線性時延反饋變換系統(tǒng)的穩(wěn)定性

線性時延反饋變換系統(tǒng)的穩(wěn)定性摘要一我們在線性反饋變換系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究中發(fā)現(xiàn)，延遲同時存在于反饋狀態(tài)與變換控制器的信號變換中。對于隨著平均滯留時間進行信號切換的切換系統(tǒng)而言我們給定了一個條件,用以確保其閉環(huán)系統(tǒng)在延遲時間的上界和平均滯留時間的下界，是漸近穩(wěn)定的。該條件也即是說，在通常情況下，線性反饋變換系統(tǒng)對于微弱的狀態(tài)延遲和切換延遲的反應(yīng)是比較遲鈍的。我們的方法是，將多重李雅普諾夫函數(shù)法與綜合信號切換技術(shù)兩者進行結(jié)合給出失配切換信號的平均滯留時間與失配次數(shù)之間的關(guān)系。并給出了一種基于線性矩陣不等式的求數(shù)值解的方法。關(guān)鍵詞一一線性反饋，線性矩陣不等式（LMI），穩(wěn)定性，線性變換系統(tǒng)，切換延遲，時間延遲I介紹這項工作的重點是研究反饋變換系統(tǒng)在狀態(tài)延遲和切換延遲中穩(wěn)定性的存在條件。我們根據(jù)一個反饋變換系統(tǒng)，建立一個切換設(shè)備，用來連接一個具有反饋變換控制器的閉環(huán)系統(tǒng)。在理想情況下，該控制器能實時的存取該設(shè)備的狀態(tài)及其變換信號。在這種情況下，該控制器的轉(zhuǎn)換和該設(shè)備轉(zhuǎn)換換是同步的，并且該閉環(huán)系統(tǒng)能夠用一個單一的變換系統(tǒng)來代替，從而能夠用多種方法實現(xiàn)其穩(wěn)定性的分析（例如，文獻［2］,［4］）。然而，當該控制器轉(zhuǎn)換相對于該設(shè)備具有一定的延遲時（例如，控制器與設(shè)備由一條公共信道隔離相連時），那么對該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析將由異步變換信號（來自該控制器和該設(shè)備的信號）和延遲狀態(tài)兩者來確定。目前關(guān)于延遲變換系統(tǒng)的文獻［5］-［8］都是只假定狀態(tài)延遲，而不包括切換延遲。文獻［9］只考慮反饋變換系統(tǒng)穩(wěn)定性的切換延遲，而不包括狀態(tài)延遲，其結(jié)果局限在切換滯留時間上。在我們的研究中，同時考慮到狀態(tài)延遲和切換延遲，以及更為廣泛的一類切換信號的平均滯留時間（這類信號可以有任意小的切換時間，并為那些平均切換時間較長的信號提供時間補償）。相對于僅含狀態(tài)延遲或者是僅含切換延遲的情況來說，同時處理狀態(tài)延遲和切換延遲相當困難，因為狀態(tài)延遲信號和切換延遲信號是建立在完全不同的兩套模型上的（其狀態(tài)空間和指標體系相互獨立）。這項研究的成果在于，我們?yōu)檫@些延遲（包括狀態(tài)延遲和切換延遲）規(guī)定了一個明確的條件，用以確保線性反饋變換系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性。比起僅含狀態(tài)延遲或是僅含切換延遲的情況來說，我們的成果更趨保守，然而又因為同時考慮到這兩種情況而顯得更有新意。更進一步來講，對具有延遲的線性反饋切換系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性的認識仍不完整，在某些附加條件下的動力學系統(tǒng)，尚未建模的情況仍然存在。我們的方法采用了一種綜合信號切換技術(shù)和多重李雅普諾夫相似函數(shù)法，這種方法建立在“延遲處理技術(shù)［10］”，“弱增益技術(shù)［10］，［11］”和“關(guān)于切換系統(tǒng)平均切換滯留時間的多重李雅普諾夫函數(shù)技術(shù)［3］”。