控制系統(tǒng)的時(shí)域課件

第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1建議：課前要預(yù)習(xí)課后要復(fù)習(xí)上課積極思考并回答問題2

控制系統(tǒng)的分析方法

分析控制系統(tǒng)第一步建立模型第二步分析控制性能，

分析方法包括時(shí)域分析法頻域分析法根軌跡法3第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法引言典型輸入信號與系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)一階系統(tǒng)時(shí)域分析二階系統(tǒng)時(shí)域分析高階系統(tǒng)的時(shí)域分析4第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法

引言分析控制系統(tǒng)的第一步是建立模型，數(shù)學(xué)模型一旦建立，第二步分析控制性能，分析有多種方法，主要有時(shí)域分析法，頻域分析法，根軌跡法等。每種方法，各有千秋。均有他們的適用范圍和對象。本章先討論時(shí)域法。實(shí)際上，控制系統(tǒng)的輸入信號常常是不知的，而是隨機(jī)的。很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預(yù)先知道的，可以用解析的方法或者曲線表示。例如，切削機(jī)床的自動控制的例子。在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，對各種控制系統(tǒng)性能得有評判、比較的依據(jù)。這個(gè)依據(jù)也許可以通過對這些系統(tǒng)加上各種輸入信號，比較它們對特定的輸入信號的響應(yīng)來建立。許多設(shè)計(jì)準(zhǔn)則就建立在這些信號的基礎(chǔ)上，或者建立在系統(tǒng)對初始條件變化（無任何試驗(yàn)信號）的基礎(chǔ)上，因?yàn)橄到y(tǒng)對典型試驗(yàn)信號的響應(yīng)特性，與系統(tǒng)對實(shí)際輸入信號的響應(yīng)特性之間，存在著一定的關(guān)系；所以采用試驗(yàn)信號來評價(jià)系統(tǒng)性能是合理的。53.1.1典型試驗(yàn)信號Typicaltestsignals(1)實(shí)際系統(tǒng)的輸入信號不可知性。(2)典型試驗(yàn)信號的響應(yīng)與系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)，存在某種關(guān)系。(3)電壓試驗(yàn)信號是時(shí)間的簡單函數(shù)，便于分析。突然受到恒定輸入作用或突然的擾動。如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時(shí)間逐步變化的函數(shù)，則斜坡時(shí)間函數(shù)是比較合適的。（單位）階躍函數(shù)（Stepfunction）

室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)

（單位）斜坡函數(shù)（Rampfunction）速度

（單位）加速度函數(shù)（Accelerationfunction）拋物線

（單位）脈沖函數(shù)（Impulsefunction）

正弦函數(shù)（Simusoidalfunction）Asinut，當(dāng)輸入作用具有周期性變化時(shí)。通常運(yùn)用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號，這樣可在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。本章討論系統(tǒng)對非周期信號（Step、Ramp，對正弦試驗(yàn)信號相應(yīng)，將在第五章頻域分析法，第六章校正方法中討論）

67在分析控制系統(tǒng)時(shí)，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，如達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時(shí)間，同時(shí)也要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，以確定對輸入信號跟蹤的誤差大小。動態(tài)性能指標(biāo)：在許多實(shí)際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo)，常以時(shí)域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，系統(tǒng)在初使條件為零（靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)為0），對（單位）階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)。實(shí)際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程，為了說明控制系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)特性，通常采用下列一些性能指標(biāo)。

83.1.3動態(tài)性能指標(biāo)延遲時(shí)間：（DelayTime）響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。上升時(shí)間（RiseTime）響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時(shí)間。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。

峰值時(shí)間（PeakTime）：響應(yīng)曲線達(dá)到過調(diào)量的第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。

圖3－19動態(tài)性能指標(biāo)調(diào)節(jié)時(shí)間：（SettlingTime）響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在一個(gè)允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時(shí)間。用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通常取5%或2%作為誤差帶）⑤超調(diào)量（MaximumOvershoot）：指響應(yīng)的最大偏離量h(tp)與終值之差的百分比，即

或評價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。評價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度。圖3－1動畫103.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)

用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。圖3-2（a）所示的RC電路，其微分方程為

其中C(t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時(shí)間常數(shù)。當(dāng)初使條件為零時(shí)，其傳遞函數(shù)為

