《點到直線的距離公式》

點到直線的距離公式

對點到直線的距離的幾點說明：(1)此公式適用于P0為平面內(nèi)任意一點，特別地當(dāng)P0在直線上時，點P0到直線的距離為零.點到直線的距離

(2)幾種特殊情況下的點到直線的距離：①點P(x0,y0)到x軸的距離d=|y0|;②點P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離d=|x0|;③點P(x0,y0)到平行于y軸的直線x=a的距離為d=|x0-a|;④點P(x0,y0)到平行于x軸的直線y=b的距離d=|y0-b|.(3)點到直線的距離也可以轉(zhuǎn)化成點與點之間的距離.

使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程化成一般式.【例1】求點P(1，2)到下列直線的距離：(1)l1:y=x-3;(2)l2：y=-1;(3)y軸.【審題指導(dǎo)】直線方程及點的坐標(biāo)均明確給出,求解的關(guān)鍵是把直線方程化成一般式,直接代入公式求解,必要時數(shù)形結(jié)合更方便.【規(guī)范解答】(1)將直線方程化為一般式為：x-y-3=0,由點到直線的距離公式得(2)方法一：直線方程化為一般式為：y+1=0,由點到直線的距離公式得方法二：∵y=-1平行于x軸，由圖(1)知，d=|2-(-1)|=3.(3)方法一：y軸的方程為x=0，由點到直線的距離公式得方法二：由圖(2)可知，d=|1-0|=1.【互動探究】求點P(1,2)到下列直線的距離：(1)x-y+1=0；(2)x+y-4=0.【解析】(1)∵點P(1,2)在直線x-y+1=0上,∴點P(1,2)到直線x-y+1=0的距離為0.(2)由點到直線的距離公式得點P(1,2)到直線x+y-4=0的距離為

兩平行線間的距離的求解策略：(1)等價轉(zhuǎn)化法：因為兩平行線間的公垂線段都相等，故兩平行線間的距離等于平行線上任意一點到另一條直線的距離，即兩平行線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.兩平行線間的距離(2)公式法：已知兩條直線l1:Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)，則兩條直線間的距離

在利用公式法計算平行線間的距離時務(wù)必保證：①方程化成一般式；②x,y的系數(shù)相等.【例2】求直線l1:3x-4y=-1與直線l2:間的距離.【審題指導(dǎo)】已知兩直線的方程,求解本題可考慮利用等價轉(zhuǎn)化法和公式法兩種方式.需注意應(yīng)用公式法解答本題時應(yīng)把直線l1,l2的方程化成一般式，且x,y的系數(shù)相同.【規(guī)范解答】方法一(等價轉(zhuǎn)化法)：∵l1∥l2，∴兩直線間的距離等于直線l1上任意一點到直線l2的距離.不妨在直線l1上取點P(1,1),則該點到直線l2的距離為方法二(公式法)：把直線l1,l2的方程分別化成一般式得l1:3x-4y+1=0,l2:3x-4y-2=0.由兩平行線間的距離公式得：【互動探究】把題設(shè)中“l(fā)1:3x-4y=-1”換成“”求相應(yīng)問題.(用兩種方法求解)【解題提示】思路一：在l1上任取點P利用點到直線的距離公式求解;思路二：把直線l1,l2的方程化成一般式,代入公式求解.【解析】第一種方法：∵l1∥l2，∴兩直線間的距離等于直線l1上任意一點到直線l2的距離.不妨在直線l1上取點P(0,6),則該點到直線l2的距離為第二種方法：把直線l1,l2的方程分別化成一般式得l1:3x-4y+24=0,l2:3x-4y-2=0.由兩平行線間的距離公式得：1.距離公式的綜合應(yīng)用到目前已學(xué)習(xí)的距離包括兩點間的距離、點到直線的距離及兩平行線間的距離.涉及到距離的問題常常結(jié)合以上三個公式，利用已知條件有效的組合運用，需特別注意的是點到直線的距離及兩平行線間的距離的適用條件，不可錯用.距離公式的應(yīng)用2.直線方程的求解策略立足確定直線的幾何要素——點和方向,利用直線方程的各種形式,結(jié)合直線的位置關(guān)系(平行直線系、垂直直線系及過交點的直線系),巧設(shè)直線方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解.

注意直線方程的特殊情形,如斜率不存在的情形，截距為零的情形等等.【例3】已知直線l經(jīng)過點P(3，1)且被兩平行直線l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的線段長為5，求直線l的方程.【審題指導(dǎo)】本題求直線l的方程，現(xiàn)知兩個條件：①過定點(3，1)，②被平行線l1,l2截得的線段長為5.可畫出它們的圖形，利用平面幾何知識求斜率；也可設(shè)出斜率，利用距離公式求出k.【規(guī)范解答】方法一：設(shè)兩平行線x+y+1=0和x+y+6=0的距離為d,則如圖，設(shè)∠PBB′=θ=∠PB′B,則∴θ=45°,因為兩平行直線的斜率為-1，故所求直線的斜率不存在或為零，由于直線過點P(3，1)，故所求直線l的方程為x＝3或y=1.方法二：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=3,此時與l1,l2的交點分別為A′(3,-4)和B′(3,-9)，截得的線段長|A′B′|=|-4+9|=5，符合題意.若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=k(x-3)+1.解方程組得解方程組得由｜AB｜=5,得解得k=0,即所求的直線方程為y=1,綜上可知，所求直線l的方程為x=3或y=1.【變式訓(xùn)練】求過點A(2，1)且與原點距離為2的直線方程.【解題提示】分直線斜率存在和不存在兩種情形討論.【解析】若直線與x軸垂直，則直線為x=2，∴d=｜2-0｜=2.故x=2符合題意.當(dāng)直線不與x軸垂直時，設(shè)直線為y-1=k(x-2)，即kx-y-2k+1=0.∴原點到直線的距離∴直線方程為3x+4y-10=0.綜上，所求直線為x=2或3x+4y-10=0.【例】若實數(shù)a,b滿足a+b+1=0,求的最小值.【審題指導(dǎo)】

