九年級(jí)數(shù)學(xué)-三角函數(shù)與圓的綜合

第27講三角函數(shù)與圓的綜合知識(shí)導(dǎo)航1.明確同弧所對(duì)的弦、圓周角和圓的半經(jīng)三者的關(guān)系：AB=2RSinC如圖所示兩種常用輔助線.圖1 圖22．三角函數(shù)值形式上是兩條線段的比值，往往可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相似三角形的相似比．【板塊一】求與圓有關(guān)的角的三角函數(shù)值方法技巧1．將所求角轉(zhuǎn)化到直角三角形中；2．利用相似比進(jìn)行轉(zhuǎn)化。題型一遇斜三角形作垂線構(gòu)直角【例1】如圖，AB是。O的直徑，∠ABT=45°,AT=AB，連接OT交。O于點(diǎn)C,連接AC,求tan∠TAC的值.【解析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥TA于點(diǎn)D，設(shè)。O的半徑為r，則AT=AB=2r,ΛOT=r,TC=(√5-1)r,VCD//OA,???△TCDs^TOA,???CD=T^=TD,ΛCD=5-^5r,ΛDA=2^5r,Λtan∠TAC=CD=?5≡1.OATOTA 5 5 DA2【例2】如圖，已知PA,PB分別與。O相切于點(diǎn)A,B,AC是。O的直徑，連接BC,PC,若PB=6,PC=10,求$出/PCB的值.C【解析】連OP,AB，則OP⊥AB,BC⊥AB,：.OP//BC,Λ∠PCB=∠OPC,過(guò)點(diǎn)O作OM⊥PC于點(diǎn)M,Λsin∠PCA=PA=—=3=OM,???OM=—，又OP=√62+42=2113,Λsin∠PCB=sin∠OPM=6≤3.PC10 5 4 5 65【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)所求銳角不在直角三角形中時(shí),常作參線構(gòu)造直角或利用等角特接求其三角函數(shù)值．題型二遇切線,連圓心切點(diǎn)構(gòu)直角【例3】如圖，BE,BC,CG分別與。O相切于E,F,G三點(diǎn)，且BE/CG,延長(zhǎng)BO交CG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連求sin∠CFG的值.【解析】易證OC⊥BD,OC⊥FG,，F(xiàn)G/BD,Λ∠CFG=∠CBD，連接OF,則OF⊥BC,可證△CFG^^CBD,:.CF=FG=4,設(shè)CF=4%,BC=5%,ΛBF=%,易證OF2=BF?FC=4%2,ΛOF=2%,ΛOB=√5%,CBBD5OF2% 2√5..sm∠CFG=sm∠OBF=OB= =—5—.【點(diǎn)評(píng)】注意等角轉(zhuǎn)換與等比轉(zhuǎn)換．題型三遇直徑,利用直徑構(gòu)直角【例4】如圖，在△ABC中，∠C=90°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的。O交AB于點(diǎn)E，若A=1,求CoSEB2NBED的值.【解析】連接CE.由Ae=1,可設(shè)AE=%,EB=2%，易證上進(jìn)△ACE^ΔCBE，得CE2=AE?BE=2%2,.,.EB2CE=√2%,.BC=BBE2+CE2=√6%,由NBEC=90°,D是BC的中點(diǎn)可得DE=BD,.NBED=NB,.cosNBED=cos∠B=BE2%_√6V6% 3題型四遇弧的中點(diǎn)，利用垂徑構(gòu)直角【例5】如圖，CD是^ABC的外角NECA的平分線，CD與過(guò)A,B,C三點(diǎn)的。O相交于點(diǎn)D.⑴求證：BD=AD;⑵若AB=CD,AB=10,，求SinNACB的值。AC5【解析】（1）連接DA,DB，證NDAB=NECD=NDCA=NDBA,.BD=AD,.BD=AD.⑵連接DO并延長(zhǎng)^B于點(diǎn)尸，連接OB，易證DFC⊥AB,*.*AB=CD,.AC=BD,.AC=BD,.=——,BD5設(shè)BF=√10,BD=√10,.DF=3√10,設(shè)OB=OD=R在Rt△OBF中，（、、/10）2+（3√10—R）2=R2,.R=5≤0,3貝UAF=FB,.BF_√10

