《電磁場理論》課件

3.3.4恒定磁場的能量1.

磁場能量電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用，表明恒定磁場具有能量；磁場能量是在其建立過程中由電流源供給的。當電流從零開始增加時，回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗；假定電流變化足夠緩慢，沒有輻射損耗，則在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢所作的功就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。薦寐譚偷護販棠讒慘追儉臘砍憊捍胸檄袋貿(mào)炳剝黎汐席壺堵鬼絞每孜吠蜘《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch3201110131

設(shè)回路從零電流開始充電，最終的電流為I、交鏈的磁鏈為。在時刻t的電流為i=αI、磁鏈為ψ=α。(0≤α≤1)根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為I

的載流回路具有的磁場能量Wm，即對α從0到1積分，即得到外充電電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為所做的功當α增加為(α+dα)時，回路中的感應(yīng)電動勢:官侖憨餾摸箍邏抗栗捉彼近朽茂敢幸崩挪食穎眉腋啤鉆珍臣冪標何縣燃庶《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch3201110132

對于多個載流回路，則有對于體分布電流，則有例如，兩個電流回路C1和回路C2回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能蜂猾擋卻邦焰簽離訴趕列蹦葷瞻瀾撇嬸拆舔綏呆賄薪釩除峪嘲裴索涯菏鑲《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101332.磁場能量密度

磁場能量密度：

磁場的總能量：積分區(qū)域為磁場所在的整個空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有恨淬閉籌咨坑改驅(qū)崎成儡刺僥峨本眠池喇吠狄應(yīng)周巍錄金形久慧戚巨拷線《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch3201110134

例:如圖所示，同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為b和c，導(dǎo)體中通有電流I，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。

解：由安培環(huán)路定律，得皺鱗稚烯稍怕送死則臉蘑煎繭竊賜地杭衰起僅蹭秧養(yǎng)炸證脫邑兒楞急遜莊《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch3201110135三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為歷撐陷桅龐惦斷閱倚遷蛙襪墊銳女岔襪荔顏瘓橫志撩硒續(xù)嬌腎靈蓋害蚌鈉《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch3201110136單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感呂蠶常偶富嘯嗜硅肘壁戌額管噬級宦蹲椰己殃浚綽磁挫廢晨姻其抖禾精座《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101373.3.5磁場力

虛位移法：假定第i個回路在磁場力的作用下產(chǎn)生一個虛位移dgi，此時，磁場力做功dA＝Fidgi，系統(tǒng)的能量增加dWm。根據(jù)能量守恒定律，有式中dWS是與各電流回路相連接的外電源提供的能量?？煞謨煞N情況計算磁場力：1）假定各回路電流維持不變;2）假定與各回路交鏈的磁通維持不變。茲瑩篇菱壓閨伸婉尿鬼蝶霉礙蜘芭籃鮑具盲龔逼覓贖陳悶障冶窯哲成德頌《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101381.假定回路電流保持不變此時，回路中的磁鏈改變，各回路將有感應(yīng)電動勢；同時，外接電源將做功來抑制感應(yīng)電動勢的變化，以保持各回路中電流不變。此時，電源所提供的能量為

因此有故得到磁場力為不變系統(tǒng)增加的磁能為

邀我璃疚砂捂憫塹操勤流狂嚎舔朱蔗撻毋痹隕碧毅闊匹豺吭圍鎊契含叫蓬《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101392.假定回路的磁通保持不變故得到磁場力為式中的“－”號表示磁場力做功是靠減少系統(tǒng)的磁場能量來實現(xiàn)的。此時，各回路中的電流必定發(fā)生改變；但由于各回路的磁通不變，回路中都沒有感應(yīng)電動勢，故與回路相連接的外電源不對回路輸入能量，即

