《平面向量共線的坐標(biāo)表示》教學(xué)設(shè)計(jì)

《平面向量共線的坐標(biāo)表示》教學(xué)設(shè)計(jì)的外點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P到線段的距離.教學(xué)目的：本節(jié)課主要是讓學(xué)生掌握平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，以及學(xué)會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)判斷向量是否共線。教學(xué)重點(diǎn)：本節(jié)課的重點(diǎn)是平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)：本節(jié)課的難點(diǎn)是向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性。授課類型：本節(jié)課的授課類型為新授課。教具：本節(jié)課需要使用多媒體和實(shí)物投影儀。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示是指，任意一個(gè)向量都可以表示為兩個(gè)基向量的線性組合。其中，基向量可以取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j。因此，對于任意一個(gè)向量a，都有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi+yj。其中，(x,y)被稱為向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a=(x,y)。特別地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0)。2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算包括向量的加法、減法和數(shù)乘。若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2)，k*a=(kx,ky)。若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則向量AB=(x2-x1,y2-y1)。二、講解新課：平面向量共線的坐標(biāo)表示是指，當(dāng)兩個(gè)向量a和b共線時(shí)，它們的坐標(biāo)滿足一個(gè)特定的條件。具體來說，設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠a。則a∥b(b≠0)的充要條件是x1y2-x2y1=0。探究過程中需要注意以下幾點(diǎn)：（1）消去λ時(shí)不能兩式相除，因?yàn)閥1，y2有可能為0，而b≠0，因此x2，y2中至少有一個(gè)不為0；（2）充要條件不能寫成y1y2=x1x2，因?yàn)閤1，x2有可能為0；（3）從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b(b≠0)?a=λb或者x1y2-x2y1=0。三、講解范例：例1：已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y。由于a∥b，因此有4y=6×2，解得y=3。例2：已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系。向量AB=(2,4)，向量AC=(3,6)，因此AB和AC共線，且AB的方向與AC相同。因此，A、B、C三點(diǎn)共線。例3：設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)。(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則有x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2。因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為((x1+x2)/2，(y1+y2)/2)。(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的外點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P到線段的距離。設(shè)向量P1P=(x-x1,y-y1)，向量P2P=(x-x2,y-y2)。則點(diǎn)P到線段P1P2的距離為|(x1y2-x2y1+xy1-x1y)|/√((x1-x2)2+(y1-y2)2)。例4：已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，求三角形ABC的重心G的坐標(biāo)。解：三角形ABC的重心G是三條中線的交點(diǎn)，其中中線DE經(jīng)過AB的中點(diǎn)D((1+3)/2，(2+4)/2)=(2,3)和C的中點(diǎn)E((5+3)/2，(6+4)/2)=(4,5)，所以中線DE的斜率k=(5-3)/(4-2)=1。中線FG經(jīng)過AC的中點(diǎn)F((1+5)/2，(2+6)/2)=(3,4)，所以中線FG的斜率k'=(6-4)/(5-1)=1/2。中線GH經(jīng)過BC的中點(diǎn)H((3+5)/2，(4+6)/2)=(4,5)，所以中線GH的斜率k''=-1/2。由于中線DE的斜率k=1，所以DE的方程為y-3=x-2，即y=x+1。由于中線FG的斜率k'=1/2，所以FG的方程為y-4=(1/2)(x-3)，即y=(1/2)x+5/2。由于中線GH的斜率k''=-1/2，所以GH的方程為y-5=(-1/2)(x-4)，即y=-1/2x+7。將中線DE和中線FG代入，得到它們的交點(diǎn)I(1,2)。將中線DE和中線GH代入，得到它們的交點(diǎn)J(5,6)。將中線FG和中線GH代入，得到它們的交點(diǎn)K(3,4)。由于三角形ABC的重心G是三條中線的交點(diǎn)，所以G的坐標(biāo)為((1+5+3)/3，(2+6+4)/3)=(3,4)。例5：已知向量a=(-1,x)與向量b=(-x,2)共線且方向相同，求x的值。解：由于向量a與向量b共線且方向相同，所以它們的比值相等，即-1/x=2/-x。解得x=±2。因?yàn)閍與b方向相同，所以x=2。例6：已知點(diǎn)A(-1,-1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，判斷向量AB和向量CD是否平行，直線AB和直線CD是否平行。解：向量AB的坐標(biāo)為(1-(-1),3-(-1))=(2,4)，向量CD的坐標(biāo)為(2-1,7-5)=(1,2)。由于兩個(gè)向量平行當(dāng)且僅當(dāng)它們的比值相等，即2/1=4/2，所以向量AB和向量CD平行。直線AB的斜率為(3-(-1))/(1-(-1))=