2023年高一年級下冊數(shù)學(xué)必修二《棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征》測試試卷及答案解析

2023年高一下數(shù)學(xué)必修二《棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征》測

試試卷

一.選擇題（共5小題）

1.如圖，正方體181cbDi的棱長為1,P為441的中點，M在側(cè)面上，

有下列四個命題：

①若。AMCP,則△8CM面積的最小值為返；

10

②平面由5。內(nèi)存在與D\C\平行的直線；

③過力作平面a,使得棱NO,AA\,￡>iG在平面a的正投影的長度相等，則這樣的平面a

有4個；

④過A作面0與面小8。平行，則正方體ABCD-A\B\C\D\在面0的正投影面積為百.

則上述四個命題中，真命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.如圖，在三棱柱/8C-481cl中，點P在平面小81cl內(nèi)運動，使得二面角P-/8-C

的平面角與二面角P-BC-A的平面角互余，則點尸的軌跡是（）

A.一段圓弧B.橢圓的一部分

C.拋物線D.雙曲線的一支

3.若一個四面體的四個側(cè)面是全等的三角形，則稱這樣的四面體為“完美四面體”，現(xiàn)給出

四個不同的四面體4&CkO*（衣=1，2,3,4）,記△4&G的三個內(nèi)角分別為4,Bk,

Ck,其中一定不是“完美四面體”的為（）

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A.A\：B\：C|=3：5：7

B.sinJ2：sin^2：sinC2=3：5：7

C.cos/3：cos^3：COSC3=3：5：7

D.tart44：taa54：tanC4=3：5：7

4.設(shè)尸，。為一個正方體表面上的兩點，已知此正方體繞著直線夕。旋轉(zhuǎn)。(0<0〈如)角

后能與自身重合，那么符合條件的直線尸。的條數(shù)為()

A.3B.4C.7D.13

5.已知四面體ABCD的三組對棱的長分別相等，依次為3,4,x,則x的取值范圍是()

A.(泥，77)B.(V7-5)C.(A/5-3)D.(4.7)

二.填空題(共3小題)

6.如右圖，在棱長為1的正方體Z8CD-/18C1O1中，作以/為頂點，分別以AD,

441為軸，底面圓半徑為r(0<rWl)的圓錐.當半徑/■變化時，正方體挖去三個上圓錐

4

部分后，余下的幾何體的表面積的最小值是.

7.正四面體的棱長為2,則所有與4B,C,。距離相等的平面截這個四面體所得

截面的面積之和為.

8.如圖，正方體Z8C。-小々Cid的棱長為動點P在對角線上，過點尸作垂直

于8。的平面a,記平面a截正方體得到的截面多邊形(含三角形)的周長為y=/(x),

設(shè)8尸=x,(0,3),關(guān)于函數(shù)y=/(x)：

(I)下列說法中，正確的是

①當在(1,2)時，截面多邊形為正六邊形；

②函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于x=|■對稱；

③任取XI，X2e[l,2]時，/(XI)=/(X2).

(II)函數(shù)v=/(x)單調(diào)區(qū)間為.

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三.解答題（共42小題）

9.將半徑為姐的圓形鐵皮剪去一個圓心角為a的扇形，用剩下的扇形鐵皮制成一個圓錐

形的容器，該圓錐的高記為〃，體積為匕

（1）求體積/有關(guān)〃的函數(shù)解析式.

（2）求當扇形的圓心角a多大時，容器的體積廠最大.

10.如圖所示，在四邊形N8CD中，ZDAB=90°,N4DC=135°,4B=5,CD=2圾,

AD=2,求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.

11.如圖（單位：cm）,求圖中陰影部分繞N8旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積.

7

12.如圖四邊形/8C。為梯形，AD//BC,/ABC=90°,求圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周

所形成的幾何體的表面積和體積.

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13.如圖，在直三棱柱/8C-/181G中，M,N分別是和8。的中點.

(1)證明：仞V〃平面/4C1C；

(2)若44i=2,AB=AC=\,ZBAC=90a,求棱錐Ci-ZMN的高.

,

14.直三棱柱/8C-N向。中，E為/Ui的中點，AB=BC=AA1=72/N8C=90°,。為

NC上一點，且平面NCCMi.

(/)證明:平面8c1A

(H)在線段工以上是否存在一點尸，使得二面角尸-8。-G的余弦值為一L,若存在,

3

求出點尸的位置；若不存在，說明理由.

