立體幾何初步測(cè)試題及答案

立體幾何初步》測(cè)試題及答案

正確的立體幾何圖形應(yīng)該是一個(gè)正方體，因此刪除此題。三、解答題（本大題共4小題，共60分）12.已知四棱錐ABCD－E的底面ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱AE＝BE＝CE＝DE＝a，點(diǎn)F是側(cè)棱AE上的一點(diǎn)，且AF＝EF，BF＝CF＝DF，求四棱錐ABCD－E的體積和母線長(zhǎng)。解：首先可以畫出四棱錐ABCD－E的圖形，如下所示：由于AF＝EF，BF＝CF＝DF，因此可以得到三角形ABF、ACF、ADF都是等腰三角形。又因?yàn)锳BCD是正方形，所以四棱錐ABCD－E是一個(gè)等腰四棱錐，底面的中心為O，側(cè)棱AE垂直于底面ABCD，如下圖所示：設(shè)四棱錐ABCD－E的高為h，母線長(zhǎng)為l，則可以得到以下等式：h2＋(a/2)2＝l2（1）h2＋(3a/4)2＝(l-a)2＋(a/4)2（2）將（1）式代入（2）式，可以得到：(l-a)2＋(a/4)2＝(3a/4)2-(a/2)2化簡(jiǎn)后得到：l2＝(25/16)a2＋h2又因?yàn)樗睦忮FABCD－E的底面為正方形，所以它的體積為：V＝(1/3)×底面面積×高＝(1/3)×a2×h將（1）式代入上式，可以得到：V＝(1/3)×a2×√(l2-(a/2)2)將（1）式和（2）式代入，可以得到：l2＝(25/16)a2＋(a/2)2化簡(jiǎn)后得到：l＝(5/4)×a因此，四棱錐ABCD－E的體積為：V＝(1/3)×a2×(5/4)×a＝(5/12)a3母線長(zhǎng)為：l＝(5/4)×a13.已知棱錐ABCD－E的底面ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱AE＝BE＝CE＝DE＝a，點(diǎn)F是側(cè)棱AE上的一點(diǎn)，且AF＝EF＝2a/3，BF＝CF＝DF，求棱錐ABCD－E的體積和母線長(zhǎng)。解：首先可以畫出棱錐ABCD－E的圖形，如下所示：由于AF＝EF＝2a/3，BF＝CF＝DF，因此可以得到三角形ABF、ACF、ADF都是等腰三角形。又因?yàn)锳BCD是正方形，所以棱錐ABCD－E是一個(gè)等腰棱錐，底面的中心為O，側(cè)棱AE垂直于底面ABCD，如下圖所示：設(shè)棱錐ABCD－E的高為h，母線長(zhǎng)為l，則可以得到以下等式：h2＋(a/2)2＝l2（1）h2＋(2a/3)2＝(l-a)2＋(a/3)2（2）將（1）式代入（2）式，可以得到：(l-a)2＋(a/3)2＝(2a/3)2-(a/2)2化簡(jiǎn)后得到：l2＝(13/12)a2＋h2又因?yàn)槔忮FABCD－E的底面為正方形，所以它的體積為：V＝(1/3)×底面面積×高＝(1/3)×a2×h將（1）式代入上式，可以得到：V＝(1/3)×a2×√(l2-(a/2)2)將（1）式和（2）式代入，可以得到：l2＝(13/12)a2＋(a/2)2化簡(jiǎn)后得到：l＝√(13/3)×a因此，棱錐ABCD－E的體積為：V＝(1/3)×a2×√(13/3)×a＝(1/3)×√(13/3)×a3母線長(zhǎng)為：l＝√(13/3)×a1.若菱形的邊長(zhǎng)為2cm，則在坐標(biāo)系中四邊形ABCD的形狀為菱形，面積為4平方厘米。2.從面C到點(diǎn)P的最短距離為1。3.直線b與平面β平行。4.內(nèi)切球半徑與外接球半徑的比為1:2。5.在圖中，PA為直角三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，且與平面ABC垂直。在這個(gè)圖形中，有一個(gè)直角三角形。6.正確的結(jié)論序號(hào)為1、2。7.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5。一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)沿著長(zhǎng)方體的表面爬到C點(diǎn)，它所爬行的最短距離為6。8.在圖中，PA垂直于平面ABC，平面PAB垂直于平面PBC。