Ch3-簡正坐標-聲子及其比熱課件

第三章晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動的研究——晶體的熱學性質固體熱容量——熱運動是晶體宏觀性質的表現(xiàn)

杜?。晏妫―ulong－Petit）經驗規(guī)律——一摩爾固體有N個原子，有3N個振動自由度，按能量均分定律，每個自由度平均熱能為kT摩爾熱容量總的內能1晶格振動——研究固體宏觀性質和微觀過程的重要基礎晶格振動——晶體的熱學性質、電學性質、光學性質、超導電性、磁性、結構相變有密切關系

——實驗表明較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降摩爾熱容量——與溫度無關——杜?。晏妫―ulong－Petit）經驗規(guī)律2格波的研究——先計算原子之間的相互作用力——根據(jù)牛頓定律寫出原子運動方程，最后求解方程一維單原子鏈一維雙原子鏈

簡正坐標

三維晶格振動

晶格比熱晶體的熱力學函數(shù)3nn+1n+2n-1n-2nn+1n+2n-1n-2aa一維單原子鏈運動45678第一Brillouin區(qū)——兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同。所以相鄰原子的位相差取波矢取——第一Brillouin區(qū)——只研究第一Brillouin晶格振動問題——其它區(qū)域不能提供新的物理內容色散關系：頻率極大值和極小值只有頻率在之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強烈衰減（低頻濾波）9格波——長波極限情況

當——格波的色散關系與連續(xù)介質中彈性波的一致10格波——短波極限情況——格波的色散關系與連續(xù)介質中彈性波的不一致——不同頻率的格波傳播速度不同11長波極限下短波極限下相鄰兩個原子振動相位差——晶格可看作是連續(xù)介質——相鄰原子的振動相位相反12-一維雙原子鏈——-聲學波——+光學波代表原胞質心的振動原胞質心保持不變的振動，原胞中原子之間相對運動13——與q之間存在著兩種不同的色散關系——一維復式格子存在兩種獨立的格波——光學波opticalbranch——聲學波acousticbranch14

兩種格波中m和M原子振動振幅之比15采用周期性邊界條件q的取值——h為整數(shù)每一個q的取值所占的空間第一布里淵區(qū)允許的q

值的數(shù)目——晶體中的原胞數(shù)目——對應一個q有兩支格波：一支聲學波和一支光學波——總的格波數(shù)目為2N

，原子的數(shù)目:2Nq取值晶格振動格波數(shù)目=原子自由度數(shù)目16小結：對于一維雙原子鏈，每個原胞中有2個原子，一維晶格振動有2個色散關系式（2支格波），其中：1支聲學波，1支光學波。

晶格振動的格波總數(shù)＝2N＝晶體的自由度數(shù)推廣：若每個原胞中有s個原子，一維晶格振動有s個色散關系式（s支格波），其中：1支聲學波，(s-1)支光學波。

晶格振動格波的總數(shù)＝sN＝晶體的自由度數(shù)17波矢波矢空間一個q

取值（狀態(tài)）占據(jù)的體積

——倒格子原胞體積狀態(tài)密度V=Nv

為晶體體積三維晶格的態(tài)密度

18——共有N=N1N2N3個取值對應于一個波矢q，3支聲學波和3n－3支光學波總的格波數(shù)目——晶體中原子的坐標數(shù)目（自由度數(shù)目）晶格振動總的能量晶格振動能量量子（聲子_Phonon

）波矢的取值19簡諧近似和簡正坐標如何求解晶格振動的振動能量及對應的波函數(shù)？位移坐標里面存在交叉項——》簡正坐標20引入簡正坐標，原子的坐標和簡正坐標通過正交線性變換聯(lián)系起來Q(q,t)代表一個新的空間坐標，它描述的不是某個原子運動的坐標，而是反映晶體中所有原子整體運動的坐標，稱為簡正坐標系統(tǒng)的哈密頓量——消除了交叉項簡諧近似和簡正坐標21系統(tǒng)能量本征值系統(tǒng)本征態(tài)函數(shù)其中振動模——簡正坐標代表所有原子共同參與的一個振動第i種振動模的能量本征值22聲子

——晶格振動的能量量子；或格波的能量量子能量動量聲子當振動模處于時，說明有個聲子（聲子數(shù)）聲子具有能量和動量，可看作是準粒子，但它不能脫離固體而單獨存在，不是一種真實的粒子,是一種準粒子元激發(fā)，所以并不攜帶物理動量。晶格振動——聲子體系晶格振動的問題聲子系統(tǒng)問題的研究每個振動模式在簡諧近似條件下都是獨立的23運動方程：晶體中所有原子共同參與的同一頻率的簡諧振動稱為一種振動模式。能量本征值或格波的能量量子★聲子(Phonon)的概念：聲子是晶格振動的能量量子一種格波即一種振動模式稱為一種聲子，對于由N個原

子組成的一維單原子鏈，有N個格波，即有N種聲子,

nq：聲子數(shù)24Dulong-Petit經驗規(guī)則表明：固體物質的摩爾比熱和溫度無關，但實驗表明在低溫時，比熱量隨溫度迅速趨于零!固體內能包括晶格振動的能量和電子熱運動的能量實驗結果：低溫下，金屬的比熱：

