2023年高考數(shù)學(xué)第18講 方程求根

第18講方程求根、韋達(dá)定理與待定系數(shù)法

一、知識聚焦

1零值定理

設(shè)函數(shù)/(X)在,，句上連續(xù)，且＜(),則在(。力)內(nèi)至少存在一點(diǎn)C,使得

〃c)=0

2韋達(dá)定理

bc

(1)設(shè)一元二次方程G?+Z?x+C=O(aHO),不，W是其2個(gè)根，則有X]+x

2—,xix2=—

aa

(2)設(shè)一元三次方程以3+區(qū)2+B+2=0(a。0),百,￡,七是其3個(gè)根，則有

b

X]+4+七=---

a

c

玉元2+尤2*3+X3X\=一

a

d

XxX2X3=——

a

2

(3)設(shè)一元〃次方程q)V+4/T+a2xn~++an=0(tz()^0),xpx2,，當(dāng)是其〃個(gè)根，則

有

X+++元〃=---

%

尤1龍2+%七++玉玉+龍2%3+*2%4+…+*2居+-+龍

“(-1)"%

W2

ao

3整系數(shù)多項(xiàng)式方程的根

若既約分?jǐn)?shù)"為整系數(shù)多項(xiàng)式方程/x"+qV'T+o2yL2++4尸+%=0(4,,

P

q,%,M“T，4,eZ)的根，則

推論1:首項(xiàng)系數(shù)為1的整系數(shù)多項(xiàng)式方程的有理根必為整數(shù)根.推論2:整系數(shù)多項(xiàng)式方程

的整數(shù)根必為常數(shù)項(xiàng)凡的約數(shù).

4待定系數(shù)法

一般而言，待定系數(shù)法解題是依據(jù)已知,正確列出等式或方程，即引人一些待定的系數(shù),轉(zhuǎn)化為

方程組來解決，通常有兩種方法:比較系數(shù)法和特殊值法特定系數(shù)法主要用來解決方程問

題、函數(shù)問題，多項(xiàng)式分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、復(fù)數(shù)計(jì)算、解析幾何中求曲線方

程、空間圖形中求平面法向量、證明組合恒等式等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所

以都可以用待定系數(shù)法求解.

使用待定系數(shù)法解題的基本步驟如下.

第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；

第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.

二、精講與訓(xùn)練

【核心例題1】(1)函數(shù)/(x)=e'+2x—3的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是().

、

A

-45°7

B.

;,1

C.

I2)

(2)若關(guān)于x的方程一LL-=履?有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則左的取值范圍為()

x+4

A.(O,l)

C.(了+8

D.(1,+8)

【解題策略】第⑴問，用零值定理作判斷，由于是選擇題，可代入每個(gè)選項(xiàng)區(qū)間的端點(diǎn)驗(yàn)證

函數(shù)值是否異號.第(2)問,如能注音到對任意的ZeR,x=O必是原方程的一個(gè)根，則問題就可

得到簡化，難度下降，可見在解題中若能抓住關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，便可頓時(shí)化繁為簡.

解:(1)?/(X)為增函數(shù),.??可用賦值法驗(yàn)證零值定理，即代入每個(gè)選項(xiàng)區(qū)間的端點(diǎn)值,判斷函

數(shù)值是否異號.

=e^+2xf-l'-3+_4<0,/⑼=—2<0

27

f1^=Ve+2xl-3=Ve-2(0,/(l)=e+2-3=e-l

/出〃1)<0，；.存取e：,1，吏得/優(yōu))=0,故選。.

⑵=紅2有4個(gè)實(shí)數(shù)解，顯然X=0是方程的一個(gè)解.

x+4

下面只考慮xrO情形，即當(dāng)XHO時(shí)有3個(gè)實(shí)數(shù)解即可.

