河北省唐山市開灤第二高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

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數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分

1.已知復(fù)數(shù)z滿足，是虛數(shù)單位，則（）

A.B.C.D.

2.某市環(huán)境保護(hù)局公布了該市A，B兩個景區(qū)2023年至2023年各年全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)．現(xiàn)根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的折線圖，則由該折線圖得出的下列結(jié)論中正確的是（）

A.景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為100

B.這7年A，B景區(qū)空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)在2023年相差的最多

C.景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的第60百分位數(shù)為273

D.這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)B的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大

3.已知的斜二測畫法的直觀圖為，若，則的面積為（）

A.B.C.D.

4.已知，且向量在向量上的投影向量為，則的模為（）

A.1B.C.3D.9

5.已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角的大小為（）

A.60°B.45°C.30°D.75

6.由下列條件解，其中有兩解的是（）

A.B.

C.D.

7.如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，則異面直線是所成角的余弦值等于（）．

A.B.C.D.

8.已知為正三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積之比為3，則（）

A.B.C.D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.B.的虛部為－2

C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn).的共軛復(fù)數(shù)為

10.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，下列說法錯誤的是（）

A.若，，則B.若，，則

C若，，，則D.若，，則

11.在中，角，，所對的邊分別為，，，有如下判斷，其中正確的判斷是（）

A.若，則

B.若，則是等腰三角形

C.若為銳角三角形，則

D.若，則是鈍角三角形

12.如圖，棱長為2的正方體中，為線段上動點(diǎn)（包括端點(diǎn)）.則以下結(jié)論正確的為（）

A.三棱錐體積為定值

B.異面直線成角

C.直線與面所成角正弦值

D.當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.某校共有學(xué)生2000名，男生1200名，女生800名，現(xiàn)按比例分配樣本進(jìn)行分層抽樣，從中抽取50名學(xué)生，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)是___________人

14.已知向量，若，則______________.

15.如圖所示，為豎直立于廣場上的旗桿，在點(diǎn)、點(diǎn)處分別測得旗桿底端點(diǎn)位于北偏東方向和北偏西方向（點(diǎn)、、位于同一水平面內(nèi)，且點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向），從點(diǎn)處仰望旗桿頂端的仰角為，已知，則旗桿的高度為______．

16.如圖所示，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為2，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為__________.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字產(chǎn)明、證明過程或演算步驟.

17.已知非零向量滿足，且．

（1）求與的夾角；

（2）若，求的值．

18.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩防護(hù)服消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽(yù).我國某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖.

（1）求出直方圖中的值；

（2）利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到0.01).

19.在斜三角形中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．

（1）求角的大??；

（2）若，且上的中線長為，求斜三角形的面積．

20.如圖，直三棱柱中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若，，求四棱錐的體積．

21.在中，所對的邊分別為，向量，且.

（1）求角的大??；

（2）若外接圓的半徑為2，求面積的取值范圍.

22.如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD菱形，，．

（1）證明：平面PAB⊥平面ABCD；

（2）求二面角P－AD－B的余弦值．

開灤第二高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月月考

數(shù)學(xué)試卷答案解析

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分

1.已知復(fù)數(shù)z滿足，是虛數(shù)單位，則（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)，代入題目條件，然后列方程求出，則可得復(fù)數(shù)z，進(jìn)而可得.

【詳解】設(shè)，

，

，

，解得，

.

故選：B.

2.某市環(huán)境保護(hù)局公布了該市A，B兩個景區(qū)2023年至2023年各年的全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)．現(xiàn)根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的折線圖，則由該折線圖得出的下列結(jié)論中正確的是（）

A.景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為100

B.這7年A，B景區(qū)空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)在2023年相差的最多

C.景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的第60百分位數(shù)為273

D.這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)B的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)折線圖依次計(jì)算判斷每個選項(xiàng)即可.

【詳解】對A，景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為，故A錯誤；

對B，這7年A，B景區(qū)空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)在2023年相差的最多，故B錯誤；

對C，景區(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)數(shù)據(jù)從小到大為255，262，262，266，280，283，293，因?yàn)椋跃皡^(qū)B這7年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的第60百分位數(shù)為280，故C錯誤.

