平面的基本性質課件

簡單幾何體的構成探索：簡單幾何體的構成探索：1法國埃菲爾鐵塔

中國的故宮法國埃菲爾鐵塔中國的故宮2印度---泰姬陵印度---泰姬陵3平面的基本性質課件41.點、直線、平面是構成空間圖形的三個基本元素，在長方體中，頂點，棱所在的直線，以及側面、底面之間存在哪些位置關系？2.空間中，點、直線、平面之間有哪些基本位置關系？我們將從理論進行分析和探究.問題提出1.點、直線、平面是構成空間圖形的三個基本元素，在長方體中，5立體幾何研究的對象：空間圖形立體幾何研究的基礎：立體幾何研究的內容：平面幾何空間圖形的畫法、性質、“計算”應用立體幾何研究的對象：空間圖形立體幾何研究的基礎：立體幾何研究62．1空間點、直線、平面之間的位置關系2.1.1平面2．1空間點、直線、平面之間2.1.1平面7知識探究(一):平面的概念、畫法及表示思考1:將一條線段向兩端無限伸展得到的圖形是什么？將課桌面、平靜的水面、田徑場地面向四周無限伸展得到的圖形是什么？思考2:直線是否有長短、粗細之分？平面是否有大小、厚薄之別？思考3:我們不可能把一條直線或一個平面全部畫在紙上，在作圖時通常用一條線段表示直線，你認為用一個什么圖形表示平面比較合適？知識探究(一):平面的概念、畫法及表示思考1:將一條線段8（1）什么是平面？平面的三個基本特點:①平面是平的；②平面是無限延展的；③平面是沒有厚薄的.常見的桌面，黑板面，平靜的水面等都是平面的局部形象。數(shù)學中的平面是一個原始的概念,沒有精確定義,只能描述。1、平面的有關概念一個平面把空間分成兩部分.一條直線把平面分成兩部分．（1）什么是平面？平面的三個基本特點:①平面是平的；②平面是9（2）平面的表示方法平面的畫法:常用平行四邊形來代表平面,表示水平平面的平行四邊形的銳角畫成ABCD平面AC平面平面（2）平面的表示方法平面的畫法:常用平行四邊形來代表平面,表10表示兩平面相交的畫法(1)畫出交線；表示兩平面相交的畫法(1)畫出交線；11表示兩平面相交的畫法觀察并思考：如何畫三個平面相交？有幾種情況？表示兩平面相交的畫法觀察并思考：如何畫三個平面相交？有幾種情12（3）點、線、面位置關系的符號表示（3）點、線、面位置關系的符號表示13三種語言轉換

符號語言文字語言圖形語言點P在直線AB上點Q不在直線AB上點M在平面AC內點A1不在平面AC內直線NP在平面AC內直線MP不在平面AC內BCDA1MDACBPNMQPABA三種語言轉換

符號語言文字語言圖形語言點P在直線A14三種語言轉換

符號語言文字語言圖形語言直線AB與直線BC交于點B直線l和平面α交于A直線l不在平面α內平面α和平面β交于直線lBCAlaAlba三種語言轉換

符號語言文字語言圖形語言直線AB與15平面幾何——在幾個重要公理的基礎上建立起來的知識體系。立體幾何也一樣，需要幾個公理的作為整個體系的基礎。再思考：平面幾何——在幾個重要公理的基礎上建立起來的知識體系。16知識探究（二）：平面的基本性質1思考1:如果直線l與平面α有一個公共點P，那么直線l是否在平面α內?

