2022-2023學(xué)年天津市西青區(qū)重點中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年天津市西青區(qū)重點中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點為Z(2,?A.z=?1+2i B.|z2.如圖經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可以得到選項中幾何體的是(

)

A. B. C. D.3.在平行四邊形ABCD中，BA.BC B.DA C.AB4.若△ABC的面積為3，BC=2，A.2 B.3 C.2 5.已知向量a=(m,6),b=(A.18 B.2 C.?18 D.6.如圖，在△ABC中，D為AB的中點，若P為CD上一點，且APA.13

B.?23

C.27.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C滿足2sinA.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形8.一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′BA.1

B.2

C.229.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABCA.π2 B.π3 C.π410.如圖，飛機飛行的航線AB和地面目標(biāo)C在同一鉛直平面內(nèi)，在A處測得目標(biāo)C的俯角為30°，飛行10千米到達B處，測得目標(biāo)C的俯角為75°，這時B處與地面目標(biāo)C的距離為(

)

A.5千米 B.52千米 C.4千米 D.11.在一個長方體ABCD?A1B1C1D1中，已知AA.55 B.137 C.312.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等．其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺(即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的).如圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm)，那么該壺的容量約為(

)

A.100cm3 B.200cm3二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）13.已知A(2,?3),14.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)6+7i115.已知向量a與b的夾角是60°，且|a|=1,|16.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝．它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如圖2所示．已知球的半徑為R，酒杯內(nèi)壁表面積為143πR2.設(shè)酒杯上部分(圓柱)的體積為V1，下部分(半球)的體積為V217.如圖是正方體的平面展開圖．在這個正方體中，①BM/?/平面AEND；②CN/?/平面ABFE；18.已知一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一截面，則如圖中，截面不可能是______(填序號)．

三、解答題（本大題共5小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.(本小題12.0分)

如圖，正方體ABCD?A′B′C′D′的棱長為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC20.(本小題12.0分)

設(shè)復(fù)數(shù)z=a2?a?(a?1)i(a∈R)21.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點.求證：

(122.(本小題12.0分)

在四面體A?BCD中，點E，F(xiàn)，M分別是AB，BC，CD的中點，且BD=AC=2，EM=1．

(123.(本小題12.0分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a=6，b=2c，cosA=?14．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點為z(2,?1)，

∴z=2?i，|z|=2.【答案】A

【解析】解：該幾何體上部為一個圓錐，下部是一個與圓錐同底的圓臺，

圓錐可由一直角三角形以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到，

圓臺可由一直角梯形以垂直于兩底的腰所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到，

通過上述判斷再對選項中的平面圖形適當(dāng)分割，只有A符合．

故選：A．

該幾何體上部為一個圓錐，下部是一個與圓錐同底的圓臺，再根據(jù)圓錐和圓臺分別是由直角三角形和直角梯形旋轉(zhuǎn)而成的即可判斷．

本題考查旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】A

【解析】解：BC+DC+BA=BC4.【答案】C

【解析】解：∵△ABC的面積為3，BC=a=2，C=60°，

∴12absinC=3，即b=25.【答案】A

【解析】解：∵向量a=(m,6),b=(?1,3)，a與b垂直，

∴?6.【答案】A

【解析】解：∵C，P，D三點共線，

∴設(shè)CP=λCD，又CD=AD?AC=12AB?AC，

7.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

利用正弦定理，余弦定理化簡已知等式可得b=c，從而可得結(jié)論．

【解答】

解：∵2sinBcosC=sinA，

∴a=8.【答案】D

【解析】解：因為三角形的斜二側(cè)直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，所以△ABO的底OB=O′B′=2．

腰A′O′=22，在△A9.【答案】C

【解析】【分析】本題考查利用余弦定理解三角形、三角形面積公式等知識，考查學(xué)生運算能力，是基礎(chǔ)題．

由S△AB【解答】∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為a2+b2?c24，

10.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了利用正弦定理解答實際應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．

由題意，在△ABC【解答】解：由題意知，在△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，∠ACB=75°

11.【答案】C

【解析】解：將長方體展開共三種情況如下：

(1)AC1=AB2+(BB1+B1C1)2=62+(4+5)2=12.【答案】B

【解析】解：設(shè)大圓錐的高為h，所以h?4h=610，解得h=10．

故V=113.【答案】(5【解析】解：設(shè)點B的坐標(biāo)為(x,y)，

因為A(2,?3),AB=(3,?2)，

所以AB=(x?2,y+3)=(3,?2)14.【答案】4?【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和乘法運算法則計算即可．【解答】解：6+7i1+2i

15.【答案】2

【解析】解：已知向量a與b的夾角是60°，且|a|=1,|b|=2，

則a?b=16.【答案】2

【解析】解：設(shè)酒杯上部分高為h，則酒杯內(nèi)壁表面積S=12×4πR2+2πRh=143πR2，則h=43R，

所以V117.【答案】①②【解析】解：把正方體的平面展開圖還原成正方體ABCA?EFMN，如圖所示：

對于①，因為BM/?/AN，BM?平面AEND，AN?平面AEND，所以BM/?/平面AEND，命題①正確；

對于②，CN//BE，CN?平面ABFE，BE?平面ABFE，所以CN/?/平面ABFE，命題②正確；

對于③，BD/18.【答案】④

【解析】解：當(dāng)截面平行于正方體的一個側(cè)面時得③圖；

當(dāng)截面過正方體的體對角線時得②圖；

當(dāng)截面不平行于任何側(cè)面也不過體對角線時得①圖；

但無論如何都不能截出D圖．

∴截面不可能是④．

故選：④．

當(dāng)截面的角度和方向不同時，球的截面不相同，應(yīng)分情況考慮即可．

本題主要考查了球內(nèi)接多面體、棱柱的結(jié)構(gòu)特征．注意截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)，是基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：(Ⅰ)∵ABCD?A′B′C′D′是正方體，

∴A′B=A′C=A′D=【解析】(Ⅰ)可得A′B=A′C=A′D=20.【答案】解：(1)若z為純虛數(shù)，則a2?a=0a?1≠0，

所以a=0，故z=i，z?=?i，

故【解析】本題考查復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的乘法運算，屬于基礎(chǔ)題．

(1)根據(jù)純虛數(shù)定義即可求解；

(21.【答案】證明：(1)∵四棱錐P?ABCD的底面是平行四邊形，

∴AB/?/CD，AB=CD，

又∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，

∴CF//【解析】(1)由已知可證得AECF為平行四邊形，從而得到答案．

(2)要證AF//22.【答案】(1)證明：∵點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，∴EF/?/AC，

∵EF?平面ACD，AC?平面ACD，

∴EF/?/平面ACD．

(2)解：∵點E，F(xiàn)，M分別是AB，BC，CD的中點，

∴EF/?【解析】本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，屬于中檔題．

(1)推導(dǎo)出EF/?/AC，由此能證明EF/?/平面ACD．

(2)推導(dǎo)出EF/23.【答案】解(1)因為a=