對D，由折線圖可知這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動比景區(qū)B的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動大，所以景區(qū)A的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)B的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大，故D正確.

故選：D.

3.已知的斜二測畫法的直觀圖為，若，則的面積為（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直觀圖和原圖的面積關(guān)系，即可求解.

【詳解】由條件可知，，

由,解得.

故選:C.

4.已知，且向量在向量上的投影向量為，則的模為（）

A.1B.C.3D.9

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可

【詳解】由題，設(shè)的夾角為，則，故，解得

故選：C

5.已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角的大小為（）

A.60°B.45°C.30°D.75

【答案】A

【解析】

【分析】由錐體的體積公式求出正四棱錐的高，再由二面角的定義即可求解.

【詳解】設(shè)正四棱錐的高為，底面邊長為，

則，解得，

，解得，

設(shè)側(cè)面與底面所成的二面角為，

則，即.

故選：A

6.由下列條件解，其中有兩解的是（）

AB.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】只有是已知兩邊及一邊的對角，且已知角為銳角才可能出現(xiàn)兩解，此時(shí)先求另一邊所對的角，再結(jié)合邊角關(guān)系來判斷解的個數(shù)

【詳解】對于A，,由正弦定理可得,

由和可知和只有唯一解,

所以只有唯一解，所以A錯誤；

對于B，由余弦定理可知只有唯一解，

由余弦定理可得,又且在上單調(diào)遞減，

所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，

所以只有唯一解，所以B錯誤；

對于C，由正弦定理可得,所以,由可知，

因此滿足的有兩個，

所以有兩解，所以C正確；

對于D.由余弦定理可知只有唯一解，

由余弦定理可得,又且在上單調(diào)遞減,

所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，

所以只有唯一解,所以D錯誤

故選：C

7.如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，則異面直線是所成角的余弦值等于（）．

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩異面直線的方向向量，利用向量夾角公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為，

由題意，可得，，，，

所以，，

因此，

所以異面直線是所成角的余弦值等于.

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

求空間角的常用方法：

（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；

（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.

8.已知為正三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積之比為3，則（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】分別取、的中點(diǎn)、，連接、，由平面向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而可得，即可得解.

【詳解】分別取、的中點(diǎn)、，連接、，如圖，

所以是的中位線，

因?yàn)?，所以?/p>

所以，所以、、三點(diǎn)共線，

所以，

所以即，所以即.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量共線、線性運(yùn)算及基本定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.B.的虛部為－2

C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn).的共軛復(fù)數(shù)為

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何表示以及共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.

【詳解】，

，故A不正確；

的虛部為－2，故B正確；

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故C正確；

的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯誤.

故選：BC

10.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，下列說法錯誤的是（）

A.若，，則B.若，，則

C.若，，，則D.若，，則

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)線面、面面關(guān)系的性質(zhì)定理與判定定理一一判斷即可；

【詳解】解：對于A：若，，則或或或與相交不垂直，故A錯誤；

對于B：若，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，故B正確；

對于C：若，，，則或或與相交或與異面，故C錯誤；

對于D：若，，根據(jù)面面垂直判定定理可得，故D正確；

故選：AC

11.在中，角，，所對的邊分別為，，，有如下判斷，其中正確的判斷是（）

A.若，則

B.若，則是等腰三角形

C.若為銳角三角形，則

D.若，則是鈍角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】A：由大角對大邊，及正弦定理判定；利用正弦定理及二倍角公式判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷C；根據(jù)余弦定理判斷D；

【詳解】解：對于A：在中，若，則，

則，則，故正確；

對于B：，，

，，或即，

為等腰或直角三角形，故不正確．

對于C：當(dāng)為銳角三角形時(shí)，，，

，可得成立，故正確．

對于D：若，則，

即，即，即所以，

即為鈍角，故是鈍角三角形,故D正確；

故選：ACD.

