（全國統(tǒng)考）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形4.5第1課時(shí)兩角和與差的正弦余弦與正切公式學(xué)案（理含解析）北師大版

4.5三角恒等變換第1課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦與正切公式必備知識(shí)預(yù)案自診知識(shí)梳理1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角差的余弦公式:cos(α-β)=;兩角和的余弦公式:cos(α+β)=;兩角差的正弦公式:sin(α-β)=;兩角和的正弦公式:sin(α+β)=;兩角和的正切公式:tan(α+β)=;兩角差的正切公式:tan(α-β)=.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=;(2)cos2α===;(3)tan2α=2tanα3.半角公式sinα2=±1cosα2=±1+costanα2=±11.公式的常用變式:tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ).2.降冪公式:(1)sin2α=1-cos2α2;(2)cos2α=1+cos2α23.升冪公式:(1)1+cosα=2cos2α2;(2)1-cosα=2sin2α2;(3)1±sinα=sinα2±cosα2考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式中的角α,β是任意的.()(2)公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值與a,b(3)cosθ=2cos2θ2-1=1-2sin2θ2.(4)當(dāng)α是第一象限角時(shí),sinα2=1(5)1-tanθ1+tanθ=2.(2020全國3,理9)已知2tanθ-tanθ+π4=7,則tanθ=()A.-2 B.-1C.1 D.23.(2020廣東揭陽一模,4)若sinπ2-2α=35,則sin4α-cos4α的值為()A.45 B.C.-45 D.-4.(2020湖南常德一模,文13)已知sin20°+mcos20°=2cos130°,則m=.5.(2020全國2,文13)若sinx=-23,則cos2x=關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點(diǎn)公式的直接應(yīng)用【例1】(1)(2020湖南郴州二模,文4)已知角α的終邊在直線y=43x上,則tanπ4-α=()A.17 B.-17 C.7 D.(2)(2020浙江,13)已知tanθ=2,則cos2θ=;tanθ-π解題心得三角函數(shù)和、差、倍、半公式對(duì)使公式有意義的任意角都成立.在解題時(shí)要注意觀察已知條件中的角和所求函數(shù)值的角之間的和、差、倍、互補(bǔ)、互余等關(guān)系,以便于用已知角表示未知角.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2020山西太原五中6月模擬,理8)已知α∈π,3π2,2sin2α=1-cos2α,則tanα2=(A.-1+52 BC.-1±52 D(2)已知sinα=35,α∈π2,π,則cos2α2考點(diǎn)公式的逆用及變用【例2】(1)(2020全國3,文5)已知sinθ+sinθ+π3=1,則sinθ+π6=()A.12 B.33 C.23(2)(2020陜西寶雞三模,文11)數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用,黃金分割比t=5-12≈0.618還可以表示成2sin218°,則2coA.4 B.5-1 C.2 D.1(3)計(jì)算:tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=.解題心得運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí),不但要熟練公式的直接應(yīng)用,而且要熟悉公式的逆用及變形,如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓展思路,培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)設(shè)a=cos50°cos127°+cos40°cos37°,b=22(sin56°-cos56°),c=1-tan239°1+tan2A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.a>c>b(2)已知cosα-π6+sinα=435,則sinα+π6=.考點(diǎn)角的變換與名的變換(多考向探究)考向1三角公式中角的變換【例3】(1)(2020河北石家莊二模,文7)在平面直角坐標(biāo)系中,角α+π3的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),則sinα=(A.25-15C.35+15(2)(2020山東聊城二模,13)已知cosα+π5=35,α∈0,π2,則sin2α-3π5=.解題心得1.三角公式求值中變角的解題思路(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí),“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式;(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí),此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.2.常見的配角技巧2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2020四川成都模擬,理7)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓O交于點(diǎn)P(x0,y0),且α∈-π2,0,cosα+π6=35,則x0的值為()A.33-4C.33±410(2)(2020山東濟(jì)寧5月模擬,14)已知tan(α+β)=25,tanβ=13,則tanα+π4的值為考向2三角公式中名的變換【例4】已知α,β為銳角,tanα=43,cos(α+β)=-5(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解題心得三角函數(shù)名的變換技巧:明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系,常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式,把正弦、余弦化為正切,或者把正切化為正弦、余弦.