15.如圖，在正三棱柱/8C-481cl中，側(cè)棱長和底面邊長均為1,。是8c的中點.

(I)求證：/出〃平面/DCi；

(II)求/以與平面4。。所成角的正弦值:

A.E

(III)試問線段小81上是否存在點E,使CEJ_平面力。。？若存在，求」—的值，若

A/1

不存在，說明理由.

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16.如圖，在棱長為1的正方體48co-NiBiCbDi中，點E是棱上的動點.

(1)求證：DA\LED\^

(2)若直線與平面CEDi所成的角是45°,請你確定點E的位置，并證明你的結(jié)

17.(理科學(xué)生做)如圖，在半徑為心圓心角為工的扇形金屬材料中剪出一個長方形EP0R

3

并且￡尸與N/OB的平分線0c平行，設(shè)NP0C=6.

(1)試將長方形EPQF的面積S(0)表示為。的函數(shù)；

(2)若將長方形EPQF彎曲，使EP和尸。重合焊接制成圓柱的側(cè)面，當圓柱側(cè)面積最

大時，求圓柱的體積(假設(shè)圓柱有上下底面)；為了節(jié)省材料，想從AOE尸中直接剪出一

個圓面作為圓柱的一個底面，請問是否可行？并說明理由.

(參考公式：圓柱體積公式/=$?〃.其中S是圓柱底面面積，〃是圓柱的高：等邊三角

形內(nèi)切圓半徑r巫a其中。是邊長)

r6

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18.如圖，平面S/8為圓錐的軸截面，。為底面圓的圓心，M為母線S8的中點，N為底面

圓周上的一點，AB=4,S0=6.

(1)求該圓錐的側(cè)面積；

(2)若直線SO與所成的角為30°,求的長.

19.如圖，設(shè)/BCD是空間四邊形，AB=AD,CB=CD,E、F、G、G分別是/8、BC、

CD、DA的中點.

(I)求證：EFGH是平行四邊形；

(Il)求證：BDVAC.

20.如圖：以，平面力BCD,/BCD是矩形，PA=AB=\,詹，點尸是尸8的中點,

點E在邊8C上移動.

(1)當點E為8c的中點時，試判斷￡尸與平面B1C的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)證明：無論點E在邊8c的何處，都有PEL/F.

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21.如圖所示，在三棱柱/8C-Z181cl中，點。，。分別為4C,小。上的點.若平面8。。

〃平面/歷。|,求位■的值.

DC

22.如圖所示（單位：cm）,四邊形N8CD是直角梯形，求圖中陰影部分繞N8旋轉(zhuǎn)一周所

成幾何體的表面積和體積.

參考公式：

S回臺側(cè)面枳=口（R+廠）I

S球=4TTR2

瞑。（S'+Vssz+5）h

3

"球=!"兀R2.

23.如圖所示，平面圖形Z8C中，弧4c在以點。為圓心的圓上，ZJOC=90°,OC=3,

AB=6,該平面圖形繞。/所在直線旋轉(zhuǎn)一周后圍成一個幾何體.

寫出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征并求其表面積和體積.

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B

24.如圖，四邊形是正四棱柱N8CQ-mBiCiOi的一個截面，此截面與棱CG交于

點E,AB=CE=2,CiE=BG=l,MELBE,其中G,M分別為棱BBi,81cl上一點.

（1）證明：平面小平面力8EF；

（2）N為線段8c上一點，若四面體/181MG與四棱錐N-/8EF的體積相等，求8N的

長.

25.已知一倒置圓錐體的母線長為10cm,底面半徑為6c”?.

（1）求圓錐體的高；

（2）若一球剛好放進該圓錐體，求這個球的半徑以及此時圓錐體剩余的空間.

26.如圖：一個圓錐的底面半徑為2,高為6,在其中有一個半徑為x的內(nèi)接圓柱.

（1）試用x表示圓柱的高；

（2）當x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大.

27.養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的

底面直徑為12M,高4",養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽，現(xiàn)有兩

種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4/W（高不變）；二是高度增加4M（底面直

徑不變）.

（1）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；

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(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；

(3)哪個方案更經(jīng)濟些？

28.已知長方體/BCO-力中，底面48co為正方形，O￡?i_L平面/8CO,48=4,

441=2,點Ei在棱上，且功Ei=3.