則可以證明AB垂直于BC。9.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3。異面直線A1B和B1C所成的角的余弦值為3/4。10.在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB垂直于平面PBC，AB平行于CD，AB=AC=DC/2。則可以證明AE平行于平面PBC，以及AE垂直于平面PDC。11.在圖中，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA垂直于平面PABC，△ABC中∠ACB=90度，AE垂直于PB，AF垂直于PC。則可以證明BC垂直于平面PAB，AE垂直于平面PBC，以及PC垂直于平面AEF。12.在△BCD中，∠BCD=90度，BC=CD=1，AB垂直于平面BCD，∠ADB=60度，E和F分別是AC和AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE/AC=AF/AD=λ(0<λ<1)。則可以證明無(wú)論λ為何值，平面BEF都垂直于平面ABC；當(dāng)λ=1/2時(shí)，平面BEF垂直于平面ACD。14.正方體的棱長(zhǎng)為$a$，內(nèi)切球的直徑為$a$，對(duì)角線為$2a$，外接球的直徑為$2a$。15.416.刪除，不知所指。17.證明：過(guò)$A$作$AD\perpPB$于$D$，由平面$PAB\perp$平面$PBC$，得$AD\perp$平面$PBC$，又$BC\perpPA$，故$BC\perpAB$。18.連接$AD$，$\angleBA_1D$為異面直線$A_1B$與$B_1C$所成的角。在$\triangleA_1DB$中，$A_1B=A_1D=5,BD=42$，則$\cos\angleBA_1D=\frac{2\cdotA_1B\cdotA_1D}{2\cdot5\cdot25}=\frac{1}{25}$。19.(1)證明：取$PC$的中點(diǎn)$M$，連接$EM$，則$EM\parallelCD$，$EM=\frac{1}{2}DC$，所以有$EM\parallelAB$且$EM=AB$，則四邊形$ABME$是平行四邊形。所以$AE\parallelBM$，因?yàn)?AE$不在平面$PBC$內(nèi)，所以$AE\parallel$平面$PBC$。(2)因?yàn)?AB\perp$平面$PBC$，$AB\parallelCD$，所以$CD\perp$平面$PBC$，$CD\perpBM$。由(1)得，$BM\perpPC$，又$AE\parallelBM$，所以$AE\perp$平面$PDC$。20.證明：(1)因?yàn)?PA\perp$平面$ABC$，所以$PA\perpBC$，因?yàn)?\angleABC=90^\circ$，所以$AB\perpBC$，又$PA\capAB=A$，所以$BC\perp$平面$PAB$。(2)因?yàn)?BC\perp$平面$PAB$且$AE\parallel$平面$PAB$，所以$BC\perpAE$，又因?yàn)?PB\perpAE$，且$BC\capPB=B$，所以$AE\perp$平面$PBC$。(3)因?yàn)?AE\perp$平面$PBC$，所以$AE\perpPC$，又$AF\perpPC$，且$AE\capAF=A$，所以$PC\perp$平面$AEF$。21.證明：（Ⅰ）因?yàn)?AB\perp$平面$BCD$，所以$AB\perpCD$，又$CD\perpBC$且$AB\capBC=B$，所以$CD\perp$平面$ABC$。又$\frac{AE}{AF}=\frac{AD}{AC}=\lambda(<1)$，所以不論$\lambda$為何值，恒有$EF\parallelCD$，所以$EF\perp$平面$ABC$，$EF\parallel$平面$BEF$，所以不論$\lambda$為何值，恒有平面$BEF\perp$平面$ABC$。(Ⅱ)由（Ⅰ）知，$BE\perpEF$，又平面$BEF\perp$平面$ACD$，所以$BE\perp$平面$ACD$，所以$BE\perpAC$。因?yàn)?BC=CD=1$，$\angleBCD=90^\circ$，$\angleADB=60