2011年全國高考2卷理科數(shù)學(xué)試題及答案

2011年全國高考2卷理科數(shù)學(xué)試題及答案2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷II)數(shù)學(xué)本試卷共4頁，共三大題21小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1.考生答題前，務(wù)必在試題卷和答題卡上填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上指定位置。2.選擇題應(yīng)用2B鉛筆將答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后再涂其他答案標(biāo)號(hào)。答在試題卷上無效。3.填空題和解答題應(yīng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆答在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答在試題卷上無效。4.考試結(jié)束時(shí)，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=1+i，z為z的共軛復(fù)數(shù)，則zz-z-1=？(A)-2i(B)-i(C)i(D)2i2.函數(shù)y=2x(x≥0)的反函數(shù)為？(A)y=(x∈R)(B)y=(x≥0)(C)y=4x2(x∈R)(D)y=4x2(x≥0)3.下列哪個(gè)條件是使得a>b成立的充分必要條件？(A)a>b+1(B)a>b-1(C)a>b(D)以上都是4.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1=1，公差d=2，Sk+2-Sk=24，則k=？(A)8(B)7(C)6(D)55.設(shè)函數(shù)f(x)=cosωx(ω>0)，將y=f(x)的圖像向右平移π/3個(gè)單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則ω的最小值等于？(A)π/3(B)3(C)6(D)96.已知直二面角α-l-β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于？(A)3√6(B)1/3(C)3/√3(D)2/37.某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有？(A)4種(B)10種(C)18種(D)20種8.曲線y=e2x+1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y=-x和y=x圍成的三角形的面積為？(A)1/12(B)1/2(C)1/3(D)2/39.設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f(x)=2x(1-x)，則f(-3/2)=？(A)-1/2(B)-1(C)1/2(D)1210.已知拋物線C：y=4x的焦點(diǎn)為F，直線y=2x-4與C交于A、B兩點(diǎn)，則cos∠AFB=(A)解析：由題意可知，直線y=2x-4與拋物線C的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，因此可以列出方程組：y=4xy=2x-4解得交點(diǎn)為A(2,-4)和B(1,4)。由焦點(diǎn)的定義可知，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)。根據(jù)余弦定理，可以求得∠AFB的余弦值為：cos∠AFB=AB/AF·FB=√(13/10)·√(17/10)=√221/10，選項(xiàng)(A)正確。11.已知平面α截一球面得圓M，過圓心M且與α成60二面角的平面β截該球面得圓N，若該球面的半徑為4.圓M的面積為4π，則圓N的面積為(A)7π(B)9π(C)11π(D)13π解析：根據(jù)題意，可以畫出如下圖形：[插入圖片]設(shè)圓M的半徑為r，則根據(jù)圓的面積公式可得：πr^2=4π解得r=2。由于圓M和圓N都是球面的截面，因此它們的半徑相等。設(shè)圓N的半徑也為2，則根據(jù)余弦定理，可以求得∠MNP的余弦值為：cos∠MNP=(2^2+2^2-4^2)/(2·2·2)=-3/4因?yàn)椤螹NP是銳角，所以cos∠MNP<0。根據(jù)圓的面積公式，可以求得圓N的面積為：π·2^2·|cos∠MNP|=3π，選項(xiàng)(C)正確。12.設(shè)向量a,b,c滿足a=b=1,ab=-1/2,c?(a-c)=c?(b-c)=60，則c的最大值等于(A)2(B)1(C)2/3(D)1/2解析：根據(jù)題意，可以列出以下方程組：a=b=1ab=-1/2c?(a-c)=60c?(b-c)=60將a=b=1代入ab=-1/2，可得a^2=-1/2，這是不可能的。因此ab=-1/2不成立，即向量a和b不存在。因此，可以將方程組化簡(jiǎn)為：c?(c-1)=60c?(c+1)=60解得c=±√61/2。因?yàn)閏?a>c?b，所以c的最大值為√61/2，選項(xiàng)(A)正確。13.1-(x/20)的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)與x的系數(shù)之差為9。解析：根據(jù)二項(xiàng)式定理，可以將1-(x/20)的二項(xiàng)展開式表示為：1-(x/20)=(1-1/20x)^20=∑(k=0,20)C(20,k)(-1/20x)^k其中，C(20,k)表示從20個(gè)元素中選取k個(gè)元素的組合數(shù)。展開式中x的系數(shù)為-1/20^9·C(20,9)，x的系數(shù)之差為-1/20^9·(C(20,8)-C(20,10))。根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，C(20,8)=C(20,12)，C(20,9)=C(20,11)，因此C(20,8)-C(20,10)=0。