文章接下來在第II節(jié)中闡述公式，然后在第III節(jié)給出主要結(jié)果。第IV節(jié)介紹一種基于線性矩陣不等式（LMI）的求數(shù)值解的方法。第V節(jié)對全文總結(jié)并對下一步研究做出討論。II分析公式考察如下的線性變換系統(tǒng)=H)'-己二版ri (1)這里的XERn是狀態(tài)變量，UERm是輸入變量，。：[0,8)—P是切換信號映射時間指數(shù)ApERnXn,BpERnXmjPEp是狀態(tài)輸入矩陣。切換信號。是P內(nèi)的分段右連續(xù)函數(shù)。O的間斷點數(shù)稱為切換次數(shù)。我們假定在一次切換時間內(nèi)信號狀態(tài)不發(fā)生跳變，并且在任意的有限區(qū)間內(nèi)只發(fā)生有限多次信號切換。假設(shè)1:對任意pEP,矩陣(Ap,Bp)不變，設(shè)有矩陣Kp，pEP，使得Ap+BpKp是胡爾維茨酉陣。則理想反饋狀態(tài)切換控制器為:=K.ft(2)且相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)為：M.?'=V-j=—口「在輸入延遲的情況下，控制信號可以由下面的式子表示：u(t)=K(t-C)x(t-^)其中，T為輸入延遲。在上述所有的例子中，控制信號都可以表示成如下的形式：du(t)=K(t-T)x(t-C)其中C和，是非負且不變的。(3)式在輸入延遲、輸出延遲和變化過程延遲都存在的情sx況下表達式為：u(t)=K(t-T-T)x(t-T-T)bsd sd考慮閉環(huán)系統(tǒng)包括(1)和(3)，其中每個初始數(shù)據(jù)x°:[-T,0]TRn，分段連續(xù)輸入u：[0,3)TRm和變化信號b：[-T,8)Tp，由Caratheodory定理可得x的軌跡始終存在且是唯一的(在已經(jīng)線性化的系統(tǒng)中)對于T=T=0，則可以說閉環(huán)變化系統(tǒng)是穩(wěn)定的普通時變系統(tǒng)。但是主要的問題在xs于如果T和'不為零且在變化的系統(tǒng)中如何確保閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Ill主要結(jié)果在介紹主要定理前，我們先對一些符號和變量進行定義：令a_=A+BKP，q ppq1）系數(shù)入和入及增益Y:由于A是由霍爾維茨函數(shù)得出的，因此肯定存在正定的二s a p,p次函數(shù)v 其中Rn—[0,3）,pep，使得下式成立：p,pv——p,p（Ax+u）<-^XtVx+Yp|2 VueRn（4）對于｛入日｝>0，其中.表示向量二范數(shù)（定理的證明參見附錄）。由于P是有限的，則s可得出存在入和Y。同理存在正定二次函數(shù)v其中，Rn—[0,3）,p,qep,p。q時：V—^-p,p（Ax+u）<—*XtVx+Yp|2 VueRn （5）對于y>0,入eR（見附錄定理A.1）。同理，由p是有限的可得出在（4）和（5）中y存在。2）以]，以2,R是保持不變的：由于V是二次方程，所以存在氣以2>0，心1，是下面式子成立：a|x|2<V^a|x|2 Vp,qeP （6a）V（X）<rv.（x） Vp,q,i,jep（6b）可以令R=a2/a1，但是在一些特定的V 中，R可能會比較小。在本文第五部分提出了matlab的LIM工具箱模擬了R。3）c,c是恒定不變的：定義c=max 』BKII和C=maxA||，其中||』1B B （p,q）eP2llp qll A pep p11 ""表示推導(dǎo)出的矩陣范數(shù)。其中c=c+c1AB命題1：將變化系統(tǒng)（1）和控制器（2）一起考慮。