(I)在棱CQ上確定一點E,使得直線EE]〃平面。1D8,并寫出證明過程；

(II)若動點E在正方形內(nèi)，且“尸=2,請說明點尸的軌跡，探求EF長度的最

小值并求此時直線臼尸與平面ABCD所成角的正弦值.

29.如圖，所有棱長都相等的直四棱柱45CO-GB'CD'中"D'中點為9.

(1)求證：AE'〃平面8C'D；

(2)求證：BDLAE'.

30.如圖，圓錐的軸截面為三角形S4B,。為底面圓圓心，C為底面圓周上一點，D為BC

的中點.

(/)求證：平面S8C_L平面5?！?；

(//)如果N4OC=NSDO=60°,BC=2y/s，求該圓錐的側(cè)面積.

S

31.如圖，正四棱柱Z8CO-/181C1G中，。是8。的中點，E是棱CG上任意一點.

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(1)證明：BDLAiE；

(2)如果/8=2,CE=V2-OE1.A\E,求44i的長.

32.如圖已知四邊形ABCD為直角梯形，ABA.AD,DC〃48,且邊AB、AD、DC的長

分別為7cm,4cm,4cm,分別以AB、AD、DC三邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，求所得幾何體

體積.

33.已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別是2,2百；以這個直角三角形的斜邊所在直

線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體，求這個旋轉(zhuǎn)體的表面積和體

積.

34.已知直線/過點尸(-1,2),且傾斜角的余弦值為返.

2

(1)求直線/的一般式方程；

(2)求直線/與坐標軸圍成的三角形繞y軸在空間旋轉(zhuǎn)成的幾何體的體積.

35.如圖，在半徑為30c”?的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料(點/,8在直徑上，

點C,。在半圓周上)，并將其卷成一個以力。為母線的圓柱體罐子的側(cè)面(不計剪裁和

拼接損耗).

(1)設(shè)8c為xcw,AB為ycm,請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫出x的取值范圍；

(2)若要求圓柱體罐子的體積最大，應(yīng)如何截??？

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36.如圖，在正方體中/8C￡>-4i8Ci。，E、尸分別為/小的中點.求證:

(1)EF//D\C-,

(2)CE,D\F,D4三線共點.

AEB

37.已知幾何體［如圖(1)］的三視圖如圖(2)所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是

腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，已知幾何體力-BCED的體積為16.

(1)求實數(shù)。的值;

(2)將直角三角形28。繞斜邊40所在直線旋轉(zhuǎn)一周，求該旋轉(zhuǎn)體的表面積.

38.如圖，四棱錐8-/CDE的底面4CDE滿足。E〃/C,AC=2DE.

(I)若。CJ_平面/8C,ABLBC,求證：平面平面88；

(II)求證：在平面Z8E內(nèi)不存在直線與DC平行；

某同學(xué)用分析法證明第(1)問，用反證法證明第(2)問，證明過程如下，請你在橫線

上填上合適的內(nèi)容.

(I)證明：欲證平面/8E1,平面8cZ),

只需證,

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由已知N8L8C,只需證,

由已知OC_L平面N8C可得。C_L43成立，

所以平面/8E_L平面BCD.

(II)證明：假設(shè),

又因為。C<S平面Z8E,所以。C〃平面力8￡.

又因為平面NCDED平面ABE=AE,

所以，

又因為DE//4C,所以ZCDE是平行四邊形,

所以/C=Z)E,這與矛盾，

所以假設(shè)錯誤，原結(jié)論正確.

39.現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它的上部是底面圓半徑為5米的圓錐，下部是底面圓半徑為5

米的圓柱，且該倉庫的總高度為5米.經(jīng)過預(yù)算，制造該倉庫的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用

料的單價分別為4百元/米2、1百元/米2.

(1)記倉庫的側(cè)面總造價為y百元，

①設(shè)圓柱的高為x米，試將y表示為關(guān)于x的函數(shù)y=/(x)；

②設(shè)圓錐母線與其軸所在直線所成角為仇試將y表示為關(guān)于書的函數(shù)y=g(0)：

(2)問當圓柱的高度為多少米時，該倉庫的側(cè)面總造價(單位：百元)最少？

40.四棱柱中，底面/8CD是梯形，/O〃8C,側(cè)面是菱形，Z

DAB=ZDAA[.