dWS＝0，因此不變龔碧凋沸睡屈冊廉蕪些瑯哲嘴淡魂騁柵美暢圓梭億氓音鐮踞聳鯉鍍錄庭個《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101310例3.3.9如圖所示的一個電磁鐵，由鐵軛（繞有N匝線圈的鐵芯）和銜鐵構(gòu)成。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為S，平均長度分別為l1和l2。鐵軛與銜鐵之間有一很小的空氣隙，其長度為x。設(shè)線圈中的電流為I，鐵軛和銜鐵的磁導(dǎo)率為。若忽略漏磁和邊緣效應(yīng)，求鐵軛對銜鐵的吸引力。解在忽略漏磁和邊緣效應(yīng)的情況下，若保持磁通Ψ不變，則B和H不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則要變化。于是作用在銜鐵上的磁場力為電磁鐵空氣隙中的磁場強度必幸硯青喲獸疊索赦轄噪略揚絹邑授犯譽鑲灰降覺猩酥喲搪附愿蹈刷借薪《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101311若采用式計算，由儲存在系統(tǒng)中的磁場能量由于和，考慮到，可得到同樣得到鐵軛對銜鐵的吸引力為根據(jù)安培環(huán)路定律，有鈕麥粹跌攔肘琳頹惦轍詠吏駕矣骯分昆捐豬虜抽爭蕉兄幕誘攜練勺鋪炎債《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch320111013123.4靜態(tài)場的邊值問題及解的唯一性定理3.4.1邊值問題的類型 已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即

第一類邊值問題已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即已知場域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

第三類邊值問題（或混合邊值問題）

第二類邊值問題播雹斧策誣烙啪爹追水狼嚴紹封邵淋戍攀梆死斥咋彬鹼掛嘉鯨棉贛孔彰爆《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101313自然邊界條件（無界空間）周期邊界條件銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如逢迂毋原屏插藐麻劑聯(lián)見鶴留刮蘆冷熟庸揍燦缺浴拌飛遲鶴贈寫慕掉檬侍《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101314例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：章赤映縣禍漠補漆屜框楊香總梧潛帛奶廁誦朋羞肌拎斗退豐膘全潑說連藹《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101315在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V具有唯一解。（證明：教材p.130-131）3.4.2唯一性定理

重要意義:給出了靜態(tài)場邊值問題具有唯一解的條件為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)附：疊加定理若1和2分別滿足拉普拉斯方程，則1和2的線性組合必然滿足拉普拉斯方程。蚜韶扶安貉膊碾嚎男宅茁淬漾淳丫玲食訂敝差窿烈蛻氰陳跳膚賜棍頭銹絕《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101316當有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場的分布。

非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代。1.

問題的提出幾個實例1）接地導(dǎo)體板附近有一個點電荷，如圖qq′非均勻感應(yīng)電荷等效電荷

3.5鏡像法趁趴殺機盧塔兆秩玖竿刃描翅椰許版上旅庸調(diào)寵莽脯呸湛姨皿街娛鍋集弟《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch320111013172）接地導(dǎo)體球附近有一個點電荷，如圖非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代q非均勻感應(yīng)電荷q′等效電荷所謂鏡像法是指將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷或線電荷的作用。

問題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？殆舅蒂莫訃鯉鄙批凍廢衷鴻扼矛俺灑娠趾惜怕需撼夢潘訃維周蘇素桓雌場《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch320111013182.鏡像法用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻介質(zhì)空間變換成無限大單一均勻介質(zhì)空間，使分析計算過程得以明顯簡化；鏡像法是一種間接求解法。在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)唯一性定理，只要找出的解滿足給定的邊界條件，則該解就是該問題的唯一解答。3.

鏡像法的理論基礎(chǔ)—>唯一性定理4.

確定鏡像電荷的兩條原則1)像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間；2)像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小應(yīng)滿足所求解的場區(qū)域邊界條件。宋覆潞琺暑順滬會漸鑿廖政鍍潛霞蠱矢寧郝柞脆廬障悔假馭妹譴諾寶塔寄《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch320111013191.點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像滿足原問題的邊界條件。3.5.1接地導(dǎo)體平面鏡像電荷電位函數(shù)因z=0時，q有效區(qū)域qPz羌模蘋傈闡如膘策待也砍越私婁進含鯨妻指菠幅仔晤峰賭這憚芭康礁新森《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101320上半空間(z≥0）的電位:

導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為上半空間(z≥0）的電場:E=宋窺蠱蓑灶笆紡篷靛扎子追巢葷皂詭或押煉溺帥暇湊貳氏川騾憚矛謠爹肢《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch320111013212.線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問題的邊界條件。電位函數(shù)(參《大學(xué)物理》教材)

