北京市豐臺區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第19頁/共20頁豐臺區(qū)2022—2023學(xué)年度第二學(xué)期期末練習(xí)高一數(shù)學(xué)2023.07第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知向量，.若，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】向量，.若，則有，則.故選：C2.若為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法、乘法運(yùn)算法則，可得結(jié)果.【詳解】故應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.3.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱.若角的終邊與單位圓⊙交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對稱可得，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】角與角終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，且若角的終邊與單位圓⊙交于點(diǎn)，所以角的終邊與單位圓⊙交于點(diǎn)，故，故選：B4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出,再根據(jù)兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】因為,,所以,則.故選：A.5.《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，在該書的第五卷“三斜求積”中，提出了由三角形的三邊直接求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”把以上這段文字寫成公式，就是（其中為三角形面積，為小斜，為中斜，為大斜）.在中，若，，，則的面積等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用題中所給三角形的面積公式即可求解．【詳解】在中，若，，，則的面積．故選：B．6.已知是兩條不重合直線，是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（）A.若∥，∥，則∥B.若，∥，則C.若，，，則D.若，，，則∥【答案】D【解析】【分析】對于ABC，舉例判斷，對于D，利用面面垂直的性質(zhì)和線面平行的判定分析判斷【詳解】對于A，如圖在長方體中，∥，∥，此時，所以A錯誤，對于B，如圖在長方體中，，∥，此時∥，所以B錯誤，對于C，如圖在長方體中，，，，此時∥，所以C錯誤，對于D，如圖，設(shè)，在平面作直線于點(diǎn)，因為，所以，因為，所以∥，因為，，所以∥，所以D正確，故選：D7.將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向右平移個單位長度得到點(diǎn)P′.若P′位于函數(shù)的圖象上，則（）A.，的最小值為 B.，的最小值為C.，的最小值為 D.，的最小值為【答案】A【解析】【分析】由題意在函數(shù)上，可得的值，求出的坐標(biāo)，由題意可得關(guān)于的方程，可得的最小值．【詳解】點(diǎn)在函數(shù)上，所以，則,，將,代入中可得,，可得或，由于，所以的最小值為．故選：A8.如圖，在四邊形中，.若為線段上一動點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，再由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再求二次函數(shù)的最大值即可．【詳解】以為原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，則，，，當(dāng)時，有最大值6．故選：C．9.如圖，在正方形中，分別為邊，的中點(diǎn).現(xiàn)沿線段，及把這個正方形折成一個四面體，使三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為.在該四面體中，作平面，垂足為，則是的（）A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意證明平面，得到，進(jìn)而證明平面，得到，同理得到和即可得到答案.【詳解】如下圖所示，四面體中，連接，由題意知，，，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，因為平面，平面，所以，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，同理，，，則是的垂心.故選：A10.如圖，已知直線，為之間一定點(diǎn)，并且點(diǎn)到距離為2，到的距離為1.為直線上一動點(diǎn)，作，且使與直線交于點(diǎn)，則△面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系．直線的斜率存在，設(shè)方程為：，，直線的方程為：，可得的面積，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．或者利用銳角三角函數(shù)，結(jié)合二倍角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)及可求解.【詳解】解法一：不妨將圖形順時針旋轉(zhuǎn)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．直線的斜率存在，設(shè)方程為：，．則直線的方程為：，，．的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．的面積最小值為2．故選：C．解法二：設(shè)角則，故所以的面積由于，所以，故當(dāng)時，面積取最小值2，故選：C第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則其側(cè)面積為______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，即可求得該圓柱的側(cè)面積，得到答案.【詳解】由題意，圓柱的底面半徑為1，母線長為2，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得其側(cè)面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的側(cè)面積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記圓柱的側(cè)面積公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12.某運(yùn)動員射擊一次，命中環(huán)的概率為，命中環(huán)的概率為，則他射擊一次命中的環(huán)數(shù)不超過的概率為___________.【答案】##0.4【解析】【分析】根據(jù)對立事件的定義求解即可．【詳解】由題意，射擊一次命中的環(huán)數(shù)不超過8的概率為．故答案為：0.413.在復(fù)平面內(nèi)，是原點(diǎn)，向量對應(yīng)復(fù)數(shù)是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.若，則___________.【答案】【解析】【分析】求出兩向量的坐標(biāo)，然后由，可得，可求出的值.【詳解】因為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，所以，，因為，所以，得，故答案為：14.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則常數(shù)的一個取值為___________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】當(dāng)時，化簡得到，滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，可得，此時函數(shù)滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以常數(shù)的一個取值可以為.故答案為：（答案不唯一）.15.如圖，在棱長為2的正方體中，分別為線段上的動點(diǎn)，給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)為線段的中點(diǎn)時，兩點(diǎn)之間距離的最小值為；②當(dāng)為線段的中點(diǎn)時，三棱錐的體積為定值；③存在點(diǎn)，，使得平面；④當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時，平面截該正方體所得截面的周長為.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.