思考2:如圖，設直線l與平面α有一個公共點A，點B為直線l上另一個點，當點B逐漸與平面α靠近時，直線l上其余各點與平面α的位置關系如何變化？．AABα知識探究（二）：平面的基本性質1思考1:如果直線l與平面α有17如圖，當點A、B落在平面α內時，直線l上其余各點與平面α的位置關系如何？由此可得什么結論？公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內.思考：公理1如何用符號語言表述？它有什么理論作用？．．ABα如圖，當點A、B落在平面α內時，直線l上其余各點與平182、平面的基本性質用途：判斷一條直線是否在某一個平面內若直線在某一個平面內,則直線上任意一點也在這個平面內.公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線上所有點都在這個平面內。2、平面的基本性質用途：判斷一條直線是否在某一個平面內若直19知識探究：思考1:空間中，經過兩點有且只有一條直線，即兩點確定一條直線，那么兩點能否確定一個平面？經過三點、四點可以作多少個平面？思考2:照相機，測量儀等器材的支架為何要做成三腳架？思考3:經過任意三點都能確定一個平面嗎？由此可得什么結論？知識探究：思考1:空間中，經過兩點有且只有一條直線，即兩點確202、平面的基本性質記作：平面ABC公理2：經過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面.公理2的簡單表達：不共線的三個點確定一個平面.．．．ABC2、平面的基本性質記作：平面ABC公理2：經過不在同一條直線21公理2：文字語言：經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。圖形語言：．．．ABC公理2：圖形語言：．．．ABC22公理2：經過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面.公理2的兩個要點缺一不可。經過同一條直線上的三個點可以有無數(shù)個平面.經過不在同一條直線上的空間四點，不一定存在平面.ADBC公理2：經過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面.公理23推論2：P推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面拓展與引伸公理3的推論：推論2：P推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且推論324公理2及三個推論的用途:確定平面的條件，可以幫助我們將某些空間圖形問題轉化為平面圖形，利用平面幾何圖形的性質解決空間問題。簡而言之，就是“化空間問題為平面問題”，這是一種相當重要的研究方法。公理2及三個推論的用途:確定平面的條件，可以25知識探究：思考1:如圖，把三角板的一個角立在課桌面上，三角板所在的平面與桌面所在的平面是否只相交于一點B？為什么？BB思考2:如果兩條不重合的直線有公共點，則其公共點只有一個.如果兩個不重合的平面有公共點，其公共點有多少個？這些公共點的位置關系如何？知識探究：思考1:如圖，把三角板的一個角立在課桌面上，三角板262、平面的基本性質公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這些公共點的集合是一條直線。P2、平面的基本性質公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們27用途：確定兩個平面相交的依據(jù)(連接兩個公共點的直線)。兩個平面的公共點必在它們的交線上.注意：公理2不但告訴我們，兩個相交平面之間存在交線，而且還指出，這條交線是唯一的。兩個平面的交線：兩個相交平面所有公共點的集合，恰好構一條直線，這條公共直線稱為平面的交線.P用途：確定兩個平面相交的依據(jù)(連接兩個公共點的直線)。兩個平282、平面的基本性質公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線上所有點都在這個平面內。用途：判斷一條直線是否在某一個平面內若直線在某一個平面內,則直線上任意一點也在這個平面內.總結與反思：2、平面的基本性質公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內29公理2：經過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面.公理2的三個推論:公理2及三個推論的作用:確定平面的條件，可以幫助我們將某些空間圖形問題轉化為平面圖形。公理2：經過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面.公理30公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這些公共點的集合是一條直線。用途：確定兩個平面相交的依據(jù)(連接兩個公共點的直線)。兩個平面的公共點必在它們的交線上.公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還用途：確定兩個平31理論遷移例1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說明理由.（1）直線AC1在平面A1B1C1D1內；（2）設正方體上、下底面中心分別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1；（3）由點A，O，C可以確定一個平面；（4）平面AB1C1與平面AC1D重合.BB1D1A1DACC1OO1理論遷移例1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，32例2如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關系.ABβαal(1)abPlβα(2)例2如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關系33課堂練習:P43練習：1，2，3，4.

P51習題2.1A組：1，2.

我的課堂P17【我在試一試】我的課堂P17【我在試一試】34例1.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內.證明：應用一----證明一些點(線)共面拓展與延伸例1.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內.證明：應35解題的反思----證明一些點線共面的步驟:(1)據(jù)公理2及推論由其中的點(線)確定一個平面(2)證明其它的點線也在這個平面.練習:ACBP應用一----證明一些點(線)共面拓展與延伸解題的反思----證明一些點線共面的步驟:(1)據(jù)公理2及推36變式:已知一條直線與三條平行直線都相交,求證:這四條直線共面.ACB同一法變式:已知一條直線與三條平行直線都相交,求證:這四條直線共面37ABFBGHCC1D1MNA1B1DE練習2：如圖,過正方體六條棱的中點依次連接構成的圖是什么?ABFBGHCC1D1MNA1B1DE練習2：如圖,過正方體38GFEDCBAH應用二----證明幾點共線(點在直線上或幾線共點)結論可更為：求證三條直線EF、BD、GH共點。GFEDCBAH應用二----證明幾點共線(點在直線上或幾線392.1.2空間中直線與直線的位置關系2.1.2空間中直線與直線的位置關系40知識探究（一）：異面直線的概念思考1：教室內的日光燈管所在的直線與黑板的左右兩側所在的直線，既不相交，也不平行；你還能舉出這樣的例子嗎?