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)已知tanθ+1tanθ=4,則cos2θ+π4=(A.12 B.13 C.14(2)(2019江蘇,13)已知tanαtanα+π4=-23,則sin21.解決三角函數(shù)問題要重視三角函數(shù)的“三變”:“三變”是指“變角、變名、變式”.變角:對(duì)角的分拆要盡可能化成同角、余角、補(bǔ)角、特殊角;變名:盡可能減少函數(shù)名稱;變式:對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.2.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則:一看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,靈活使用公式;二看函數(shù)名稱之間的差異,確定使用的公式,常見的有“切化弦”;三看結(jié)構(gòu)特征,找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升冪”等.1.解題時(shí)注意觀察角、名、結(jié)構(gòu)等特征,注意利用整體思想解決相關(guān)問題.2.運(yùn)用公式時(shí)要注意公式成立的條件,要注意和、差、倍角的相對(duì)性,要注意升冪、降冪的靈活運(yùn)用,要注意“1”的各種變形.3.在三角求值時(shí),往往要估計(jì)角的范圍后再求值.特別是在(0,π)內(nèi),正弦值對(duì)應(yīng)的角不唯一.4.5三角恒等變換必備知識(shí)·預(yù)案自診知識(shí)梳理1.cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ-cosαsinβsinαcosβ+cosαsinβtan2.(1)2sinαcosα(2)cos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2.D由已知得2tanθ-1+tanθ1-tanθ=7,即tan2θ-4tanθ+4=0,解得3.Dsinπ2-2α=cos2α=35,sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=-cos2α=-354.-3已知sin20°+mcos20°=2cos130°=-2cos50°=-2cos(20°+30°)=sin20°-3cos20°,所以m=-3.5.19∵sinx=-2∴cos2x=1-2sin2x=1-2×49關(guān)鍵能力·學(xué)案突破例1(1)B(2)-3513(1)因?yàn)榻铅恋慕K邊在直線y=43x上,所以tanα=43,則tanπ4-α=1-(2)cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θtanθ-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)B(2)-75(1)由2sin2α=1-cos2α,得4sinαcosα=2sin2α,即2cosα=sinα,所以tanα=由tanα=2tanα21-tan2α2=2,得tan2α2+因α∈π,3π2,則α2∈π2,所以tanα2<所以tanα2=-1+(2)∵sinα=35,α∈π2,π,∴cosα=-45cos2=co=cosα-sinα=-75例2(1)B(2)D(3)3(1)根據(jù)兩角和的正弦公式展開得sinθ+sinθ+π3=sinθ+12sinθ+32cosθ=32sinθ+32cosθ=1,即3sinθ+π6=1,解得sinθ+π6=33.故選(2)∵t=2sin18°,∴2cos(3)原式=tan(25°+35°)(1-tan25°tan35°)+3tan25°tan35°=3(1-tan25°tan35°)+3tan25°tan35°=3.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)D(2)45(1)a=cos50°cos127°+=cos50°cos127°+sin50°sin127°=cos(50°-127°)=cos(-77°)=cos77°=sin13°,b=22(sin56°-cos56°)=22sin56°-22cos56°=sin(56°-c=1=cos239°-sin239°=cos78°=sin12°.因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx,在區(qū)間0,π2上單調(diào)遞增,所以sin13°>sin12°>sin11°,所以a>c>b.(2)由cosα-π6+sinα=435,可得32cosα+12sinα+sinα即32sinα+32cosα=∴3sinα+π6=435,即sinα+π6=45例3(1)A(2)-2425(1)由題意知sinα+π3=25,cosα+π3=15sinα=sinα+π3-π3=sinα+π3cosπ3-cosα+π3·sinπ3=25故選A.(2)由α∈0,π2,得α+π5∈π5,7π10,又cosα+π5=所以sinα+π5=45.sin2α-3π5=sin2α-π+2π5=-sinπ-2α+2π5=-sin2α+2π5=-2sinα+π5cosα+π5=-2×45×3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)A(2)98(1)由α∈-π2,0,得α+π6∈-π3,π6,若α+π6∈0,π6,cosα+π6>cosπ6所以α+π6∈-π3,0,sinα+π6=-45,所以x0=cosα=cosα+π6-π6=35×32+-45×1(2)因?yàn)閠anα=tan[(α+β)-β]=tan(tanα+π4=tanα=117例4解(1)因?yàn)閠anα=43,tanα=sinαcosα,所以sinα=43cosα.因?yàn)閟in2α+cos2α=1,所以cos2α=925,所以cos2α=2cos2(2)因?yàn)棣?β為銳角,所以α+β∈(0,π).又因?yàn)閏os(α+β)=-55所以α+β∈π2,π.所以sin(α+β)=1-cos2(α+β)=因?yàn)閠anα=43所以tan2α=2tanα1-