因此，x的系數(shù)與x的系數(shù)之差為-1/20^9·0=0-9=-9，選項(xiàng)正確。14.已知α∈(5π/2,π)，sinα=5/13，則tan2α=12/5。解析：根據(jù)sinα=5/13，可以得到cosα=-12/13。因?yàn)棣痢?5π/2,π)，所以sinα<0，cosα<0。因此，可以得到tanα=-5/12。根據(jù)雙角公式，可以得到：tan2α=2tanα/(1-tan^2α)=2(-5/12)/(1-(-5/12)^2)=12/5，選項(xiàng)正確。15.已知F1、F2分別為雙曲線C:y^2/9-x^2/4=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)A∈C，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)，且∠F1AF2的角平分線，則AF2=6。解析：根據(jù)雙曲線的定義，可以得到F1、F2的坐標(biāo)分別為(-c,0)和(c,0)，其中c=√(9+2^2)=√13。因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)到曲線的距離等于曲線的半軸長，所以雙曲線的半軸長為3。因此，曲線的方程可以表示為：y^2/9-x^2/4=1將M的坐標(biāo)代入方程，可得y=√3。因?yàn)镸在曲線上，所以可以得到：(2/c)^2-(√3/3)^2=1解得c=√13/2。因?yàn)椤螰1AF2的角平分線經(jīng)過C的中心點(diǎn)O，所以可以得到：AF2=AO+OF2=c+c/2=3c/2=6，選項(xiàng)正確。19.如圖，四棱錐S-ABCD中，AB//CD,BC⊥CD,側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.（Ⅰ）證明：SD⊥平面SAB;（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小。[插入圖片]解析：（Ⅰ）因?yàn)锽C⊥CD，所以BC是平面SCD的法向量。又因?yàn)锳B//CD，所以AB也在平面SCD內(nèi)。因此，SD與平面SCD垂直，即SD⊥平面SAB。（Ⅱ）設(shè)AB與平面SBC所成的角為θ，則可以得到：cosθ=(AB·BC)/(|AB|·|BC|)=1/2因此，θ=π/3，即AB與平面SBC所成的角的大小為60°。20.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0,11-a(n+1)=1-a(n)，求{an}的通項(xiàng)公式。解析：將an+1的式子代入an的式子，可得：11-a(n+1)=1-a(n)11-a(n+1)=1-a(n)11-a(n+2)=1-a(n+1)將前兩個(gè)式子相減，可得：a(n+1)-a(n)=a(n)-a(n-1)將a(1)=0代入，可得：a(n+1)-a(n)=(-1)^n-1因此，可以得到：an=a(n-1)+(-1)^n-1將a1=0代入，可得：a2=a1+(-1)^1-1=1a3=a2+(-1)^2-1=0a4=a3+(-1)^3-1=-1a5=a4+(-1)^4-1=-2...可以猜測(cè)an的通項(xiàng)公式為：an=(-1)^(n-1)·[n/2]其中，[n/2]表示n/2的整數(shù)部分。可以用歸納法證明這個(gè)公式成立。當(dāng)n=1時(shí)，公式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)公式成立，即ak=(-1)^(k-1)·[k/2]。當(dāng)n=k+1時(shí)，根據(jù)前面的推導(dǎo)，可以得到：ak+1=ak+(-1)^k當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，有：ak+1=(-1)^k·[(k+1)/2]+(-1)^k=(-1)^(k+1)·[(k+1)/2]=(-1)^k+1·[(k+1)/2]當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，有：ak+1=(-1)^k·[(k+1)/2]-(-1)^k=(-1)^k·[(k+1)/2+1]=(-1)^(k+1)·[(k+1)/2]因此，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an=(-1)^(n-1)·[n/2]，即{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)^(n-1)·[n/2]。21.（本小題滿分12分）已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為$(0,\sqrt{3})$和$(0,-\sqrt{3})$。過焦點(diǎn)$F(0,\sqrt{3})$且斜率為$-2$的直線方程為$y=-2\sqrt{3}x+\sqrt{3}$。設(shè)點(diǎn)$A(x_1,y_1)$和點(diǎn)$B(x_2,y_2)$分別為直線$l$與橢圓$C$的交點(diǎn)，則$OA+OB+OP=0$，其中點(diǎn)$P(x,y)$為橢圓$C$上的任意一點(diǎn)。（Ⅰ）由題意得：$$\begin{cases}\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\\-2\sqrt{3}x_1+y_1=\sqrt{3}\end{cases}\qquad\begin{cases}\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1\\-2\sqrt{3}x_2+y_2=\sqrt{3}\end{cases}$$解得：$$A\left(-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right),\qquadB\left(\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$故點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(x,y)$，其中$x\in\left[-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right]$，$y=\pm\sqrt{3}\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$。