思考2:如圖,長方體ABCD-A′B′C′D′中，線段A′B所在直線分別與線段CD′所在直線、線段BC所在直線、線段CD所在直線的位置關系如何?

CB'C'A'D'BAD知識探究（一）：異面直線的概念思考1：教室內的日光燈管所在的411.定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做

異面直線。一、異面直線的概念注意：定義中“任何”不可少！分別在兩個平面內的兩條直線是異面直線嗎？NO！兩直線異面是指：不存在（找不到）一個平面包含這兩條直線。1.定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做一、異面直線的概42異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線．異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內432.判定異面直線的方法：（2）連接平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面不經過此點的直線是異面直線。（1）根據(jù)異面直線的定義；應用反證法來證明。βba-----襯托2.判定異面直線的方法：（2）連接平面內一點與平面外一點的直44二、空間兩直線的位置關系：相交平行或異面異面直線——相交直線平行直線不同在任何一個平面內，沒有公共點.

——同一平面內，有且只有一個公共點；——同一平面內，沒有公共點；二、空間兩直線的位置關系：相交平行或異面異面直線——相交直線45ABCDA1B1C1D1練1：圖中：哪些棱所在直線與直線BA1是異面直線？ABCDA1B1C1D1練1：圖中：哪些棱所在直線與直線BA46知識探究（二）：三線平行公理思考1:設直線a//b，將直線a在空間中作平行移動，在平移過程中a與b仍保持平行嗎?知識探究（二）：三線平行公理思考1:設直線a//b，將直線a47實驗與發(fā)現(xiàn):思考2:取一塊長方形紙板ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，將紙板沿EF折起，在空間中直線AD與BC的位置關系如何?AFEDCBBCADEF實驗與發(fā)現(xiàn):思考2:取一塊長方形紙板ABCD，E，F(xiàn)分別為A48通過上述實驗可以得到什么結論？

公理4平行于同一直線的兩條直線互相平行.符號語言:思考3:公理4叫做三線平行公理，它說明空間平行直線具有傳遞性，在邏輯推理中公理4有何理論作用？

——判定空間二直線平行的依據(jù)問:如圖,在長方體ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′與DD′平行嗎?CB'C'A'D'BAD三、平行公理及等角定理通過上述實驗可以得到什么結論？公理4平行于同一直線的49知識探究：等角定理思考1:在平面上，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角的大小有什么關系？

知識探究：等角定理思考1:在平面上，如果一個角的兩邊與另一個50思考2:

如圖,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四邊形，∠ADC與∠A′D′C′,∠ADC與∠B′A′D′的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系如何?BADCA'B'D'C'BADCA'B'D'C'思考2:如圖,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是51思考3:如圖，在空間中AB//A′B′，AC//A′C′，你能證明∠BAC與∠B′A′C′相等嗎？BCAB′C′A′EE′DD′思考3:如圖，在空間中AB//A′B′，AC//A′C′52思考4:綜上分析我們可以得到什么定理?

定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.思考5:上面的定理稱為等角定理，在等角定理中，你能進一步指出兩個角相等的條件嗎？

角的方向相同或相反思考4:綜上分析我們可以得到什么定理?定理：空間中如果53畫兩個相交平面，在這兩個平面內各畫一條直線，使它們成為：⑴平行直線；⑵相交直線；⑶異面直線。abαβabαβabαβ課堂練習:畫兩個相交平面，在這兩個平面內各畫一條直線，54理論遷移例1如圖是一個正方體的表面展開圖,如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有多少對?

