線性相關(guān)性的判定

線性相關(guān)性的判定第1頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月x1α1

+

x2α2

+…

+

xnαn=b

(3)

顯然，由（3）式知，若b能由α1,α2,

…

,αn線性表示，則線性方程組（1）有解，若b不能由α1,α2,…

,αn線性表示，則線性方程組（1）無解；當(dāng)b=0時，（3）式變?yōu)閤1α1

+

x2α2

+…

+

xnαn=

0（4）

顯然，由（4）知，若α1,α2,…

,αn

線性相關(guān)，則它所對應(yīng)的其次線性方程組Ax=0有非零解，若

α1,α2,…

,

αn線性無關(guān)，則Ax=0僅有零解.將A按列分塊，由（2）得第2頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例如向量組顯然，β

＝3α1

+2α2

+0α3，所以線性方程組x1α1+x2α2+x3α3=β

綜上所述，向量b能不能由向量組α1,α2,…,αn線性表示，則說明它所對應(yīng)的非齊次的線性方程組Ax=b有沒有解的問題；向量組α1,α2,…,αn的線性相關(guān)性，則說明它所對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0有什么樣的解的問題.第3頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月向量組由于α1，α2，β

線性無關(guān)，所以β

不能由α1，α2線性表示，即線性方程組x1α1+x2α2=β亦即無解.即有解.第4頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

又如向量組顯然，α1，α2，α3

線性相關(guān)，且α3

＝3α1+2α2所以，線性方程組x1α1+x2α2+x3α3=0有非零解.第5頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月向量組顯然，α1，α2，α3

線性無關(guān)，所以齊次線性方程組x1α1+x2α2+x3α=0僅有零解.第6頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月二、線性相關(guān)性的判定定理4向量組α1，α2，…，αm線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成矩陣A=(α1，α2，…，αm)的秩小于向量個數(shù)m；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)=m.

例1n維向量組稱為n維單位坐標(biāo)向量組，試討論它的線性相關(guān)性.第7頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月解n維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣E=(e1，

e2，…，

en

)是n階的單位矩陣由|E|=1≠0，知R(E)=n，即R(E)等于向量組中向量的個數(shù)，故由定理4知向量組是線性無關(guān)的.

例2已知試討論向量組α1，α2，α3

及向量組α1，α2

的線性相關(guān)性.第8頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月解對矩陣（α1，α2，α3

）施行初等行變換，使之變成行階梯形矩陣，即可同時看出矩陣(α1，α2，α3)及矩陣（α1，α2）的秩，由定理4即可得出結(jié)論.（α1，α2，α3）＝??可見R(

α1，α2

，α3)=2,由定理4知向量組α1，α2

，α3

線性相關(guān)；R(

α1，α2)＝2，向量組α1，α2

線性無關(guān).第9頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例3已知向量組α1,α2

,α3線性無關(guān),令β1=α1+α2

,

β2=α2+α3

,β3=α3+α1,試證向量組β1,

β2,β3線性無關(guān).證設(shè)有x1,x2,x3使x1

β1+

x2

β2+x3

β3=0,即x1

(α1+α2

)+x2(

α2+α3)+x3

(α3+α1)=0亦即(x1+x3

)α1+(x1+x2

)

α2

+(x2+x3

)α3

=0因α1,α2

,α3

線性無關(guān)，故有第10頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月由于此方程組的系數(shù)行列式故方程組只有零解x1=x2=x3

=0，所以向量組β1,

β2,β3線性無關(guān).第11頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理5（1）若向量組A:α1,α2,…,αm

線性相關(guān)，則向量組B:α1,α2,…,αm,αm+1也線性相關(guān).反言之，若向量組

B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān).證記A=(α1,α2,…,αm),B=(α1,α2,…,αm,αm+1

)有R(B)≤R(A)+1

，若向量組A線性相關(guān)，則由定理4有R(A)<m,從而R(B)≤R(A)+1<m+1,再由定理4知向量組B線性相關(guān).

由上面的證明知：一個向量組若有線性相關(guān)的部分組，則該向量組必線性相關(guān).特別地，含有零向量的向量組一定線性相關(guān).一個向量組線性無關(guān)，則它的任何部分組都線性無關(guān).第12頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)設(shè)(j=1,2,…,m)

即向量αj添上一個分量后得向量βj,若向量組A:α1,α2,…,αm線性無關(guān)，則向量組B:β1,

β2

,…,

βm也線性無關(guān)，反言之，若向量組B線性相關(guān)，則向量組A也線性相關(guān).證記Ar×m=(α1,α2,…,αm),B(r+1)×m=(β1,

β2

,…,

βm),有R(A)≤R(B).若向量組A線性無關(guān)，則R(A)=m,從而R(B)≥

m.但R(B)≤m,故R(B)＝m

，因此向量組B線性無關(guān).第13頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）m個n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量的個數(shù)m時一定線性相關(guān).證

m個n維向量α1,α2,…,αm構(gòu)成的矩陣An×m=(α1,α2,…,αm),有R(A)≤n.若n<

m,則R(A)<

m,故m個向量α1,α2,…,αm線性相關(guān).推論若r維的向量線性無關(guān),在r維的向量組每個向量都添上n–r個分量，得n維的向量組，則n維的向量組線性無關(guān).第14頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例4設(shè)有向量組αiT

=(ai,ai2,…

,ain),(i=1,2,…,m.m≤n),試證向量組α1T,α2T,…,αmT,線性無關(guān)，其中a1,a2,…,am為m個互不相等且不等于零的常數(shù).證因為α1T

=(a1,a12,…

a1m,…,a1n)α2T

=(a2,a22,…

a2m,…,a2n)αmT

=(am,am2,…

amm,…,amn)…………………前m個分量作成的行列式第15頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月從而向量組β1T

=(a1,a12,…

a1m)β2T

=(a2,a22,…

a2m)………βmT

=(am,am2,…

amm)線性無關(guān)，所以增加分量后所得的向量組

α1T

,

α2T,

…,

αmT線性無關(guān).第16頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例5設(shè)A是n×m矩陣，B是m×n矩陣，其中n<m，若AB=E，證明B的列向量線性無關(guān).證設(shè)B=(β1,β2,…

,βn)，其中β1,β2,…

,βn是B的列向量，若x1

β1+x2

β2+…

+xn

βn=0即（β1,β2,…

,βn）=BX

=0兩邊左乘A得ABX=0

，即EX=0，從而X

=0，所以β1,β2,…

,βn線性無關(guān).第17頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例6設(shè)向量β

可由向量組α1，α2，…

，αm線性表示，但不能向量組(Ⅰ)α1，α2，…

,αm–1線性表示，記向量組（Ⅱ）

β，α1，α2，…

,αm–1

，則αm能由（Ⅱ）線性表示，但不能由(Ⅰ)線性表示.證由于β

可由α1，α2，…

，αm線性表示，即

β＝λ

1α1+λ2α2+…

+λ

m

αm又因為β不能由向量組α1，α2，…

,αm–1線性表示，所以λ

m≠0，從而故則αm

能由（Ⅱ）線性表示.第18頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)αm能由(Ⅰ)線性表示，則有αm＝k1α1

+k2α2

+…

+km–1αm–1

β

＝λ

1

α1+λ2

α2+…

+λ

m

αm＝λ1α1+λ2α2+…

+