——電子對比熱的貢獻

——晶格振動對比熱的貢獻溫度不是太低的情況或絕緣晶體中，忽略電子對比熱的貢獻晶體比熱25頻率為(q)的振動模由一系列不同量子能級組成，即這第n

個量子態(tài)（子體系）在溫度T

出現(xiàn)的概率為其中Z

為配分函數(shù)一個振動模的平均能量：

其中第一項是振子零點振動能。一個振動模對比熱的貢獻26

一個振動模對比熱貢獻——與晶格振動頻率和溫度有關系對原胞有r

個原子的晶體，有3支聲學波和3(r-1)

支光學波，系統(tǒng)晶格振動貢獻的內能為其中的為系統(tǒng)的零點振動能。這是一個非常復雜的求和。如果原胞中只有一個原子，光頻項為0.同樣，晶體的比熱需要對所有振動模求和系統(tǒng)的內能27

N個原子構成的晶體，所有的原子以相同的頻率

0

振動對于簡單結構的晶體，可用3N代替求和，內能為晶體比熱——愛因斯坦熱容函數(shù)，晶體比熱可表示為愛因斯坦溫度愛因斯坦模型28晶體比熱——選取合適的E

值，在較大溫度變化的范圍內，理論計算的結果和實驗結果相當好地符合——大多數(shù)固體金剛石理論計算和實驗結果比較愛因斯坦模型29晶體比熱溫度較高時得到近似得到Dulong–Petit定律愛因斯坦模型30晶體比熱溫度很低時得到近似

T0

時，CV0，但趨0的速度比實驗快實驗測得結果——愛因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別愛因斯坦模型31晶體內能1912年Debye提出在低溫下，熱能只能激發(fā)長波聲子，此時可以用連續(xù)介質的彈性波來代表格波。——有1個縱波和2個獨立的橫波色散關系——不同q

的縱波和橫波，構成了晶格的全部振動模——不同的振動模，能量不同Debye模型32三維晶格，態(tài)密度——V:晶體體積——波矢q允許的取值在q空間形成了均勻分布的點子體積元態(tài)的數(shù)目——q是準連續(xù)變化的狀態(tài)數(shù)目球層33頻率在之間振動模式的數(shù)目

——頻率也近似于連續(xù)取值

——振動頻率分布函數(shù)，或者振動模的態(tài)密度函數(shù)

一個振動模的熱容

晶體總的熱容

——振動頻率分布函數(shù)和m的計算34

或利用晶格振動模式密度其中晶體內能，求和換成積分晶體比熱長波聲子，頻率和波矢之間為線性關系w=vq，有頻率分布函數(shù)Debye模型35晶體內能于是晶格比熱總的格波數(shù)可決定頻率上限由此得到Debye頻率Debye溫度Debye模型g(w)可寫成代入36晶體內能晶格比熱高溫極限得到Dulong–Petit定律Debye模型37低溫極限晶格比熱Debye定律：熱容和T3成正比Einstein和Debye近似的熱容Debye模型38§3-6確定晶格振動譜的實驗方法

晶格振動的頻率和波矢間的關系

——晶格振動的振動譜晶格振動的振動譜測定方法——中子非彈性散射——光子與晶格的非彈性散射——X射線散射布里淵散射和拉曼散射3940PbCu41SiGaAs42金剛石4344451.中子非彈性散射（單聲子過程）

入射晶體時中子的動量和能量出射晶體后中子的動量和能量

能量守恒中子的非彈性散射是確定晶格振動譜最有效的實驗方法46能量守恒動量守恒倒格子矢量聲子的準動量47測得各個方位上入射中子和散射中子的能量差——確定聲子的頻率慢中子的能量：0.020.04eV，與聲子的能量同數(shù)量級；中子的deBroglie波長：23×10－10m（23?），與晶格常數(shù)同數(shù)量級，可直接準確地給出晶格振動譜的信息。中子的非彈性散射被廣泛地用于研究晶格振動譜。局限性：不適用于原子核對中子有強俘獲能力的情況482.光子與晶格的非彈性散射

入射光子的頻率和波矢散射光子——作用過程滿足能量守恒動量守恒——入射光子受到聲子散射，變成散射光子，與此同時在晶格中放出，或者吸收一個聲子——固定入射光的頻率和入射方向，測量不同方向的散射光的頻率，可以得到聲子的振動譜

49——入射光子受到聲子散射，在晶格中放出一個聲子或者吸收一個聲子發(fā)射或吸收光學聲子的散射稱為Raman散射

發(fā)射或吸收聲學聲子的散射稱為Brillouin散射501)光子與長聲學波聲子相互作用——光子的布里淵散射

長聲學波聲子光子的頻率如果光子波矢與聲子波矢大小近似相等——可見光光子的波矢~105cm-1——光子被長聲學波聲子散射，入射光子與散射光子的波矢大小近似相等51長聲學波聲子的波矢近似地寫成——不同角度方向測得散射光子的頻率，得到聲子頻率聲子的波矢聲子振動譜散射光和入射光的頻率位移—布里淵散射522)光子與光學波聲子的相互作用——光子的拉曼散射

能量守恒動量守恒——光子的拉曼散射限于光子與長光學波聲子的相互作用——可見光或紅外光波矢很小要求聲子的波矢必須很小散射光和入射光頻率位移533.X光的非