梅涅勞斯定理與塞瓦定理

梅涅勞斯定理與塞瓦定理梅涅勞斯定理和塞瓦定理是初中數(shù)學(xué)中的重要定理。梅涅勞斯定理指出，如果一條直線與三角形的某條邊或其延長線相交于點F、D、E，那么AF/BD/CE的乘積等于1。這條直線被稱為三角形的梅氏線，三角形被稱為梅氏三角形。梅涅勞斯定理有三種證明方法。其逆定理是指如果三個點F、D、E分別是三角形的三條邊或其延長線上的點，且AF/BD/CE的乘積等于1，則這三個點共線。例1中，如果在△ABC中，AD是BC的中線，過點C任意作一條直線交AB于點F，交AD于點E，則AE:ED=2AF:FB。例2中，如果在△ABC中，∠ACB=90度，AC=BC，AM是BC邊上的中線，CD垂直于AM于點D，CD的延長線交AB于點E，則AE/EB=4。這些定理在初中數(shù)學(xué)中是基礎(chǔ)知識，需要夯實基礎(chǔ)?！玖?xí)題4】已知△ABC中，三個三角形的面積分別為5、8、10，四邊形AEFD的面積為x，求x的值。解析：根據(jù)梅涅勞斯定理，對于任意三角形ABC和一點P，有以下等式成立：$\frac{AP}{PD}\cdot\frac{BD}{BE}\cdot\frac{CE}{CF}=1$將四邊形AEFD拆分為兩個三角形，分別為△ABE和△DCF。將梅涅勞斯定理應(yīng)用于△ABC和點P，可以得到以下等式：$\frac{AP}{PD}\cdot\frac{BD}{BE}\cdot\frac{CE}{CF}=\frac{[ABE]}{[ABD]}\cdot\frac{[CBD]}{[CBE]}\cdot\frac{[ACD]}{[ACF]}$代入已知面積，得到：$\frac{AP}{PD}\cdot\frac{BD}{BE}\cdot\frac{CE}{CF}=\frac{5}{x+5}\cdot\frac{10}{8}\cdot\frac{8}{x+8}$化簡得到：$\frac{AP}{PD}=\frac{x+15}{2x+26}$由△ABD和點P應(yīng)用梅涅勞斯定理，得到：$\frac{AP}{PD}\cdot\frac{BD}{BE}\cdot\frac{CE}{CF}=\frac{[ABD]}{[ABE]}\cdot\frac{[EBF]}{[EBD]}\cdot\frac{[DCF]}{[DCF]}$代入已知面積，得到：$\frac{AP}{PD}\cdot\frac{BD}{BE}\cdot\frac{CE}{CF}=\frac{5}{x+5}\cdot\frac{x}{x+8}\cdot\frac{8}{10}$化簡得到：$\frac{AP}{PD}=\frac{22}{2x+26}$將兩個等式聯(lián)立，解出x的值為22?！緜溥x】已知△ABC被通過它的三個頂點與一個內(nèi)點O的三條直線分為6個小三角形，其中三個小三角形的面積如圖所示，求△ABC的面積。解析：設(shè)三個小三角形的面積分別為S1、S2、S3，△ABC的面積為S。由題意，可以得到以下等式：$S=3S1+3S2+3S3$將圖中的三個小三角形分別拆分為兩個三角形，得到：$S1=[AOD]+[BOE]$$S2=[BOE]+[COF]$$S3=[COF]+[AOD]$將上式代入原等式，得到：$S=3([AOD]+[BOE]+[COF])$將三角形拼成一個大三角形，得到：$S=[AOB]+[BOC]+[COA]$由三角形面積公式，可以得到：$S=\frac{1}{2}\cdotOA\cdotOB\cdot\sin\angleAOB+\frac{1}{2}\cdotOB\cdotOC\cdot\sin\angleBOC+\frac{1}{2}\cdotOC\cdotOA\cdot\sin\angleCOA$代入已知數(shù)據(jù)，得到：$S=\frac{1}{2}\cdot35\cdot30\cdot\sin40^\circ+\frac{1}{2}\cdot30\cdot40\cdot\sin35^\circ+\frac{1}{2}\cdot40\cdot35\cdot\sin30^\circ$計算得到S≈603.85?！纠?】已知△ABC中，$\angleA$的外角平分線與邊BC的延長線交于點P，$\angleB$的平分線與邊CA交于點Q，$\angleC$的平分線與邊AB交于點R，求證：P、Q、R三點共線。解析：由外角平分線定理，可以得到：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$由角平分線定理，可以得到：$\frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}$將兩式相等，得到：$\frac{BD}{DC}=\frac{BP}{PC}$同理，可以得到：$\frac{CE}{EA}=\frac{CQ}{QA}$$\frac{AF}{FB}=\frac{AR}{RB}$將三式相乘，得到：$(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB})\cdot(\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB})=1$根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理，P、Q、R三點共線。通常稱點P為三角形ABC的塞瓦點，如圖所示，那么要證明FPCE和EPBD是三角形ABD和ACD的梅涅勞斯線，即證明$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$。將三角形ABC的各邊延長，得到如圖所示六邊形BDCEAF，根據(jù)六邊形塞瓦定理可得$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$，即證畢。根據(jù)塞瓦定理的逆定理，如果點D、E、F分別在三角形ABC的邊BC、CA、AB上或其延長線上，并且$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$，那么AD、BE、CF相交于一點（或平行）。證明如下：⑴若AD與BE相交于一點P時，如圖所示，作直線CP交AB于點F'。則$\frac{AF'}{F'B}=\frac{AF}{FB}\cdot\frac{AB}{F'C}$，又由于$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$，所以$\frac{AF'}{F'B}=1$，即F'與F重合，進(jìn)而CF'與CF重合，即AD、BE、CF相交于一點。⑵若AD與BE所在直線不相交，則AD∥BE，如圖所示。則$\frac{AC}{CE}\cdot\frac{EB}{BD}\cdot\frac{DF}{FA}=1$，又由于$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$，所以$\frac{EB}{BD}=\frac{AF}{FC}$，$\frac{AC}{CE}=\frac{FB}{AB}$，代入得$\frac{DF}{FA}=\frac{AB}{FC}$，即AD∥BE∥CF，說明三線平行的情況在實際題目中很少見。例6：（1）設(shè)AX，BY，CZ是三角形ABC的三條中線，要證明AX，BY，CZ三線共點。由條件知，BX=XC，YC=YA，ZA=ZB。則$\frac{BX}{AB}\cdot\frac{CY}{BC}\cdot\frac{AZ}{CA}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{64}$，根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三條中線AX，BY，CZ共點，這個點稱為這個三角形的重心。（2）若AX，BY，CZ為△ABC的三條內(nèi)角平分線，要證明AX，BY，CZ三線共點。由三角形內(nèi)角平分線定理得$\frac{BX}{XC}=\frac{AB}{AC}$，$\frac{CY}{YA}=\frac{BC}{BA}$，$\frac{AZ}{ZB}=\frac{CA}{CB}$，三式相乘得$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{BC}{BA}\cdot\frac{CA}{CB}=1$，根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三角形三內(nèi)角平分線AX，BY，CZ共點，這個點稱為這個三角形的內(nèi)心。習(xí)題6：若AX，BY，CZ分別為銳角三角形ABC的三條高線，要證明AX，BY，CZ三線共點。由相似三角形可得$\frac{BX}{AB}=\frac{BZ}{AC}$，$\f