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(1)求證：AiBLAD；

(2)若AD=AB=2BC=4,//弘8=60°,點。在平面上的射影恰為線段//

的中點0.求四棱柱48。。-小81。。1的高.

41.如圖，/是△8CQ所在平面外一點，M、N為△48C和△/(?￡)重心，BD=6；

(1)求MV的長；

(2)若4、C的位置發(fā)生變化，的位置和長度會改變嗎？

42.如圖所示，在直三棱柱48C-/181cl中，。點為棱Z8的中點.

(1)求證：〃平面8C。；

(2)若4B=4C=2,BC=BB\=2近,求二面角-8-8的余弦值;

(3)若歷11，C8i兩兩垂直，求證：此三棱柱為正三棱柱.

43.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.

(1)判斷正方體中平面8EG與平面NC"的位置關(guān)系.并證明你的結(jié)論;

(2)若P是CG的中點，求正方體中。尸與，尸所成角的余弦值.

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44.如圖所示，在空間四邊形/8C。中，AD、CD、AB、8D的中點分別為E、F、G、H.己

知ND=1,BC=M，且，對角線BD^p,AC=苧.求證：AEFG為直角三角形.

45.如圖所示在圓錐尸。中，已知尸0=&,。。的直徑N8=2,C是AB」二的點(點C不

與“8重合)，。為4c中點.

(I)證明：平面尸。。_1_平面/MC；

(II)求圓錐尸。的表面積.

46.如圖，在三棱柱/8C-481cl中，側(cè)面44?，底面/18<7,AA\=AiC=AC=2,AB

=BC,ABA,BC,。為4C中點.

(1)證明：小。_L平面/8C；

(2)在8。上是否存在一點E,使得0E〃平面小/8?若存在，確定點E的位置；若不

存在，說明理由.

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(1)若N8=45°,ZC=60°,將△/BC繞直線8c旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，求這個

幾何體的體積.

(2)設(shè)。是8c的中點，AD=2&,cosN8/C=2叵，求△Z8C的面積.

12

48.正四棱臺兩底面邊長分別為2和4.

(1)若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°,求棱臺的側(cè)面積;

(2)若棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高.

49.如圖，一個圓錐的底面半徑為2c/n,高為6cm,其中有一個高為xc機的內(nèi)接圓柱.

(1)試用x表示圓柱的側(cè)面積；

(2)當x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大.

50.在直三棱柱中，AB=BC=?,BBi=2,ZABC=90°,E、F分別為

AA\.Ci歷的中點，求沿棱柱的表面從E到尸兩點的最短路徑的長度.

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2023年高一下數(shù)學(xué)必修二《棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特

征》測試試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

1.如圖，正方體小81clz的棱長為1,尸為441的中點，A/在側(cè)面441818上，

有下列四個命題：

①若則△8C/W面積的最小值為返；

10

②平面A\BD內(nèi)存在與D\C\平行的直線；

③過力作平面a,使得棱力。，AA\,01cl在平面a的正投影的長度相等，則這樣的平面a

有4個；

④過A作面0與面A\BD平行，則正方體ABCD-A\B\C\D\在面0的正投影面積為畬.

則上述四個命題中，真命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】①建立空間坐標系，得到“點應(yīng)該滿足的條件，再根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法

求解即可：對于②￡>1C1〃OC,ocn平面小8。=。，所以D1C1也與平面418。相交.故

②錯；對于③過工作平面a,使得棱ND,AA\,ACi在平面a的正投影的長度相等，因

為DC〃4B,且。所以在平面a的正投影長度與。1。在平面a的正投影長

度相等，然后分情況討論即可得到平面a的個數(shù)；對于④面0與面小8。平行，則正方體

N8C。-mBiCjOi在面0的正投影為正六邊形，且正六邊形的邊長為正三角形由8。外接

圓的半徑，故其面積為我.

