第7節(jié) 二項分布及正態(tài)分布(輕巧奪冠)

第7節(jié)二項分布及正態(tài)分布課標(biāo)要求1?了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念.2?理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些實際問題．3.借助直觀直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的幾何意義．【知識衍化體驗】知識梳理條件概率對于任何兩個事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做TOC\o"1-5"\h\z，用符號來表示為，其公式為．條件概率具有的性質(zhì)：；②如果B和C是兩個互斥事件，則P(BCIA)=.事件的相互獨立性對于事件A,B,若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱.若事件A與B相互獨立，則P(BIA)P(A)=.若事件A與B相互獨立，貝y，，也都相互獨立．獨立重復(fù)試驗與二項分布獨立重復(fù)試驗是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有種結(jié)果，即要么發(fā)生要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的．在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中A發(fā)生的概率為p,則P(x=k)=，此時稱隨機變量X服從，記為正態(tài)分布1^2正態(tài)曲線：函數(shù)怙2濟曠'xGH，其中實數(shù)卩和b為參數(shù)(ywRQ>0).我們稱函數(shù)9(X)的圖象為，簡稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線的特點:曲線位于x軸,與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；1曲線在處達(dá)到峰值一；2兀b曲線與x軸之間的面積為；當(dāng)卩一定時，曲線的形狀由。確定，0越小，曲線越"”，表示總體的分布越集中;

0越大，曲線越“”，表示總體的分布越.正態(tài)分布的定義及表示一般地，如果對于任何實數(shù)a,b(a<b)，隨機變量X滿足P(a<X<b)恰好是正態(tài)曲線下方與x軸上方所圍成的圖形的面積，則稱隨機變量X服從，記作正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù):TOC\o"1-5"\h\zP(y-0〈XWu+0)=；P(y-2?！碭Wu+2o)=；P(y-3o〈XWu+3o)=.【微點提醒】1?在條件概率中，P(BIA)與P(AIB)是一樣嗎？各代表什么含義？2.“事件相互獨立”與“事件互斥”有何不同？基礎(chǔ)自測錯誤辨析1?判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“7”或“X”)TOC\o"1-5"\h\z(1)條件概率與非條件概率一定不相等.()(2)對于任意兩個隨機事件A,B,P(AB)=P(A)P(B)成立.()甲乙兩人各擲一個均勻的骰子，觀察向上的點數(shù)，事件A：甲得到的點數(shù)是2,B：乙得到的點數(shù)是奇數(shù).A與B為相互獨立事件.(4)二項分布其公式相當(dāng)于(a+b)n的通項公式，其中a=p,b=1-p.()正態(tài)分布中的參數(shù)卩和Q完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)卩是正態(tài)分布的均值，Q是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.()一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.()教材衍化2?已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同.現(xiàn)需1個紅球，甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為A.10B.3C.A.10B.3C.—D.—3?天氣預(yù)報，在元旦假期甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則兩地中恰有一個地方降雨的概率為()A.0.2B.0.3C.0.38D.0.564?隨機拋擲10次均勻的硬幣，則正好出現(xiàn)5次正面的概率是5.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且p(X>2c—1)=p(X<c+3)，則c

考題體驗6?將三顆骰子各擲一次，記事件A=“三個點數(shù)都不同”，B=“至少出現(xiàn)一個6點”，則條件概率P(AIB),P(BIA)分別是()601A?91，2160B601A?91，2160B?一,—2917.已知E服從正態(tài)分布NGq2)C?，D.，—18912162aWR,則“P(E>a)=0.5”是“關(guān)于x的二項式1(ax+)3的展開式的常數(shù)項為3”的()x2A.充分不必要條件B?必要不充分條件C.既不充分又不必要條件D.充要條件8.從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為2，3，4'記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列;若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率?【考點聚焦突破】考點一條件概率【例1】在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品?現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取1件，則在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率是?規(guī)律方法解決條件概率題的關(guān)鍵首先是要搞清楚和何為事件A，何為事件B，才能正確利用相應(yīng)公式解題?【訓(xùn)練1】某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A?0.8B?0.75C?0.6D?0.45考點二獨立事件同時發(fā)生的概率

