隱式差分方程

隱式差分方程課件第1頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月

與顯式差分格式不同，隱式差分格式中包括了（n+1）時(shí)間層上二個(gè)或二個(gè)以上結(jié)點(diǎn)處的未知值（例如），使用隱式差分格式和使用顯式差分格式求解完全不同。相對而言，使用隱式差分格式求解，每時(shí)間層包含有較多的計(jì)算工作量。從后面對差分格式的穩(wěn)定性分析可知，隱式格式的優(yōu)點(diǎn)在于，其穩(wěn)定性要求對步長比的限制大為放寬，而這正是我們所期望的。第2頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.1古典隱式格式現(xiàn)在對熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)其最簡單的隱式差分逼近——古典隱式格式。由故式中左邊如果僅保留二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且以替代，則得差分格式或者（2.41）格式用圖2.5表示，其截?cái)嗾`差階為,與古典差分格式相同。

圖2.5：第3頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月為了求得第（n+1）時(shí)間層上的的值，必須通過解線性代數(shù)方程組。這是一個(gè)隱式差分格式，必須聯(lián)合其初邊值條件求解。格式（2.41）通常稱為古典隱式格式。我們也可以通過直接用差分算子代替的方法，即代入微分方程，得到格式（2.41）。第4頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.2Crank-Nicolson隱式格式Crank-Nicolson隱式差分格式是解熱傳導(dǎo)方程（2.26）的常用的差分格式，為了推導(dǎo)它，由式（2.24），有由得（2.42）兩邊僅保留前二項(xiàng)，用代替，則得差分格式（2.43）這是一個(gè)隱式差分格式，稱為Crank-Nicolson差分格式，截?cái)嗾`差階為，也可寫為第5頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月

（2.44）由于格式（2.44）中包括六個(gè)結(jié)點(diǎn)，故也可稱為六點(diǎn)格式（如圖2.6所示）。

圖2.6

也可將代入微分方程（2.26），得到Crank-Nicolson格式。第6頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月基于如同Crank-Nicolson格式一樣的六個(gè)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)可獲得另一精度較高的差分格式，如在前式（2.42）中僅保留直到的項(xiàng)，即有由式(2.19.3),可令則可得代入上式，則有如下差分格式：（2.45）它稱為Douglas差分格式，具有截?cái)嗾`差階。第7頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2.1解初邊值問題

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第8頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月

應(yīng)用（1）Crank-Nicolson差分格式，（2）Douglas差分格式解上述問題。對每一種情況，令（r的這個(gè)值對Douglas格式有最小的截?cái)嗾`差），由初值條件和邊值條件通過上述二個(gè)格式的每一個(gè)逐層求出的值。一般而言，當(dāng)由第n層去求第（n+1）層的解時(shí)，二個(gè)格式的每一個(gè)都需解一線性代數(shù)方程組，其系數(shù)是三對角陣，可用追趕法求解（見2.4）。已知上述定解問題的理論解，記為，有記分別為用高速數(shù)字計(jì)算機(jī)解出的Crank-Nicolson格式的解，而分別表示它們對精確解的誤差，在，時(shí)間層n上，。它們的值由表2.2給出。第9頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月0.9944979156300.0000110.0000000000260.4890261041920.000022-0.0000000000510.9781726347730.000040-0.0000000001010.9568217034190.000079-0.0000000001980.9155077721340.000151-0.0000000003790.6431468957930.000531-0.0000000003310.4136379295680.000683-0.0000000017120.1710963367780.000564-0.0000000014170.6292739564590.000194-0.0000000004850.0121088187400.000100-0.000000000257表2.2第10頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.3加權(quán)六點(diǎn)隱式格式

前面，我們已經(jīng)推導(dǎo)了熱傳導(dǎo)方程（2.26）的古典顯示格式，古典顯示格式及Crank-Nicolson格式等。實(shí)際上，它們都可以作為本節(jié)推導(dǎo)的加權(quán)六點(diǎn)隱式格式的特殊情形。由得即兩邊去掉高于二階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，且用代替，則得差分格式或者（2.46）這是一個(gè)六點(diǎn)差分格式（如圖2.7所示），稱為加權(quán)六點(diǎn)差分格式。第11頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月

顯然，當(dāng)時(shí)，加權(quán)六點(diǎn)格式為古典顯示格式；當(dāng)時(shí)，加權(quán)六點(diǎn)格式為Crank-Nicolson隱式格式；當(dāng)時(shí)，加權(quán)六點(diǎn)格式為古典隱式格式。加權(quán)六點(diǎn)格式亦可直接由差商代替導(dǎo)數(shù)得到圖2.7：第12頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.4系數(shù)依賴于x,t的一維熱傳導(dǎo)方程的一個(gè)隱式格式的推導(dǎo)

考慮方程（2.47）的差分逼近。已知由其Taylor展開式可得據(jù)此，可得（2.48）令代入式（2.48），則因此得差分方程（2.49.1）第13頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月

格式（2.49.1）具有截?cái)嗾`差階，可寫成更方便的形式