可變形為看成點(a,b)與點(1,1)的距離，又a+b+1=0,可將問題轉(zhuǎn)化為點(1,1)到直線a+b+1=0上的點的距離的最小值.【規(guī)范解答】設(shè)點M(1，1)，P(a,b)，則上式表示點P到點M的距離.又點P在直線a+b+1=0上運動，故即為點M與直線a+b+1=0上任意一點連線的距離，∴|PM|的最小值應(yīng)為點M到直線的距離.【變式備選】已知A(1,3),B(3，1)，點C在3x-y+3=0上，且△ABC的面積為10，求點C的坐標(biāo).【解析】由題意知設(shè)點C(x0,y0),又直線AB的方程為x+y-4=0,

解得或∴點C的坐標(biāo)為或【典例】(12分)已知點P到兩定點M(-1,0),N(1,0)距離的比為點N到直線PM的距離為1,求直線PN的方程.【審題指導(dǎo)】已知及點N到直線PM的距離,求解的關(guān)鍵利用上述條件求出點P的坐標(biāo)進而寫出直線PN的方程.規(guī)范提升【規(guī)范解答】設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),由題設(shè)有即整理得x2+y2-6x+1=0.①……………3分因為點N到PM的距離為1,｜MN｜=2,所以∠PMN=30°,直線PM的斜率為直線PM的方程為②……………6分將②式代入①式整理得x2-4x+1=0.解得代入②式得點P的坐標(biāo)為或……………………10分直線PN的方程為y=x-1或y=-x+1.………………12分【誤區(qū)警示】對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下：【即時訓(xùn)練】(2011·溫州高二檢測)已知直線l過兩直線3x-y-10=0和x+y-2=0的交點，且直線l與點A(1,3)和點B(5，2)的距離相等，求直線l的方程.【解析】由得設(shè)所求l的方程為y+1=k(x-3),則解得∴l(xiāng)的方程為x+4y+1=0,又當(dāng)直線的斜率不存在時，l的方程為x=3,也滿足題意.故所求直線的方程為x+4y+1=0或x=3.1.原點到直線x+2y-5=0的距離為()(A)1(B)(C)2(D)【解析】選D.自主練習(xí)2.兩條平行線y=2x+3與y=2x-4之間的距離是()(A)1(B)7【解析】選C.由題意可知兩平行線可化為2x-y+3=0與2x-y-4=0，∴兩平行線間的距離3.已知點(4,m)到直線x+y-4=0的距離等于1,則m的值為___________.【解析】由點到直線的距離公式得解得答案：4.已知直線l1與l2:x+y-1=0平行,且l1與l2的距離為則直線l1的方程是___________.【解析】設(shè)直線l1的方程為x+y+c=0.由兩平行線間的距離公式得解得c=1或c=-3.∴直線l1的方程是x+y+1=0或x+y-3=0.答案：x+y+1=0或x+y-3=05.已知直線l經(jīng)過點P(－2，5)，且斜率為(1)求直線l的方程；(2)若直線m與l平行，且點P到直線m的距離為3，求直線m的方程.【解析】(1)由直線方程的點斜式，得整理得所求直線方程為3x+4y-14=0.(2)由直線m與直線l平行，可設(shè)直線m的方程為3x+4y+c=0，由點到直線的距離公式得即解得c=1或c=-29，故所求直線方程為3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.一、選擇題(每題4分，共16分)1.(2011·嘉興高二檢測)點(1,-1)到直線x-y+1=0的距離是()【解析】選D.由題意可知課后作業(yè)2.過點P(0,1)且與原點距離為1的直線方程為()(A)x=1(B)y=1(C)x+y=1(D)x-y=1【解析】選B.∵點P(0,1)到原點的距離為1，∴過點P(0,1)且與原點距離為1的直線方程有且只有一條,為y=1.3.如圖，點A的坐標(biāo)為(1，0)，點B在直線y=-x上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)為()【解析】選B.由題意可知當(dāng)AB垂直于直線x+y=0時線段AB最短,此時kAB=1，設(shè)B(a,-a),則4.(2011·?？诟叨z測)兩直線3x+y-3=0與6x+my+1=0平行，則它們之間的距離為()【解題提示】解答本題可先利用兩直線平行求出m的值,進而求出兩直線的距離.【解析】選D.由題意知解得m=2.∴直線6x+my+1=0可化為由兩平行線間的距離公式得二、填空題(每題4分，共8分)5.(2011·徐州高二檢測)兩平行直線x+3y-4=0與2x+6y-9=0的距離為__________.【解析】直線2x+6y-9=0可化為由兩平行線間的距離公式得答案：

6.(2011·蚌埠高二檢測)與直線7x+24y=5平行，并且與該直線之間的距離等于3的直線