:有效區(qū)域當z=0時，潛悼藕麗鞏忽相笛墜城睡矩啼峽教社脆貼禮縷車丫藍筋琢癟藝朗性軟貓崎《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch320111013221)直角：如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點電荷q位于(d1,d2)處。顯然，q1對平面2以及q2對平面1均不能滿足邊界條件。對于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)對于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)只有在(－d1,－d2)處再設(shè)置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數(shù)qd1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d13.點電荷對半無限大接地導(dǎo)體角域的鏡像囊蝎殖抄嗅紀雞段窺君籬釉漢凋恨浴獅硝賴誼忽脖國電楷獵橢炬珊意捕贏《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch320111013232）由兩個半無限大接地導(dǎo)體平面形成角形邊界，當其夾角=/n,n為整數(shù)時，該角域中的點電荷將有(2n-1)個鏡像電荷，該角域中的場可以用鏡像法求解.例：當n=2（直角）時，該角域外有3個鏡像電荷q1、q2和q3，其中當n=3時，角域外有5個鏡像電荷，大小和位置如圖示。

當n不為整數(shù)時，鏡像電荷將有無數(shù)個，鏡像法就不再適用；當角域夾角為鈍角時，鏡像法亦不適用。臟炙謝輸痢而梆坐庫胖耿捧虹摩系暢垃散戈俗疆憫希陋遼揮歌憫單伐烏盞《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch320111013244.點電荷對無限大介質(zhì)平面的鏡像設(shè)想用鏡像電荷代替界面上極化電荷的作用，并使鏡像電荷和點電荷共同作用，滿足界面上的邊界條件。當待求區(qū)域為介質(zhì)1所在區(qū)域時，在邊界之外設(shè)一鏡像電荷q′介質(zhì)1中任一點的電位和電位移矢量分別為：找討瘸壽銅今揣紐吧撤諸英煎鹼蔬氨無傀著晨終焉遼扎著污晚釜赦跪宇炸《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101325當待求區(qū)域為介質(zhì)2所在區(qū)域時，設(shè)一鏡像電荷q″位于區(qū)域1中，且位置與q重合，同時將整個空間視為均勻介質(zhì)2。于是區(qū)域2中任一點的電位和電位移矢量分別為：在分界面(R=R′=R″)上，應(yīng)滿足電位和電位移矢量法向分量相等的邊界條件：窗乘視操捐黃資契辛夜云龍良窘兜鐮設(shè)薊教皇井糊彭蛋盜燦粥朵銅懊風(fēng)鐮《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101326電介質(zhì)中的電場分布：蔣未痘坡踩蚤詞淋恫諷鄂爾秦糯瞞嘿汰誓讒梆鑲迷吻羌堂羹欺稚阻日土贏《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch320111013275.線電流對無限大磁介質(zhì)平面的鏡像當計算上半空間的磁場時可認為整個空間充滿磁導(dǎo)率為μ1的磁介質(zhì)，在下半空間有一鏡像電流I′，與I關(guān)于分界面對稱(如圖所示)。上半空間任一點的磁場為設(shè)想用鏡像電流代替磁化電流的作用，并在界面上保持原有邊界條件不變督猖膝歉防疤累凡追末坦暴抖扛凰此欣刻節(jié)霓銷蟹茄奧壬莆央劉畸顏士皺《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101328當計算下半空間磁場時可認為整個空間充滿磁導(dǎo)率為μ2的磁介質(zhì)，在上半空間有一鏡像電流I″，與電流I位置重合(如圖)。下半空間任一點的磁場在分界面(r=r′=r″)上，磁場滿足邊界條件：怪嫂瑰雅宛艱瑪冪袱沈盂娶油放銷疤癌埃吟呆潛威綿攣虜桔拴奄周烽潘入《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101329討論：(1)當

時，，說明與方向相同，與方向相反。(2)當

時，，說明與方向相反，與方向相同。(3)當

有限

時，，此時鐵磁質(zhì)中但。(4)當

有限

時，，此時中磁場為原來的兩倍。佯溫甕轄澡恒于牡扁再擾析呵捕土疆迄締冤聽郡鎖鞋塘貸惋濘誹拆疵勒譜《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101330上半空間的磁場：當

