壟斷企業(yè)已在市場(chǎng)上發(fā)展多年(稱作在位者),另有一個(gè)企業(yè)虎視眈眈想進(jìn)入這一市場(chǎng)(稱為進(jìn)入者)。在位者想保持自己的壟斷地位,所以就要阻撓進(jìn)入者的進(jìn)入。在這個(gè)博弈中,進(jìn)入者有兩種策略可以選擇:進(jìn)入或不進(jìn)入;在位者也有兩種策略:阻撓或不阻撓。假定進(jìn)入者進(jìn)入之前在位者的壟斷利潤(rùn)為300萬(wàn)元/年,進(jìn)入之后寡頭利潤(rùn)合起來(lái)為100萬(wàn)元/年(雙方各得50萬(wàn)元/年),開(kāi)始幾年的進(jìn)入成本平均10萬(wàn)元/年。

2023/7/23圖1是上述“市場(chǎng)進(jìn)入阻撓”博弈示例的博弈樹(shù)。

不阻撓阻撓進(jìn)入不進(jìn)入博弈方1(進(jìn)入者)博弈方2(在位者)(0,300)(40,50)(-10,0)圖1“市場(chǎng)進(jìn)入阻撓”博弈樹(shù)2023/7/232.子博弈的表述在動(dòng)態(tài)博弈中,如果所有以前的行動(dòng)是“共同知識(shí)”,就是說(shuō),每個(gè)人都知道過(guò)去發(fā)生了些什么(什么人在什么時(shí)候選擇了什么行動(dòng)),每個(gè)人都知道每個(gè)人知道什么,那么給定歷史,從每一個(gè)行動(dòng)選擇開(kāi)始至博弈結(jié)束又構(gòu)成一個(gè)博弈,稱為子博弈。2023/7/23§3案例分析:博弈論在決策中的應(yīng)用

一、公共資源利用問(wèn)題eg:

考慮一個(gè)有n個(gè)村民的村莊,每年夏天,所有村民都在村莊公共的草地上放牧。用gi表示村民i放養(yǎng)羊的只數(shù),則村莊里羊的總只數(shù)為:

假設(shè)購(gòu)買和照看一只羊的成本為c,且c不隨一戶村民擁有羊的數(shù)目多少而變化。由于一只羊要生存,至少需要一定數(shù)量的青草,而草地資源是有限的,因此一個(gè)村民養(yǎng)一只羊的價(jià)值V取決于草地上放養(yǎng)的羊的總只數(shù)G,即:G=g1+g2+…+gn2023/7/23式中,V——一個(gè)村民養(yǎng)一只羊的價(jià)值;G

——草地上放養(yǎng)的羊的總只數(shù);Gmax——草地上可以放養(yǎng)的羊的總只數(shù)的上限,當(dāng)G大于或等于該上限時(shí),村莊里的草地就無(wú)法承受這些羊了,結(jié)果草被羊吃光,然后羊都將死亡。2023/7/23二、電信企業(yè)互聯(lián)互通中的“智豬”博弈1.“智豬”博弈eg:豬圈里有一頭大豬和一頭小豬。豬圈的邊緣有個(gè)踏板,每踩一下,遠(yuǎn)離踏板的投食口就會(huì)落下10個(gè)單位的食物。如果小豬去踩踏板,然后再跑到食槽邊進(jìn)食,而大豬不去踩踏板,先到食槽邊等待進(jìn)食,那么大豬吃9個(gè)單位食物,小豬吃1個(gè)單位;若兩豬都起去踩踏板,然后一同回來(lái)進(jìn)食,則大豬吃7個(gè)單位,小豬吃3個(gè)單位;若小豬等待進(jìn)食,而大豬去踩踏板,然后進(jìn)食,則大豬吃6個(gè)單位,小豬吃4個(gè)單位;若大家都不去踩踏板,則都吃不到食物。如果,考慮到踩踏板的豬的體力消耗,需扣除2個(gè)單位的成本,這樣,可得不同策略組合的得益水平,如表3所示。

2023/7/23表3“智豬”博弈的得益矩陣博弈方2(小豬)博弈方1(大豬)去踩踏板,然后進(jìn)食不踩踏板,等待進(jìn)食去踩踏板,然后進(jìn)食(5,1)(4,4)不踩踏板,等待進(jìn)食(9,–1)(0,0)2023/7/232.電信互聯(lián)互通中的“小豬現(xiàn)象”為了破除壟斷、引進(jìn)競(jìng)爭(zhēng),國(guó)家對(duì)電信業(yè)實(shí)行了一些不對(duì)稱管制政策。在這樣的形勢(shì)下,如果仍堅(jiān)持非對(duì)稱管制,實(shí)施行政式、低費(fèi)率的互聯(lián)互通政策,就會(huì)對(duì)新興運(yùn)營(yíng)商產(chǎn)生不良激勵(lì),使得新興運(yùn)營(yíng)

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