【解答】解：對于①，以。為原點，。/為x軸，。。為y軸，。。為z軸，建立空間直

角坐標系，如圖1所示；

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過M作MG_L平面Z8C。，G是垂足，過G作G”_L8C,交BC于H,連結(jié)"http://,

則。(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(1,0,1)，C(0,1,0),D\(0,

2

0,1),B(1,1,0),

設(shè)M(1,a,b),則(1，a,b-1),CP=(1,-1,-L),

V￡)1A7±CP,

二D1,而=1-。+筋-L=0,解得2a-b=l,

22

：.CH=\-a,MG=b=2a-1,

MH=VGH2+MG2=V(l-a)2+(2a-l)2=45a2-6a+2,

：.S^CM=LXBCXMH=L-J5a2_6@+2=/5(屋)飛吟?后條

當a=3n寸，(S&BCM)加”=返，①正確：

510

對于。1C1〃￡?C,ocn平面4出。=￡),所以。1C1也與平面48。相交.故②錯；

③過工作平面a,使得棱/￡>,AAi，DCi在平面a的正投影的長度相等，因為。

且。。=/8,故在平面a的正投影的長度等于N8在平面a的正投影的長度，使得

棱NO,AA\,OiG在平面a的正投影的長度相等，即使得使得棱4。，AA\,面a的正

投影的長度相等，若棱/。，/小，/8面a的同側(cè)，則a為過/且與平面小8。平行的平面，

若棱4D,AA\,中有一條棱和另外兩條棱分別在平面a的異側(cè)，則這樣的平面a有3

個，故滿足使得棱NO,AA\,DCi在平面a的正投影的長度相等的平面a有4個；③正

確.

④過A作面0與面小8。平行，則正方體ABCD-A\B\C\D\在面0的正投影為一個正六邊

形，其中4。，平面0,而NCj分別垂直于正三角形和C50I，所以根據(jù)對稱性，

正方體的8個頂點中，/G在平面0內(nèi)的投影點重合與正六邊形的中心，其它六個頂點投

影恰是正六邊形的六個頂點，且正六邊形的邊長等于正三角形小8。的外接圓半徑(投

影線與正三角形小8。、C815垂直)，所以正六邊形的邊長為a=Y2+sin60。

23

所以投影的面積為6xYlxa2=6*返X(退?)2=遙.④對.

443

故選：C.

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【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是難題.

2.如圖，在三棱柱中，點P在平面481cl內(nèi)運動，使得二面角P-/8-C

的平面角與二面角P-8C-4的平面角互余，則點尸的軌跡是（）

B.橢圓的一部分

C.拋物線D.雙曲線的一支

【分析】本題對三棱柱Z8C-381。沒做特殊要求，可以用特值法，假設(shè)三棱柱48C-

小以。為直三棱柱，且底面為直角三角形，NABC為直角,計算可得.

【解答】

解：假設(shè)三棱柱/BC-ZIBICI為直三棱柱，且底面為直角三角形，N/8C為直角，三棱

柱高為近

以8為坐標原點，Z8所在直線建立如圖坐標系，PO平行于z軸，交x8），坐標面與點O,

平面PO0D1垂直于x軸，交AB于D點,交AiBi于Di點,平面P0EE1垂直于y軸，交

BC與E點,交BiCi于臼，設(shè)P點坐標為（x,y,h）.

則二面角P-/8-C的平面角為乙POO,二面角P-8C-/的平面角為NPE。，...NPDO+

ZPEO=90°,

：.tanZPDO=cotZPEO,

；POJ_x坊坐標面，：.PO±OD,POLOE,

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...tan/P￡>0=弛，cot/PEO=毀，P^-^,：,PO2=ODXOE,：.ODXOE=h2,

ODPOOD~PO

由尸點與。，E,D\,Ei。的位置關(guān)系可知，x=-OD,y^OE,：.-xy^h2,：.xy^-

F,...尸點軌跡為雙曲線的一支（x<0,y>0的一支）.

【點評】本題考查三角形的外接圓和矩形的外接圓的半徑之和的最大值的求法，考查直

三棱柱、球、圓的性質(zhì)、均值定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是難題.

3.若一個四面體的四個側(cè)面是全等的三角形，則稱這樣的四面體為“完美四面體”，現(xiàn)給出

四個不同的四面體（無=1,2,3,4）,記△4&G的三個內(nèi)角分別為4,Bk,

Ck，其中一定不是“完美四面體”的為（）

A.A\：B\：Ci=3：5：7

B.sinJ2：sirL§2：sinC2=3：5：7

C.cos/3：COS83：COSC3=3：5：7

D.tart44：tan^4：tanC4=z3：5：7

【分析】若sin/h：sinB?：sinC2=3：5：7,由正弦定理得：52c2：42c2：加歷=3：5：7,

設(shè)82c2=3X,42c2=5X,AIB2=1X,由“完美四面體”的四個側(cè)面是全等的三角形，得

至I」O?2=3X,D2B2=5X9D2cl=7X,列方程推導(dǎo)出這樣的四面體不存在，從而282c2

一定不是完美的四面體.