這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非周期性的慣性環(huán)節(jié)。

下面分別就不同的典型輸入信號，分析該系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。3.2.1一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型11閉環(huán)零極點(diǎn)分布圖例：時(shí)間常數(shù)為123.2.2單位階躍響應(yīng)

Unit-StepResponseofFirst-orderSystem因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換為，則系統(tǒng)的輸出由下式可知為

對上式取拉氏反變換，得

注**：R(s)的極點(diǎn)形成系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這一個(gè)結(jié)論不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也適用于高階線性定常系統(tǒng)。響應(yīng)曲線在時(shí)的斜率為，如果系統(tǒng)輸出響應(yīng)的速度恒為，則只要t＝T時(shí)，輸出c(t)就能達(dá)到其終值。

圖3－3一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線初始斜率13一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是指數(shù)曲線（描點(diǎn)法作圖）動畫14曲線特點(diǎn)：1.響應(yīng)曲線斜率的初始值為，并隨時(shí)間的推移而下降。2.可根據(jù)用實(shí)驗(yàn)法驗(yàn)證是否為一階系統(tǒng)。并可確定時(shí)間常數(shù)T。在0.632處，對應(yīng)時(shí)間常數(shù)T。注意：看到這樣的曲線不能下結(jié)論就是一階系統(tǒng)，應(yīng)看一下t=T,t=2T時(shí)的數(shù)據(jù)例如：曲線形式相同，但不是一階系統(tǒng)。15由于c(t)的終值為1，因而系統(tǒng)階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

穩(wěn)態(tài)誤差：動態(tài)性能指標(biāo)：（該曲線無振蕩，不存在超調(diào)量）記?。阂浑A系統(tǒng)可跟蹤單位階躍信號，跟蹤的穩(wěn)態(tài)誤差為零。163.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

Unit-impulseresponseoffirst-ordersystems當(dāng)輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)，R(s)＝1，輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即

這時(shí)相同的輸出稱為脈沖響應(yīng)記作g(t)，因?yàn)?其表達(dá)式為

無穩(wěn)態(tài)分量，只有瞬態(tài)分量。1718一次課2學(xué)時(shí)193.2.4一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

Unit-rampResponseoffirst-orderSystems

當(dāng)對上式求拉氏反變換，得：因?yàn)樗砸浑A系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差為T一階系統(tǒng)可跟蹤斜坡信號，跟蹤的穩(wěn)態(tài)誤差為T動畫動畫20上式表明：①一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號。穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸入和輸出信號的變化率完全相同

②由于系統(tǒng)存在慣性，從0上升到1時(shí)，對應(yīng)的輸出信號在數(shù)值上要滯后于輸入信號一個(gè)常量T，這就是穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的原因。

③減少時(shí)間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度，還可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差。

21例：某一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)如圖所示，求系統(tǒng)在單位階躍信號作用下解：T＝8＝3T＝24223.2.5一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)

上式表明，跟蹤誤差隨時(shí)間推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤。23一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng)輸入信號時(shí)域輸入信號頻域輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)11(t)t微分微分等價(jià)關(guān)系：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。24幾點(diǎn)說明：一階系統(tǒng)：1.閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離虛軸。2.如何求時(shí)間常數(shù)T?？捎脤?shí)驗(yàn)法，在0.632處，對應(yīng)時(shí)間常數(shù)T。3.一階系統(tǒng)只有一個(gè)特征參數(shù)T。253.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析

Transient-ResponseAnalysisandSteady-StateErrorAnalysisofSecond-orderSystems二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運(yùn)動方程的控制系統(tǒng)。3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型圖3－6二階系統(tǒng)方塊圖－自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）－阻尼比（相對阻尼系數(shù)）閉環(huán)傳遞函數(shù)為：（3-12）首一另一標(biāo)準(zhǔn)形式：尾一26二階系統(tǒng)的動態(tài)特性，可以用加以描述,二階系統(tǒng)的特征方程：（3-13）（3-14）和3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)Unit-StepResponseofSecond-OrderSystems27兩個(gè)正實(shí)部的特征根發(fā)散，閉環(huán)極點(diǎn)為共扼復(fù)根，位于左半S平面，欠阻尼系統(tǒng)，為兩個(gè)相等的根，虛軸上，瞬態(tài)響應(yīng)變?yōu)榈确袷?，兩個(gè)不相等的根

（3-14）28過阻尼，時(shí)間響應(yīng)不振蕩振蕩與不振蕩的臨界狀態(tài)振蕩衰減等幅振蕩2930單位階躍響應(yīng)分別為：31(1)欠阻尼()二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)令－衰減系數(shù)