12.如圖，棱長為2的正方體中，為線段上動點(diǎn)（包括端點(diǎn)）.則以下結(jié)論正確的為（）

A.三棱錐體積為定值

B.異面直線成角為

C.直線與面所成角的正弦值

D.當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為

【答案】ACD

【解析】

【分析】易證平面，故三棱錐體積為定值；易得，為等邊三角形，故B錯誤；由向量法可判斷C正確；轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)，易證平面，利用正、余弦定理求出的外接圓半徑，將所求問題轉(zhuǎn)化為圓柱外接球問題，進(jìn)而判斷D項(xiàng).

【詳解】因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以?/p>

又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又為線段上動點(diǎn)，所以到平面距離為定值，故三棱錐體積為定值，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，故A正確；

因?yàn)?，故與所成角等價(jià)于與所成角，為等邊三角形，所以異面直線成角為，故B項(xiàng)錯誤；

以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，故，設(shè)直線與面所成角為，

則，故C項(xiàng)正確；

當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，，易得，平面，又平面，所以，，平面，所以平面，即平面，，，

所以，，的外接圓半徑為，故所求問題等價(jià)于求以為半徑的底面圓，高為的圓柱的外接球表面積，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，故三棱錐的外接球表面積為，故D項(xiàng)正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.某校共有學(xué)生2000名，男生1200名，女生800名，現(xiàn)按比例分配樣本進(jìn)行分層抽樣，從中抽取50名學(xué)生，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)是___________人

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣等比例的性質(zhì)求應(yīng)抽取的女生人數(shù).

【詳解】由題意，應(yīng)抽取的女生人數(shù)是人.

故答案為：

14.已知向量，若，則______________.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)平行關(guān)系得到，利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出答案.

【詳解】由可得，解得，

則，所以.

故答案為：

15.如圖所示，為豎直立于廣場上的旗桿，在點(diǎn)、點(diǎn)處分別測得旗桿底端點(diǎn)位于北偏東方向和北偏西方向（點(diǎn)、、位于同一水平面內(nèi)，且點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向），從點(diǎn)處仰望旗桿頂端的仰角為，已知，則旗桿的高度為______．

【答案】

【解析】

【分析】利用正弦定理可求得，然后在可求得，即可得解.

【詳解】由已知，在中，，，，

由正弦定理可得，

在中，，，，

所以，.

故答案為：.

16.如圖所示，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為2，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為__________.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)題意，畫出圓錐的展開圖，由小蟲爬行的最短距離，求出圓錐底面圓半徑，推出圓錐的高，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】畫出該圓錐的展開圖，如圖所示，

則該小蟲爬行的最短路程為，即，

又圓錐母線長為，

所以，因此，

則弧的長為，

設(shè)圓錐底面圓半徑為，圓錐的高為，

則，解得，

所以，

因此該圓錐的體積為：.

故答案為：.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字產(chǎn)明、證明過程或演算步驟.

17.已知非零向量滿足，且．

（1）求與的夾角；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）1．

【解析】

【分析】（1）由向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0求得，再由數(shù)量積的定義求得夾角；

（2）把已知等式平方，模平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，即向量的數(shù)量積運(yùn)算可得．

【詳解】（1），

與的夾角為，

（2），即，

，又由（1）知

18.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩防護(hù)服消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽(yù).我國某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖.

（1）求出直方圖中的值；

（2）利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到0.01).

【答案】（1）；（2）平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33.

【解析】

【分析】

（1）利用頻率之和等于1進(jìn)行求解即可

（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可

【詳解】（1）由，得.

（2）平均數(shù)為，

設(shè)中位數(shù)為，則，得.

故可以估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33.

19.在斜三角形中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．

（1）求角大?。?/p>

（2）若，且上的中線長為，求斜三角形的面積．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理將已知式子進(jìn)行化簡，再利用余弦定理即可求出角的大??；

（2）根據(jù)為為上的中線得，結(jié)合余弦定理求出，進(jìn)而求出面積.

【小問1詳解】

因?yàn)椋?/p>

所以由正弦定理可得：，

即，

所以，

又，所以，

所以.

【小問2詳解】

因?yàn)闉樯系闹芯€，所以，

即，

所以，

即，

所以①，

由余弦定理可得：，

所以②

①-②得：，

所以.

20.如圖，直三棱柱中，是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若，，求四棱錐的體積．

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)四邊形為平行四邊形，