【解答】解：若sinJ2：sin52：sinC2=3：5：7,

由正弦定理得：82c2：42c2：加a=3：5：7,

設(shè)82c2=3X,42c2=5X,AZB2=7X,

“完美四面體”的四個側(cè)面是全等的三角形，

AZ）2^2=3X,D?BZ=5X,D2c2=7X,

把該四面體頂點當成長方體的四個頂點，四條棱當作長方體的四條面對角線，

第19頁共70頁

則長方體面上對角線長為3x,5x,7x,

設(shè)長方體棱長為a,b,c,

a2+b2=9x2

WJ-b2+c2=25x2-

222

ta+c=49x

以上方程組無解，

...這樣的四面體不存在，

四個側(cè)面不全等，故D2A2B2C2一定不是完美的四面體.

故選：B.

【點評】本題考查四面體的性質(zhì)及長方體的性質(zhì)、新定義問題，考查空間幾何體性質(zhì)等

基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是難題.

4.設(shè)P,。為一個正方體表面上的兩點，己知此正方體繞著直線尸。旋轉(zhuǎn)。〈如）角

后能與自身重合，那么符合條件的直線P0的條數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.13

【分析】由正方體自身的對稱性知，若正方體繞著直線旋轉(zhuǎn)e（O＜0＜2n）角后能與

自身重合，

則P0比過正方體中心，由此分三種情況：

即P,Q為正方體一體對角線兩頂點時，

P，。為正方兩相對棱中點時，

P,0為正方體對面中心時，

由此求得符合條件的直線PQ的條數(shù).

【解答】解：若正方體繞著直線PQ旋轉(zhuǎn)。（0＜。＜如）角后能與自身重合，則比過

正方體中心，

否則，正方體繞著直線尸。旋轉(zhuǎn)。（0＜。＜如）角后，中心不能回到原來的位置；

共有三種情況：如圖所不：

當產(chǎn)，。為正方體的體對角線兩頂點時，把正方體繞尸。旋轉(zhuǎn)"，

3

正方體回到原來的位置，此時的直線共有4條；

當P,。為正方體兩相對棱中點時，把正方體繞尸。旋轉(zhuǎn)7T,

正方體回到原來的位置，此時直線共有6條：

第20頁共70頁

當P,。為正方體對面中心時，把正方體繞尸。旋轉(zhuǎn)工,

2

正方體回到原來的位置，此時直線共有3條；

綜上，符合條件的直線P。有4+6+3=13條.

故選：D.

【點評】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，也考查了空間想象和思維能力，是

難題.

5.已知四面體ABCD的三組對棱的長分別相等，依次為3,4,x,則x的取值范圍是（）

A.（V5>V7）B.（A/7,5）C.（V5>3）D.（4.7）

【分析】作出圖形，設(shè)48=3,AC=4,四面體4-/8C可以由△/BC和在同一平面的

△A'BC沿著BC為軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成，利用數(shù)形結(jié)合能求出x的取值范圍.

【解答】解：如下圖所示

第一排三個圖討論最短；第二排三個圖討論最長，

設(shè)A8=3,NC=4,四面體⑷-N8C可以由△NBC和在同一平面的沿著8c為軸

旋轉(zhuǎn)構(gòu)成，

第一排，三個圖討論最短：

第21頁共70頁

當NZBC<90°向90°趨近時，8c逐漸減少，AA'<BC,可以構(gòu)成x=4T=8C的四

面體；

當N/8C與90°時構(gòu)成的四面體Z4>8C,不滿足題意；

所以滿足題意的四面體第三對棱長〉值彳=、歷，

第二排，三個圖討論最長：

當NB4C<90°向90°趨近時，8c逐漸增大，AA'>BC,可以構(gòu)成x=44'=BC的四

面體：

當//8CN90°時構(gòu)成的四面體44，<8C,不滿足題意；

所以滿足題意的四面體第三對棱長<后帝=5；

綜上，x&（曲，5）.

故選:B.

【點評】本題考查了四面體中邊長的取值范圍問題，也考查了推理論證能力，是難題.