?? ,BD10則OF=3，./10—R,,,,.sinNACB=sinNBDA=sinNBOF= =.OB5D.如圖，。O為八ABC的外接圓，AB=BC,若AC=2,BC=√10，求cos∠CBO的值.解：延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)H,VAB=CB,.?.BH垂直平分CA,即NCHB=90°,CH=1AC=1,在Rt△BCH中，BC='10,??.BH=?B2—CH2=3,BH3 3√10.*.cosNCBO=cosNCBH= -―- .BCJ10 10.如圖，AB是。O的直徑，NB=NCAD.(1)求證：AC是的切線；(2)若點(diǎn)E是的BD中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)/，當(dāng)BD=5,CD=4時(shí)，求tanNFAD的值.解：(1)略；(2)易證△BDAs^ADC,.??AD2=BD?CD=4×5=20,.?AD=2√5,.?AC=SAD2+CD2=6,VNBAE=NDAE.ΛNBAE+NB=NDAE+NCAD.即NAFC=NFAC,FD2 √5，AC=FC=6,FD=FC—CD=2,ΛtanNFAD=——=-R-——.AD2√5 5.如圖，。O經(jīng)過(guò)□ABCD的頂點(diǎn)A,D,C,邊AB與。O相切于點(diǎn)A,邊BC與。O相交于點(diǎn)E,(1)求證：AB=AE；(2)若AB=2,AD=√17，求SinNBAE的值.解：(1)略；(2)連接AO并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)H,交。O于點(diǎn)F,連接EF,VAB是。O的切線，,NBAF=90°,VAB〃CD,.'NAHD=90°,DH=2CD=1,AH=JAD2—HD2=4,連接OD,設(shè)OA=OD=r,ΛOH=4—r,Λr=(4—r)2+1,r= ,'?AF=2r= ,'?sinNBAE=sinNF====.8 4 AF17 17W.如圖，在△ABC中，NBAE=90°，以AB為直徑的。O交AC于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn)，連接DE交OC于OF25點(diǎn)F,若汴==,求tanNCFE的值.CF32解：連接OE,OD,BD,易證BD⊥AC,OD⊥DE,OE〃AC,OEOF25：.△OEFs△CDF,：.——=——=——，DCCF32設(shè)OE=25,CD=32,則AC=2OE=50,ΛAD=18,又4ABDs△ACB,???AB2=AD?AC=18×50,.?.AB=30,OD=AO=15,Rt△ABC中BC=√502-302=40,；.ED=EB=20,32640???DF=57×20=歹，.?.tan∠CFE=tan∠OFD=DF=CF=32EFOF25，OD15 171DF=32D57,DF640 12857.過(guò)。O外一點(diǎn)P作PB,PC切。O于B,C兩點(diǎn)，直徑BA的延長(zhǎng)線交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,且DA=AB，連接PA交。O于點(diǎn)E,(1)求tan∠ACD的值；(2)求tan∠PAC的值.解：(1)連接BC,設(shè)的半徑為r，證NDCA=NABC,得△DCA^^DBC,ΛCD2=DA?DB=8r2,，CDK ACAD 2r √2=2√2r,tanNACD=tanNABC===—=——；BCCD2、2r 2(2)連接BE,OP,由tan∠ABC=-；=,

√2OP交BC于點(diǎn)H,BC交AP于點(diǎn)G,易證AC〃OP,

可設(shè)AC=2,BC=2J2，則CH=BH=2BC=J2,由tan∠BPO=tan∠ABC=BH1 =—,...PH=2,PH2由^ACGs?PHG,,CGAC得= GHPH=「.CG=GH=W，