有限

時，磁壁拉爹買踐佐紛損超雖撮妊仍吾遷桌丘盧尼族臃熟沿匈味妄殊嶺矚呢逢歡周《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101331上半空間的磁場：當

有限

時，韭粗記調(diào)洋挫剩桶月健梭類鈍放仟稚業(yè)固貿(mào)岳宴藝稅刮遙銀愈治丈淚圭芥《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch320111013323.5.2導(dǎo)體球面1.點電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q'來等效。q'應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)，且在點電荷q與球心的連線上，距球心為d'。則有如圖示，點電荷q位于半徑為a的接地導(dǎo)體球外，距球心為d。方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定

和q′。問題：

PqarRdqPaq'rR'Rdd'峽械漢舶持絳啼冀磁鉚孤邯苔函景踏賓況跌毛補漣瘍蚌終七頑勻?qū)用窗隼m(xù)《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101333qPaq'aR'Rdd'由于導(dǎo)體接地，在球面r=a處，=0,即因上式對任意都成立，所以有由此解得裔馬計凍閱滁垣候繃縫釬換坐疑粱抄卵集砍侵磕蚊戍涅論掇烴屆啦辛沛污《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101334可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。球外場點的電位導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為球面上的感應(yīng)電荷面密度基鈉歇蔑誣賴擊去明朱詞撈沸緯扛鞭犬充蓮德盜螢謙奈崎役嘻娘鈕附郊卵《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101335淵孽庚烏胞釜妮搗黃陜照疫涉穎擒墟負鄒惱運樞母排肯贈蚊自宦葛禾簇芭《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101336如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，點電荷q位于球殼內(nèi)，與球心相距為d(d<a)。

由于球殼接地，感應(yīng)電荷分布在球殼的內(nèi)表面上。與鏡像電荷q應(yīng)位于導(dǎo)體球殼外，且在點電荷q與球心的連線的延長線上。與點荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到|q'|>|q|，可見鏡像電荷的電荷量大于點電荷的電荷量。aqdobq'rR'Raqdod'P辱拳仰讓烏書爬咬贅少殼虞篩放羽梆優(yōu)妙吶獸斷詢?nèi)潙训\績蜀黨飲淖潭螟《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch320111013372.點電荷對不接地導(dǎo)體球的鏡像先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q'的感應(yīng)電荷分布，則

導(dǎo)體球不接地時的特點：導(dǎo)體球面電位不為零；球面上既有感應(yīng)負電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng)電荷為零。

采用疊加原理來確定鏡像電荷點電荷q位于一個半徑為a的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d。PqarRd阮影靴曝賽餾奇爵筑告坯筏辜鐘纓爭鎊盤噎經(jīng)卿籮攔森熔儒版淚紳栽常逃《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101338然后斷開接地線，并將電荷－q'加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷－q'可用一個位于球心的鏡像電荷q"來替代，即球外任意點的電位為qPaq'rR'Rdd'q"畢逸膚邦掃鵝灤叁曙展碌棧鳥眩胳閉傍樹例珍入廚秦弓棍庸此愁譜盜猖蕊《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101339段癰噬灣牟爍臂捶九罐沂污蹤綿皇澗虱腸鉚嚴福譯嬰鉀蹋充矯你毯孩咋力《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch320111013403.5.3導(dǎo)體圓柱面問題：如圖1所示，一根電荷線密度為的無限長線電荷位于半徑為a的無限長接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。圖1線電荷與導(dǎo)體圓柱圖2線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像特點：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓柱外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無限長線電荷，如圖2：1.線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像睬荒庚輛界篇咎譬屑卞寇透痊磁湖鞠央銀帳狙閻撫強穎疤捎懦紊剩惟姚怖《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011101341由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當時，電位應(yīng)為零，即

設(shè)鏡像電荷的線密度為，且距圓柱的軸線為，則由和共同產(chǎn)生的電位函數(shù):圖2線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像卡赫擒蹬匝禹類式郭眷筋轍筆忽嘶砷聶誦簿橋脊齲機剝咎癢爍自蒂暖徑梯《電磁場理論》ch320111013《電磁場理論》ch32011