二.填空題（共3小題）

6.如右圖，在棱長為1的正方體/8CD-小81C01中，作以“為頂點，分別以AD,

力小為軸，底面圓半徑為，?（OVrWl）的圓錐.當半徑，變化時，正方體挖去三個工圓錐

_4

部分后，余下的幾何體的表面積的最小值是3+3（6-1）1T.

【分析】由題意知余下的幾何體表面積由原正方體的表面剩余部分和3個上圓錐的側(cè)面

4

積組成，

寫出表面積函數(shù)S,再求S的最大值即可.

【解答】解：由題意知，余下的幾何體表面積由原正方體的表面剩余部分和3個工圓錐

4

的側(cè)面積組成，

其表面積為S=]+=2+3（1-r）+3（1-—n/-2）

=6+—TT（r.l,2-r2-,其中0<rWl；

4Y1+「K

第22頁共70頁

設(shè)/(x)=x百1*-祟，(0<xWl)；

2

求導(dǎo)并整理得，f(x)=..卒.也--理-(O<X<1)；

后兀

當0<xW1時,1<4耳《加，

2

f(x)=2^+^._2x-J_<2r2+1-2x-_1_<2^+1-2x-1=2x(x-1)WO,

VAT兀兀

?V(x)在(0,1］上是單調(diào)減函數(shù)，

則余下幾何體的表面積S在(0,1］上也是單調(diào)減函數(shù)，

.?.當r=l時，S取得最小值為際加=6+空?(/12-12__￡)=3+3(退二3.

4*1+1JT4

故答案為：3+3(&T)7T.

4

【點評】本題考查了簡單的組合體表面積計算問題，是綜合題.

7.正四面體/8CO的棱長為2,則所有與4B,C,。距離相等的平面截這個四面體所得

截面的面積之和為A/Q+3.

【分析】根據(jù)題意知到正四面體力58四個頂點距離相等的截面分為兩類：

一類是由同一頂點出發(fā)的三條棱的中點構(gòu)成的三角形截面，這樣的截面有4個；

另一類是與一組相對的棱平行，且經(jīng)過其它棱的中點的四邊形截面，這樣的截面有3個;

作出示意圖，求出所有滿足條件的截面面積之和即可.

【解答】解：設(shè)E、F、G分別為48、AC、4D的中點，連結(jié)￡尸、FG、GE,

則△EEG是三棱錐A-BCD的中截面，

可得平面EEG〃平面BCD,點A到平面EFG的距離等于平面EFG與平面BCD之間的

距離，

：.A.B、C、。到平面EFG的距離相等，即平面EFG是到四面體力BCD四個頂點距離

相等的一個平面；

正四面體/8CA中，象AMG這樣的三角形截面共有4個.

?.?正四面體/8C。的棱長為2,可得EF=FG=GE=1,

...△E/G是邊長為1的正三角形，可得5"FG=L?尸?尸G?sin60°=返；

24

取8、BC的中點從1,連結(jié)G”、HI、IE,

,:EI、GH分別是△N8C、△NDC的中位線，

第23頁共70頁

.?.EALLC,GH幺LC,得EI4GH,

22

...四邊形EGHI為平行四邊形；

又且/CJ_B力，ElJLLiC,H1JU-BD,

22

:.EI=HI且EILHI,

四邊形EG，/為正方形，其邊長為L8=l,

2

由此可得正方形EGHI的面積SEGHI=1；

的中點/在平面EG4/內(nèi)，；.8、C兩點到平面EG4/的距離相等；

同理可得。、C兩點到平面EG4/的距離相等，且/、8兩點到平面EG”/的距離相等；

."、B、C、。到平面EG"/的距離相等，

平面EGH/是到四面體Z8C。四個頂點距離相等的一個平面，

且正四面體ABCD中，象四邊形EGHI這樣的正方形截面共有3個，

因此，所有滿足條件的正四面體的截面面積之和等于4sAEFG+3SEG印=4X1+3X1=

4

V3+3.

故答案為：5/各3.

【點評】本題考查了正四面體的性質(zhì)、點到平面距離的定義、三角形面積與四邊形形面

積的求法等知識，是難題.

8.如圖，正方體181cbe>i的棱長為遙，動點P在對角線8。上，過點P作垂直

于89的平面a,記平面a截正方體得到的截面多邊形(含三角形)的周長為y=/(x),

BP—x,x&(0,3)>關(guān)于函數(shù)y=/(x)：

(I)下列說法中，正確的是②③

①當xe(1,2)時，截面多邊形為正六邊形；

②函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x金對稱；

2

③任取XI，X2e[l,2]時,/(XI)=/(X2).