【答案】②③【解析】【分析】對于①，根據(jù)垂線段最短，結(jié)合等邊三角形圖形特點(diǎn)進(jìn)行計算即可；對于②，根據(jù)三棱錐體積公式進(jìn)行判斷即可；對于③，根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而判斷即可；對于④，根據(jù)正方體圖形特點(diǎn)找到截面，進(jìn)而求解周長即可.【詳解】對于①，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時，連接，如圖所示，則為線段的中點(diǎn)，是邊長為的正三角形，兩點(diǎn)之間距離的最小值為到的垂線段長度，此時，故①錯誤；對于②，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時，連接，如圖所示，顯然，到平面的距離為定值，面積為定值，結(jié)合三棱錐體積公式可知，三棱錐的體積為定值，故②正確；對于③，當(dāng)與重合，與重合時，如圖所示，由正方體可知平面，，因為平面，所以，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，同理，，又因為平面，，所以平面，即平面，所以存在點(diǎn)，，使得平面，故③正確；對于④，當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時，延長交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖所示，由得四邊形是平行四邊形，所以，由可知，即，所以是中點(diǎn)，又因為是中點(diǎn)，所以,，所以平面截該正方體所得截面為等腰梯形，在直角中，，同理，所以截面的周長為,即當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時，平面截該正方體所得截面的周長為，故④錯誤.故答案為：②③【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用.解決立體幾何問題的常見方法有：（1）定義法，通過相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理直接求解；（2）空間向量法，運(yùn)用空間向量進(jìn)行基底轉(zhuǎn)化或者運(yùn)用坐標(biāo)法結(jié)合公式求解；（3）轉(zhuǎn)化法，通過轉(zhuǎn)化與化歸，將所求長度或角度轉(zhuǎn)化求解.三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在△中，.（1）求；（2）若，且△的面積為，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.【小問1詳解】解：因為，所以由正弦定理得.因為、，所以，所以，即，即，所以.【小問2詳解】解：由（1）知，，因為，的面積為，所以由，解得.由余弦定理，所以.17.如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求證：平面平面.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意得，且，所以四邊形是平行四邊形，于是，根據(jù)線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）選①：由題意可得，，所以平面，利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論；選②：由題意可得，，從而平面，利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論.【小問1詳解】因為三棱柱是直三棱柱，所以四邊形是平行四邊形.因為分別為棱的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，于是.又平面平面，所以平面.【小問2詳解】選①：由（1）知，，且，所以.因為直三棱柱，所以平面.又平面，所以.因為，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.選②：因為，且為棱的中點(diǎn)，所以.因為直三棱柱，所以平面.又平面，所以.因為，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值以及取得最大值時的值.【答案】（1）（2）時，有最大值為2.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象確定A，以及周期即可求得，利用特殊點(diǎn)坐標(biāo)可求得，即可得函數(shù)解析式；（2）先利用三角恒等變換化簡，再根據(jù)x的范圍，確定的范圍，從而結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【小問1詳解】由圖可得，且，所以，即，所以.又，所以，即，所以.又，所以，故.【小問2詳解】因為，所以，因為，所以，所以當(dāng)，即時，有最大值為2.19.在新高考背景下，北京高中學(xué)生需從思想政治?歷史?地理?物理?化學(xué)?生物這6個科目中選擇3個科目學(xué)習(xí)并參加相應(yīng)的等級性考試.為提前了解學(xué)生的選科意愿，某校在期中考試之后，組織該校高一學(xué)生進(jìn)行了模擬選科.為了解物理和其他科目組合的人數(shù)分布情況，某教師整理了該校高一（1）班和高一（2）班的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表：物理+化學(xué)物理+生物物理+思想政治物理+歷史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名學(xué)生，高一（2）班共有38名學(xué)生.假設(shè)所有學(xué)生的選擇互不影響.（1）從該校高一（1）班和高一（2）班所有學(xué)生中隨機(jī)選取1人，求此人在模擬選科中選擇了“物理+化學(xué)”的概率；（2）從表中選擇“物理+思想政治”的學(xué)生中隨機(jī)選取2人參加座談會，求這2人均來自高一（2）班的概率；（3）該校在本學(xué)期期末考試之后組織高一學(xué)生進(jìn)行了第二次選科，現(xiàn)從高一（1）班和高一（2）班各隨機(jī)選取1人進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)他們在第二次選科中都選擇了“物理+歷史”.根據(jù)這一結(jié)果，能否認(rèn)為在第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)發(fā)生了變化？說明理由.【答案】（1）（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）（2）根據(jù)古典概型的概率公式即可求解，（3）根據(jù)小概率事件即可求解.【小問1詳解】依題意得高一（1）班和高一（2）班學(xué)生共有人，即該隨機(jī)試驗的樣本空間有78個樣本點(diǎn).設(shè)事件“此人在模擬選科中選擇了“物理+化學(xué)”，則事件包含個樣本點(diǎn)，所以.【小問2詳解】依題意得高一（1）班選擇“物理+思想政治”的學(xué)生有2人，分別記為；高一（2）班選擇“物理+思想政治”的學(xué)生有3人，分別記為.該隨機(jī)試驗的樣本空間可以表示為：{}即.設(shè)事件“這2人均來自高一（2）班”，則，所以，故.【小問3詳解】設(shè)事件“從高一（1）隨機(jī)選取1人，此人在第二次選科中選擇了“物理+歷史”，事件“從高一（2）班隨機(jī)選取1人，此人在第二次選科中選擇了“物理+歷史”，事件“這兩人在第二次選科中都選擇了“物理+歷史”.假設(shè)第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)沒有發(fā)生變化，則由模擬選科數(shù)據(jù)可知，.所以.答案示例1：可以認(rèn)為第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)發(fā)生變化.理由如下：比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)發(fā)生了變化.答案示例2：無法確定第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)是否發(fā)生變化.理由如下：事件是隨機(jī)事件，雖然比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生，所以無法確定第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)是否有變化.20.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，為棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn).（1）求證：為棱的中點(diǎn)；（2）若平面平面，，△為等邊三角形，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，可得為棱的中點(diǎn)；（2）證明平面，四棱錐的高為，計算底面梯形的面積，即可計算四棱錐的體積.【小問1詳解】因為四邊形是矩形，所以