例2】某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū):6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū):7383625191465373648293486581745654766579（I）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可）；E地國:（II）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級:滿意度評分低于7°分7°分到89分不低于9°分滿意度等級~7~、—e-y-不滿意X-H-滿意非常滿意記事件C:“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率．規(guī)律方法這類問題常常是獨立事件與互斥事件綜合，解題的關(guān)鍵是合理分類，先分成若干互斥的類相加，每一類中再利用獨立事件公式求概率．【訓(xùn)練2】在體育選修課排球模塊基本功（發(fā)球）測試中，計分規(guī)則如下（滿分為10分）:①每人可發(fā)球7次，每成功一次記1分；②若連續(xù)兩次發(fā)球成功加°，5分，連續(xù)三次發(fā)球成功加1分，連續(xù)四次發(fā)球成功加1.5分，以此類推，，連續(xù)七次發(fā)球成功加3分．假設(shè)2某同學(xué)每次發(fā)球成功的概率為3,且各次發(fā)球之間相互獨立，則該同學(xué)在測試中恰好得5分的概率是()26252625A.—B.C.—D.—35353636考點三獨立重復(fù)試驗與二項分布【例3】某地不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，更有著許多旅游景點.每年來撫州參觀旅游的人數(shù)不勝數(shù).其中，名人園與夢島被稱為撫州的兩張名片，為合理配置旅游資源，現(xiàn)對已游覽名人園景點的游客進(jìn)行隨機問卷調(diào)查.若不去夢島記1分，若繼續(xù)去夢島記22分.每位游客去夢島的概率均為3，且游客之間的選擇意愿相互獨立.從游客中隨機抽取3人，記總得分為隨機變量X，求X的分布列；若從游客中隨機抽取m人，記總分恰為m分的概率為A，求數(shù)列｛A｝的前6項和；mm在對所有游客進(jìn)行隨機問卷調(diào)查的過程中，記已調(diào)查過的累計得分恰為n分的概率為B，探討B(tài)與B1之間的關(guān)系，并求數(shù)列｛B｝的通項公式.nnn-1n規(guī)律方法本題主要考查了n次獨立重復(fù)試驗即二項分布的分布列，但與等比數(shù)列求和知識進(jìn)行了綜合，需要由遞推關(guān)系式求通項公式，屬于綜合題．【訓(xùn)練3】2019年春節(jié)期間，某當(dāng)紅影視明星“不知道知網(wǎng)”學(xué)術(shù)不端事件在全國鬧得沸沸揚揚，引發(fā)了網(wǎng)友對亞洲最大電影學(xué)府北京電影學(xué)院、乃至整個中國學(xué)術(shù)界高等教育亂象的反思．為進(jìn)一步端正學(xué)風(fēng)，打擊學(xué)術(shù)造假行為，教育部公布的《教育部2019年部門預(yù)算》中透露，2019年教育部擬抽檢博士學(xué)位論文約6000篇，預(yù)算為800萬元．國務(wù)院學(xué)位委員會、教育部2014年印發(fā)的《博士碩士學(xué)位論文抽檢辦法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進(jìn)行評議，3位專家中有2位以上(含2位)專家評議意見為“不合格”