第24頁共70頁

（II）函數(shù)y=/（x）單調(diào)區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間（2,3）

【分析】（/）①截面為△/BiC,其余截面多邊形為正六邊形，故①不正確；

2

②根據(jù)正方體的對稱性，可得函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于X年對稱，正確；

③任取XI，X2H1,2］時，根據(jù)面面平行，可得三角形相似，即可得出當a在平面/8C，

面小DCi之間運動時，y不變，正確；

（//）由截面圖形，可得單調(diào)遞增區(qū)間（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間（2,3）.

【解答】解：（/）①工=旦時，截面為△/8C,其余截面多邊形為正六邊形，故①不正

2

確；

②根據(jù)正方體的對稱性，可得函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于xPl■稱，正確；

③任取用，X2C［1,2］時，根據(jù)面面平行，可得三角形相似，即可得出當a在平面/81C,

面小DG之間運動時，y不變，正確；

（//）由截面圖形，可得單調(diào)遞增區(qū)間（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間（2,3）.

故答案為②③；對單遞增區(qū)間（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間（2,3）.

【點評】本題考查了空間幾何體的應(yīng)用問題，也考查了作圖和讀圖的能力，解題時應(yīng)根

據(jù)幾何體的特征和條件進行分析變化情況，是難題.

三.解答題（共42小題）

9.將半徑為灰石的圓形鐵皮剪去一個圓心角為a的扇形，用剩下的扇形鐵皮制成一個圓錐

形的容器，該圓錐的高記為〃，體積為匕

（1）求體積夕有關(guān)〃的函數(shù)解析式.

（2）求當扇形的圓心角a多大時，容器的體積/最大.

第25頁共70頁

【分析】（1）推導(dǎo)出圓錐底面圓的半徑廠=血可*=而不，從而修"）=

-^-XHXr2Xh=±XnX（27-h2）Xh=-￡■兀h?+9i也由此能求出體積憶有關(guān)

OOO

h的函數(shù)解析式.

(2)由V(h)=4兀1?+9冗h,(h>0)>得片（〃）=9皿-71層，令片（A）>0,0

0

</;<3.令片（〃）<0,h>3.當人=3,卜（/i）］,曲=/（3）,由此能求出結(jié)果.

【解答】解：（1）將半徑為班的圓形鐵皮剪去一個圓心角為a的扇形,

用剩下的扇形鐵皮制成一個圓錐形的容器，該圓錐的高記為/?,體積為匕

設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則F=JR2_卜2={27-卜2'

v⑺=A-X7tXr2xh=yX兀X(27-*)Xh=-yTT3+9皿.

...體積〉有關(guān)人的函數(shù)解析式為v(h)二一Lith'+g兀h,…(4分)

3

3

(2),?,v(h)=_XKh+9nh,(h>0)>V(h)=9n-也2,…(6分)

3

令片(A)>0,0<h<3.令片(A)<0,h>3.

...當xe(0,3),V(h)遞增，當x6(3,+8),V(h)遞減.

當人=3,卜（力）］mar=/（3）…（8分）

.、?，+后=△2,/.r=3^2-

,:R（2n-a）=如尸，.J.、J6兀...（io分）

_3

...當a/31兀時，該圓錐的體積最大.…（12分）

3

【點評】本題考查圓錐的體積有關(guān)高的函數(shù)解析式，考查幾何體的體積的最大值的求法,

考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

10.如圖所示，在四邊形/8CZ）中，ZDAB=90°,ZADC=\35°,AB=5,C￡>=2&,

AD=2,求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.

第26頁共70頁

【分析】四邊形Z6C。繞4。旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是一個圓臺挖去一個圓錐所得的組

合體，S表面=s圓臺底面+S圓臺儲面+S圓錐側(cè)面，v=-圓臺-P圓錐，進而得到答案.

【解答】（12分）

解：四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是一個圓臺挖去一個圓錐所得的組合體,

S表面=S國臺底面+S網(wǎng)合惻而+SfaffiMiH

=TtX52+TtX（2+5）X5+TTX2X2加

=（4，^60）IT.

四臺-v圖雕=

—IT（丁2+八9+丫2）h--nr2/?'

3rlr2