若x>0,原方程等價(jià)于1=日(x+4)，顯然上￥0,則，=+4).

k

要使該方程有解，必須上〉0,則一+4=(X+2)一，此時(shí)x〉0,方程有且必有一解;由此可知當(dāng)

k

x<0時(shí)必須有兩解.

19

當(dāng)x<0時(shí)，原方程等價(jià)于一1=日(x+4)，即一一+4=(X+2)一.

k

畫出函數(shù)圖像(注意x<0且xHT)，要使該方程有兩解，必須滿足0〈一工+4<4,解得

k

ke,這也是上述幾種情況的公共部分.故％e為所求，選C.

【變式訓(xùn)練1］已知二次函數(shù),/■(力=52+樂+(;(000),設(shè)％,%2eR,%<%,且

/(%)//(/)，方程/(x)=g［/(3)+/(%)］有兩個(gè)不等實(shí)根?證明:必有一個(gè)實(shí)根屬于

區(qū)間(玉,々).

【變式訓(xùn)練2］若關(guān)于x的方程4'+。?2*+。+1=0有實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

［核心例題2】⑴設(shè)左29,解關(guān)于x的方程x3+2kx?+k2x+9k+27=0.

(2)已知方程X2+辦+〃=0,%2+3+4=0均無實(shí)根,判斷2*+(［+‘)》+(。+4)=0是

否有實(shí)根.

【解題策略】第(1)問，所給方程是關(guān)于x的三次方程，無法直接求解.而參量Z的最高次帝

是二次，且k的取值蔻圍給定，故應(yīng)進(jìn)行參量與自變量的角色轉(zhuǎn)換,將原方程看成是關(guān)于k的

二次方程，就可得到x與k之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，再利用給定的上的范圍來反求出x及原方程的解.

第(2)問,由方程x2+ax+b^O,x2+cx+d0均無宋根，則為<0,4<0，判斷方程

2/+(a+c)x+e+d)=0是否有實(shí)根，要看這個(gè)方程的判別式冬?若43?(),則此方程有

實(shí)根，若&<0，則此方程無安根，而判斷'的情況必須合理應(yīng)用4<0,&<0所得的結(jié)論.

解：(l)d+262+&2》+94+27=叱/+(2/+9)左+%3+27=0,將其看成關(guān)于攵的二次

方程，則A,=(2f+9)2-4x(/+27)=9(2犬-3『,

—2犬2+6x—18

k——x—=

2x

?"=-3-攵或2/+(22-6)工+18=0.

對于方程2f+(2Z—6)x+18=0,其中

2XX2

A2=(2A:-6)-4218=4(A:-6A:-27)=4(A:-9)(A：4-3)-.A:>9,.-.A2>0

3-k+y/k2-6k-213-Z-J/—6k-27

/.X,=-3-k9x2=

22

⑵；f+ax+0=0無實(shí)根,，A[=4-48<0,即/<4Z?.

2無實(shí)根,；.12

,,,x+cx+d=0A2=c-4d<0..BPc<4d.

方程2x2+(a+c)x+0+d)=O的判別式為

-勖-

A3=(a+c)~-4x29+d)=(a+c18d

22

由a?<4)得-3b<-2a油c?<4Q得一<_2c,

Q=一礦+

A3=(a+c)~-8b-8d<(a+c)~-2~—2c22ac—c-=—(a—c)~

(〃一c)220,???43=-(々一c)2W0,而QWC,即A3<0，故方程

2x2+(Q+c)x+(Z?+d)=0無實(shí)根.

r4+2X2+1X2+1

【變式訓(xùn)練1]解方程W:+]+L1=2.

X"X

【變式訓(xùn)練2】已知方程d+（4a+l）x+4/_i=0恒有非負(fù)的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式訓(xùn)練3】設(shè)氏c為實(shí)數(shù),a。0且awe,若方程

有實(shí)根.證明:方程加+fot+c=O(arO)有兩個(gè)不相

等的實(shí)根.