的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”．有且只有1位專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將再送2位同行專家進(jìn)行復(fù)評．2位復(fù)評專家中有1位以上（含1位）專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”．設(shè)毎篇學(xué)位論文被毎位專家評議為“不合格”的槪率均為p（°<p<1）,且各篇學(xué)位論文是否被評議為“不合格”相互獨立．（1）記一篇抽檢的學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為f（p），求f（p）；（2）若擬定每篇抽檢論文不需要復(fù)評的評審費用為900元，需要復(fù)評的評審費用為1500元；除評審費外，其它費用總計為100萬元．現(xiàn)以此方案實施，且抽檢論文為6000篇，問是否會超過預(yù)算？并說明理由．考點四正態(tài)分布【例4】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（卩Q2）.⑴假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在（卩-36卩+3d）之外的零件數(shù)，求P（X1）；⑵一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（卩-3d,卩+3d）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.（i）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ii）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.95，10.12，9.96，9.96，10.01，9.92，9.98，10.04，10.26，9.91，10.13，10.02，9.2210.04，10.05，9.95經(jīng)計算得x二存<二9.97,i=1經(jīng)計算得x二存<二9.97,i=1i=1i=1=0.212，其中X為抽取的第i個零件的尺寸，i=1,2,,16.用樣本平均數(shù)x作為卩的估計值卩，用樣本i標(biāo)準(zhǔn)差s作為◎的估計值◎，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除???(p-3a小+3a)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計卩和◎(精確到0.01).附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(卩Q2)，則P(p-3aZp+3a)=0.99740.997416沁0.9592J0.008沁0.09規(guī)律方法正態(tài)分布反映的是，如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸徑p-3a,p+3a)之外的概率只有0．0026，發(fā)生的概率很小．因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況．【訓(xùn)練4】從某市統(tǒng)考的學(xué)生數(shù)學(xué)考試卷中隨機抽查100份數(shù)學(xué)試卷作為樣本,分別統(tǒng)計出這些試卷總分,由總分得到如下的頻率分布直方圖.求這100份數(shù)學(xué)試卷的樣本平均分和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).由直方圖可以認(rèn)為,這批學(xué)生的數(shù)學(xué)總分Z服從正態(tài)分布N(u,O2),其中口近似為樣本平均數(shù)，O2近似為樣本方差S2.利用該正態(tài)分布，求P(81〈Z〈119);記X表示2400名學(xué)生的數(shù)學(xué)總分位于區(qū)間(81,119)的人數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)(用樣本的分布估計總體的分布).附：卻匸?19「廠?~18,若Z?N（卩，。2），貝yP（y—o〈Z〈u+o）=0.6827,P（u-2o〈Z〈u+2o）=0.9545.反思與感悟【思維升華】求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法：①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；②正面計算較麻煩時，可嘗試從其對立事件的概率入手計算.獨立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略：①在求n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率；②在根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和概率p，求得恰好發(fā)生k次的概率；③二項分布問題常常與數(shù)列、函數(shù)乃至于導(dǎo)數(shù)和不等式綜合，要綜合思考．【易錯防范】條件概率公式運用時，要弄清相應(yīng)字母的意義．一定要先研究事件的相互獨立性，才能用概率乘法公式解題．不能把不是相互獨立的事件的概率套用相互獨立事件的概率公式解題，那會導(dǎo)致錯解．【核心素養(yǎng)提升】數(shù)據(jù)分析—三局兩勝制等的概率問題數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng)．?dāng)?shù)據(jù)分析過程主要包括：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型、進(jìn)行推斷、獲取結(jié)論．有關(guān)“三局兩勝制”的概率問題，指的是兩人(隊)比賽最多三局，若一方先勝兩局貝比賽結(jié)束稱為2:0獲勝；若前兩局比成1:1，貝需要進(jìn)行第三局決勝局比賽，獲勝的一方稱為2:1獲勝．當(dāng)然現(xiàn)實中還有“五局三勝制”等設(shè)計．這里面就有概率因素的影響．【例題】甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，那么采用“三局兩勝制”還是“五局三勝制”對甲有利？你對局制長短的設(shè)置有何認(rèn)識？解每局比賽只有兩種結(jié)果：甲獲勝或乙獲勝．每局比賽可以看作是相互獨立的，所以甲獲勝的局?jǐn)?shù)X是隨機變量，服從二項分布.(1)采用“三局兩勝制”時，甲獲勝可能2:0或2:1，甲獲勝的概率為：P=C2-0.62+Ci-0.6-0.4-0.6=0.648；1222）采用“五局三勝制”時，甲獲勝可能3:0或3:1或3:2，甲獲勝的概率為：P二