－阻尼振蕩頻率，由式（3-12）得（3-12）32對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應(yīng)為（3-17）穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量33穩(wěn)態(tài)分量為1，表明圖3-8系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差，瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項(xiàng)，其振蕩頻率為－阻尼振蕩頻率

包絡(luò)線決定收斂速度時(shí)，（3-18）這是一條平均值為1的正、余弦形式等幅振蕩，其振蕩頻率為－故稱為無阻尼振蕩頻率。

由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定

（3-17）圖3－6二階系統(tǒng)方塊圖3435(2)臨界阻尼()臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)（3-24）當(dāng)時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)單調(diào)上升過程，

36(3)過阻尼()

（3-21）37總結(jié)：1.當(dāng)。響應(yīng)是擴(kuò)散的，系統(tǒng)不穩(wěn)定，應(yīng)避免。2.當(dāng)，響應(yīng)無超調(diào)，無振蕩，但過渡時(shí)間較長，實(shí)際很少采用。3.當(dāng)，振蕩與不振蕩的臨界狀態(tài)，臨界阻尼。4.當(dāng)，越小，振蕩越嚴(yán)重；出現(xiàn)等幅振蕩，故不能太??；但就響應(yīng)的快速性而言，越小響應(yīng)越快，故不能太大。一般，調(diào)節(jié)時(shí)間短，振蕩也不嚴(yán)重，系統(tǒng)可以又快又穩(wěn)的跟蹤輸入信號。最佳阻尼比。38圖3-10表示了二階系統(tǒng)在不同值瞬態(tài)響應(yīng)曲線（書上P72）39一般，合理設(shè)計(jì)一個(gè)二階系統(tǒng)，就是選擇合適的和值。實(shí)部虛部振蕩頻率——虛部值要使系統(tǒng)的動態(tài)性能好：1.指數(shù)部分衰減快，則大，即特征根應(yīng)遠(yuǎn)離虛軸。2.振蕩頻率小，即小，則特征根應(yīng)離實(shí)軸近一些。一階系統(tǒng)也希望特征根遠(yuǎn)離虛軸。40性能好性能差413.3.3二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)

·欠阻尼情況在控制工程中，除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、快速的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間。

二階系統(tǒng)一般取

其它的動態(tài)性能指標(biāo)，有的可用精確表示，如,有的很難用準(zhǔn)確表示，如,可采用近似算法。

42

，求得

（3-25）一定，即一定，

,響應(yīng)速度越快

對式（3-17）求導(dǎo)，并令其為零，求得（3-17）上升時(shí)間，響應(yīng)從零第一次達(dá)到終值所需的時(shí)間。響應(yīng)超過終值第一次達(dá)到峰值所需的時(shí)間。

43

,根據(jù)峰值時(shí)間定義，應(yīng)取(3-26)對式（3-17）求導(dǎo)，并令其為零，求得（3-17）即峰值時(shí)間等于阻尼振蕩周期的一半。44

超調(diào)量在峰值時(shí)間發(fā)生，故即為最大輸出

(3-27)

時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)45調(diào)節(jié)時(shí)間的計(jì)算

用穩(wěn)態(tài)值的2%~5%作為允許誤差范圍，響應(yīng)曲線到達(dá)并且以后永遠(yuǎn)保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所需的時(shí)間，定義為此響應(yīng)曲線的包絡(luò)線為46二階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的包絡(luò)線動畫47用3－29進(jìn)行估算，若它能滿足要求，則實(shí)際系統(tǒng)更能滿足要求。即閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，越小。48二階系統(tǒng)中與的關(guān)系出現(xiàn)圖斷開的情況。主要因?yàn)橹灰泻苄〉淖兓?，變化就很大?9一次課2學(xué)時(shí)50穩(wěn)態(tài)誤差T趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)的希望值和輸出值之間的誤差就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。二階系統(tǒng)在階躍信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差恒為0。P75第四小段，畫下來。51例3－1例3－252例：(考研題）閉環(huán)極點(diǎn)分布如圖所示：閉環(huán)極點(diǎn)沿半徑方向變化，如何變化。閉環(huán)極點(diǎn)沿圓周方向變化，如何變化。解：1.沿半徑變化，則不變，變大。不變，則不變。變大，不變，則變小。2.沿圓周變化，則