FAHGEDCBCDBAEFGH理論遷移例1如圖是一個正方體的表面展開圖,如果將它還55空間四邊形——順次連接不共面的四點A、B、C、D，所組成的四邊形?？臻g四邊形的對角線：AC、BD.ACDB空間四邊形——順次連接不共面的四點A、B、C、D，所組成的四56例2如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形.(2)若AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形?FGDAEBCH例2如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是57練習：P51習題2.1A組：3，6.閱讀少智報相關內容閱讀少智報相關內容58第二課時異面直線所成的角2.1.2空間中直線與直線之間的 位置關系

第二課時異面直線所成的角2.1.2空間中直線與直59問題提出1.什么叫異面直線？三線平行公理和等角定理分別說明什么問題？

2.不同的異面直線有不同的相對位置關系，用什么幾何量反映異面直線之間的相對位置關系，是我們需要探討的問題.問題提出1.什么叫異面直線？三線平行公理和等角定理分別60異面直線所成的角異面直線所成的角61知識探究（一）：異面直線所成的角問1:兩條相交直線、平行直線的相對位置關系，分別是通過什么幾何量來反映的？

問3:兩條異面直線之間有一個相對傾斜度，若將兩異面直線分別平行移動，它們的相對傾斜度是否發(fā)生變化？

問2:設想用一個角反映異面直線的相對傾斜度，但不能直接度量，你有什么辦法解決這個矛盾？

知識探究（一）：異面直線所成的角問1:兩條相交直線、平行直線62設想：把兩條異面直線分別平移，使之在某處相交得到兩條相交直線，我們用這兩條相交直線所夾的銳角(或直角)來反映異面直線的相對傾斜程度，并稱之為異面直線所成的角.你能給“異面直線所成的角”下個定義嗎？

abobˊaˊ設想：把兩條異面直線分別平移，使之在某處相交得到兩條相交直線63Def:過空間任一點O，分別引直線a1∥a，b1∥b，則a1和b1所成的銳角（或直角）作為異面直線a、b所成的角。平移法：即根據(jù)定義，以“運動”的觀點，用“平移轉化”的方法，使之成為相交直線所成的角。一、異面直線a、b所成的角：異面問題化為共面問題.O·Def:過空間任一點O，分別引直線a1∥a，b1∥b，則a164Def:過空間任一點O，分別引直線a1∥a，b1∥b，則a1和b1所成的銳角（或直角）作為異面直線a、b所成的角。Def’:分別和兩條異面直線平行的兩條相交直線所成的銳角（或直角）叫做這兩條異面直線所成的角。Def:如果兩條異面直所成的角是直角,那么這兩條直線互相垂直。(1)空間兩直線垂直,一定相交嗎?(2)空間中同垂直一條直線的兩條直線,一定平行嗎?辯析題：Def:過空間任一點O，分別引直線a1∥a，b1∥b，則a65二、兩條異面直線的距離1、兩條異面直線的公垂線:和兩條異面直線都垂直相交的直線A1B1C1D1ABCD2、兩條異面直線的距離:公垂線在這兩條異面直線間的線段(公垂線段)的長度二、兩條異面直線的距離1、兩條異面直線的公垂線:和兩條異面直66理論遷移例1

如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中.（1）直線A′B和CC′的夾角是多少？（2）哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？哪些棱所在的直線與直線A′B垂直？A′B′C′D′ABCD理論遷移例1如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中67AFEDCB例2如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC上的點,且已知AB=CD=3，,求異面直線AB和CD所成的角.MAFEDCB例2如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分M68ABCDA1B1C1D1⑵600答:⑴BC、CD、B1C1、C1D1.如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中：⑴哪些棱所在直線與直線AA1成異面直線且互相垂直？⑵已知AB=√3，AA1=1，求異面直線BA1與CC1所成角的度數(shù)。變式：ABCDA1B1C1D1⑵600答:⑴BC、CD、B1C69解題反思:1、空間兩直線的位置關系的判定：兩直線的位置關系有三種可能：異面直線的判定方法有二:求異面直線所成角的常見方法:求作(平移、找）證（由定義指明角）計算（劃規(guī)為平面角，解三角形）解題反思:1、空間兩直線的位置關系的判定：兩直線的位置關系有70例3：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm,AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。O1MDB1A1D1C1ACB于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補角）分析：如圖，連B1D1與A1C1交于O1，取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，例3：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2c71解二：方法歸納：補形法把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關系。在A1C1E中，由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體,有公共面的長方B1