（Ⅱ）易知點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)為$(-x,y)$。由于$A,B,Q$關(guān)于直線$x=0$對(duì)稱，故$A,B,P,Q$共圓，證畢。22.（本小題滿分12分）（Ⅰ）對(duì)于$x>0$，有$f(x)=\ln(1+x)-2x=\int_0^x\frac{1}{1+t}dt-2x<\int_0^x1-2tdt=1-x^2$，故$f(x)<1-x^2$。而當(dāng)$x=0$時(shí)，$f(x)=0>-\frac{2}{19}$。故當(dāng)$x>0$時(shí)，$f(x)>\frac{-2}{19}$。（Ⅱ）設(shè)事件$A_i$表示第$i$次抽到的數(shù)與前$i-1$次均不相同，則$p=P(\bigcap\limits_{i=1}^{20}A_i)$。易知$p=1\cdot\frac{99}{100}\cdot\frac{98}{100}\cdots\frac{81}{100}$。注意到$\frac{k}{100}<\frac{1}{2}$當(dāng)且僅當(dāng)$k<50$，故$p<\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdots\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{19}}<\frac{1}{e^4}$。又因?yàn)?p>0$，故$p>\frac{-2}{19}$。綜上所述，$p\in\left(\frac{-2}{19},\frac{1}{e^4}\right)$。1.四點(diǎn)共圓的證明設(shè)四邊形$APBQ$的對(duì)角線$PQ$交于點(diǎn)$C$，則由題意可知，$AC$和$BC$分別是直線$l$的斜率為$-2$和$2$的兩條直線。又因?yàn)?P$在直線$AC$上，$Q$在直線$BC$上，所以點(diǎn)$P$在點(diǎn)$C$的左側(cè)，點(diǎn)$Q$在點(diǎn)$C$的右側(cè)。因此，我們可以通過計(jì)算$k_{AP},k_{AQ},k_{BP},k_{BQ}$的值來確定四邊形的形狀。計(jì)算$k_{AP}$時(shí)，我們可以通過求出點(diǎn)$A$和點(diǎn)$P$的坐標(biāo)，然后計(jì)算斜率$k_{AP}$。同理，我們可以計(jì)算出$k_{AQ},k_{BP},k_{BQ}$的值。計(jì)算結(jié)果如下：$$k_{AP}=2+\frac{6}{2}=5$$$$k_{AQ}=-2-\frac{6}{2}=-5$$$$k_{BP}=2-\frac{6}{2}=-1$$$$k_{BQ}=-2+\frac{6}{2}=1$$由于$k_{AP}\timesk_{BQ}=-5\times1=-k_{AQ}\timesk_{BP}$，所以四邊形$APBQ$的對(duì)角線$PQ$互相垂直，即四點(diǎn)$A,P,B,Q$共圓。2.函數(shù)單調(diào)性的證明（Ⅰ）當(dāng)$x>0$時(shí)，$f'(x)=\frac{12(x+2)-2x}{x^2+(x+2)^2}-\frac{2x}{(1+x)^2}=\frac{(x+1)(x+2)^2}{x^2+(x+2)^2}>0$，因此$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。（Ⅱ）由題意可知：$$p=\frac{100\times99\times\cdots\times82\times81}{100\times99\times\cdots\times10\times9}$$$$=\frac{81\times99\times81\times98\times\cdots\times81\times91\times89}{10\times9\times\cdots\times2\times1}$$$$=\frac{(81\times98)^2\times(91\times89)}{10\times9\times\cdots\times2\times1}$$$$=\frac{(81\times98)^2}{10\times9\times\cdots\times2\times1}\times\frac{91\times89}{10\times9\times\cdots\times2\times1}$$$$=\frac{(81\times98)^2}{(10\times9\times\cdots\times2\times1)^2}\times\frac{91\times89}{10\times9\times\cdots\times2\times1}$$由于$81=9^2$，$98=10^2-2^2$，$91=10^2-9^2$，$89=10^2-11^2$，所以：$$p=\frac{(9\times(10^2-2^2))^2}{(10!)^2}\times\frac{(10^2-9^2)(10^2-11^2)}{(10!)^2}$$$$=\frac{4^2\times9^2\times81\times70}{(10!)^2}$$$$=\frac{2^{10}\times3^4\times5\times7}{10!}$$$$=\frac{2^{10}\times3^4\times5\times7}{2^8\times3^2\times5\times7\times2\times3\times2\times2\times2\times2}$$$$=\frac{2^2\times3^2\times7}{10\times9\times8}$$$$=\frac{126}{720}=\frac{7}{40}$$由（Ⅰ）可知，$f(x)$在$(-1,0)$上單調(diào)遞增。因此，$f(-1)<f\