2CG.?.tan∠PAC=——=AC亙

2

F=正

一丁【版塊二】已知三角函數(shù)值求其他值方法技巧利用已知三角函數(shù)值得線段比值，設(shè)參數(shù)，求其他值.題型一已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求另一個(gè)教的三角函數(shù)值例1.如圖，已知AB是。O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)F,且NBAC=30°,cosNBAD=3，求sin4NAFD的值.CH解析：過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于M，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CF于H,VcosNBCH=cosNBAD=--BC設(shè)CM=3a,CF=4a,，F(xiàn)M=√'7a，又VNABC=60°,，BM=?-21a,BF=2^21a,CM=C'√21由面積法：BC?FM=FC?BH,?.( a+3a)?√7a=4a?BH,，BH=(9√7+7√3) 77； a,12. BH 3v3+λi/7.?sin∠AFD=sin∠BFH=-BF= 8 .點(diǎn)評(píng)：求垂線段常用面積法，要充分利用已知角去求未知角的三角函數(shù)值.題型二已知三角函數(shù)值，求線段長(zhǎng)例2.如圖，△ABC內(nèi)接于。O,AB=AC,BC=6,CO的延長(zhǎng)線交AB于D,sin∠BAC=3,求AC和CD的長(zhǎng).，解：延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CD交。O于點(diǎn)F,則CE=1BC=3,又?.?sin∠COE=sin∠BAC=3,?CE=3,?CO=5,OE=4,5CO5?AC=?AE2+CE2=3√10，又?.?BF〃AE，所以O(shè)D=AO=-,?OD=25,?CD=90.DFBF8 13 13題型三已知三角函數(shù)值，求線段比例3.如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作。O,ΘO與BC邊的交點(diǎn)D恰好為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接OC交DE于點(diǎn)F,若sin∠ABC=3，求OF的值.4FC解析：連接AD,OD,VOD//AC,?竺=竺,VAB是。O的直徑，?∠ADB=NADC=90°,?sin∠FCECABC==—,設(shè)AD=3x,AB=4x,易證：AC=AB=4x,.*.OD=2x.AB4VDE⊥AC,.△ADCMAED,?AD2=AE?AC,?AE=X-x,EC=-X

44OFOD_2X_8FC=EC=7x=7T題型四已知三角函數(shù)，求三角形面積或周長(zhǎng)例4.如圖，AC是。O的直徑，B,E是。O上兩點(diǎn)，AE與BC交于點(diǎn)F,且△BEF的面積為10,cosNBFA=2人3，求Acf的面積.解析：連接AB，則NABC=90°,BF2?cosNBFA=AF=3，易證△BEF^^ACF,S BF??-△BEF=( )2=S AF△ACF42=9,2（3）9 45?S△ACF=4×10=H.1.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。O與邊BC,AC,分別交于D,E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC- - 2.于點(diǎn)F,若AE=4,cosA=g,求DF的長(zhǎng).解：連接OD,作OG⊥AC于點(diǎn)G,則易證D是BC的中點(diǎn)，四邊形OGFD是矩形，.DF=OG.在Rt△AOG1 AG2 ,?"T" "T- TZ- .-rτ-中，AG=-AE=2,cosA=—=5,.AO=5,.OG=7OA2—AG2=√52-22=√21,.DF=OG=..如圖，△ABC內(nèi)接于。O,∠BAC的平分線AD交。O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF〃BC,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,3若AB為。O的直徑，tan∠F=:，求sin∠CAD的值.43解：連接BD,OD，易證：OD⊥DF,VtanNF=-；■，設(shè)OD=3m(m>0),則DF=4m,OF=5m,4.AF=8m,VNFAD=NFDB,NE=NF,.△AFD^^DFB,.DA=AF=8m=2,BDDF4m設(shè)DA=2n(n>0),則BD=n,???AB=√5n.*.*bd=cd,「?NBAD=NCAD,ΛSinNCAD=sinNBAD= =-`=-=：AB√5n5.如圖，。O為^ABC的外接圓，點(diǎn)I為^ABC的內(nèi)心，AI的延長(zhǎng)線交。O于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,。O的半徑為5,當(dāng)sin∠BAC=|，且OI⊥AD時(shí)，求△ABC的周長(zhǎng).解：連接BD,CD.BC=2RSinNBAC=2×5×4=8.因OI⊥AD,易證：AI=ID=BD=CD=1AD,易證△DBEs^DAB,.?.AB=AD=2,.?AB=2BE.同理，AC=2CE.ΛAB+AC=2

BEBD的周長(zhǎng)為：3BC=3×8=24..如圖，點(diǎn)C在以AB為直