【核心例題3】丁+62+尿+。=0的3個(gè)根分別為。、6c,并且a、b、。是不全為零

的有理數(shù)，求a、b、c的值.

【解題策略】本例需要用到三次方程的韋達(dá)定理以及整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的相關(guān)定理及

推論,相關(guān)知識可參閱本講“知伏聚焦''中的2和3,這里不再重復(fù).

a——(a+b+c),

解:由三次方程的韋達(dá)定理知＜b=ab-^-hc+ca.(2)

c=-abc,⑶

由(3)式得c=0或。力=—1.

若=-1,代人(2),得b=be+ca—1.(4)

由(1)得。=一(%+〃)，代人(4)式，得方=(。+〃)(一2。一〃)一1=一2片一3?！ㄒ?一1.將

4=一_1代人,得6=—2*二一k+2,整理得/+3—2〃+2=0

bb-

試根，發(fā)現(xiàn)一1是它的解，從而可得。+1乂〃一如+2)=0.

故匕=-1或63-26+2=0.

對于方程》3-2匕+2=0,由于左邊是首項(xiàng)系數(shù)為1的整系數(shù)多項(xiàng)式,且易見±1,±2均不是它

的根,由整系數(shù)多項(xiàng)式方程根的定理及推論可知，此方程沒有有理根.而匕=-1時(shí)，

a=l,c=-1.

a=l,a=1,

綜上,原問題所求的a、氏。為,8=-1或＜h=-2,

c=-\c=0.

【變式訓(xùn)練1】求作一個(gè)一元三次方程，使它的三個(gè)根分別是方程/一7/+i4x-8=0三

個(gè)根的倒數(shù).

【變式訓(xùn)練2】已知一元二次方程a?+法+。=0有兩個(gè)大于0、小于1的相異實(shí)根，其中

a是正整數(shù)功,c是整數(shù)，求a的最小值.

【變式訓(xùn)練3】設(shè)/(￡)=(1+。卜4+兀3_(34+2卜2一44,對任意實(shí)數(shù)4.

⑴證明:方程〃x)=O總有相同實(shí)根；

(2)證明:存在X。恒有/(小)H0?

【核心例題4】⑴分解因式/+/+》2+2

(2)若6龍2-5孫-4y2-15+22y+m可分解為兩個(gè)一次式的積，求m的值并將多項(xiàng)式分解

因式.

【解題策略】運(yùn)用待定系數(shù)法對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解是把高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程，然后

再求解的途徑，其步制如下.

第一步，設(shè)原多項(xiàng)式分解為含待定系數(shù)的因式之積.

第二步，采用系數(shù)比較法列出含待定系數(shù)的方程或方程組,解這個(gè)方程或方程組求出待定系數(shù)

的值，使問題獲得解決.或者，采用數(shù)值代入法,列出含有待定系數(shù)的方程或方程組，解這個(gè)方程

或方程組，求出待定系數(shù)的值，使問題獲得解決.

當(dāng)然，如何設(shè)出原多項(xiàng)式分解為含待定系數(shù)的因式之積是有技巧的.如第(1)問,可把原式中常

數(shù)項(xiàng)2寫成1x2,即設(shè)為#+如+1)卜2+研+2)；那么是否可以把2寫成⑴x(—2)呢？

即設(shè)為(V+3一1)(X+%—2),關(guān)鍵看第二步中所得方程組是否有解第0)問,可先把

6x2-5xy-4/分解為(2x+y)(3x-4y)，把m寫成kl，即設(shè)為(2x+y+k)(3x-4y+l]

的形式，再運(yùn)用上面第二步的解法.

解:⑴設(shè)原式=(d+mx+\^x2+nx+2j，則

f+d+X2+2-x4+（加+〃+（/??"+3）￡+（2m+〃）x+2

m+n=1,(2)

【解法一】比較對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得{+3=1,(3)

2機(jī)+〃=0,(4)

由⑵(4)消去〃，得