假定命題1成立并且beS/aN0]，對于正定不變的’a,N0令：T TT-=~2 ， N0=2N +^s如果如果(8)(Tw)2g丫+蛀上"上)(8)x1B0TsTsuaa式中g(shù)=3°exp((人+入)NT)/a1。若對于所有初始狀態(tài)x:[J ,TRn和初始變換信號b：[t-T,t]Tp我們可以得出：0 0x0 0 0s0021Xd0優(yōu)(s)1，對于某個不變的入'2 Vt>t+T (9)>0和函數(shù)g:[0,021Xd0優(yōu)(s)1，對于某個不變的入'2 Vt>t+T (9)>0和函數(shù)g:[0,8)t[0,8)，1其中卜d(t)|=sup[t2Tt]這樣g(T)T0就相當于gT0。1X X證明命題1的一個重要方法是將變化信號合并，比如。和b，主要思想是令一個新的變換信號b'：[0,8)—pXp正如下面式子說表述的:b'b'(t)=(b(t),b(t))(10)表示合并的符號是十，則b'可以表示為b'=b?b。由上述定義可知，變化時間的c集合b'=b^b是變化時間集合b和集合b的合并。TOC\o"1-5"\h\z引理1：令b1GSaTNa，]b疽5」氣N]且b?beS[T,N+N]，其中T=(1/T+1/T)-1。證明，如果1 2avea1 2 a a1 a2b=b+b2那么N(t,t)<N(t,t)+N(t,t)<N+傳史+N+口

b0 b1 0 b2 0 1T 2T對于t>t則有b十bGS [T,N+N]0 1 2avea1 2若，是隨時間變化的，有上述可知，可以假設(shè)延遲變化信號b(t-T(t))是確定的，也就是說，b(t-T(t))的順序變化次數(shù)是和b相應(yīng)順序的變化次數(shù)是相同的。引理2:令beS[T,N]和b(t)=b(t-T(t))若函數(shù)滿足1avea0 2 1 sT :[0,8)T[0,T-]且b eS [T ,N +t-/T ]。證明：在任意時間間隔(',t]，令s s 2avea0sa 0

b2 0,k=1,....,N(t,t)是在(,t］間b的變化倍數(shù)；令t,k=i,....,N(t,t)b2 0(r)<TVr,得出Tk=Tk'+T(k')(r)<TVr,得出T' <T <t和T'>T-t_>t-t_。由此可得出N2(tt0) N2(tt0) 1 1S0STOC\o"1-5"\h\zT't-T：vt—t+t- (11)取使得T'+e-T'<t-t+t-成立，的并滿足e>0的足夠小的e.這樣在(T'-e,T')N 1 0區(qū)間就沒有變化了。因為在。'-e,T't］區(qū)間上Nb2(t,10)有變化且beS［T,N］，可以得出1avea0(T +e-T') -t、N(t,t)=N(T t'-e)<N+Mx^)——1-<N+4+寫2b2 0 b1Nb2(t,t) 1 0 T 0T Ta a a其中最后一個不等式由(11)得出的。因此，beS［T,N+t-/t］。2avea0sa引理3：令。eS［T,N］且b(t)=b(t-t(t))其中t為正。對于時間間1avea0 2 1隔(t,t)，令b(t)=b(t)的總次數(shù)mt,t，令mt,t=t-t—mt,t。假設(shè)對于任意t，0 1 2 0 0 0 0有0<T(t)<Ts。如果有：(12)Vt>t (13)并且T0T—(人+人)<(12)Vt>t (13)并且T0— —smm m a對于正定且不變的入，入—和人e［0,入］有mm m一人m+人m-<C一人(t-1)mt,tmt,t T 0其中，c=(X+人)Nt-其中，—=t0和=t0和T .)+1=t。若內(nèi)總時間將取決于Ts并且b1(t)^b2(t)。T以是b在(t,t］的采樣時間L,N/%) 1 0T-T>T或T -T<T，則在(TTk+1 ks k+1 ks k,k+1-因此在(t0,t］內(nèi)總時間將取決于(Nb1(t,t0)+1)T并且b1(t)^b2(t)，則m<(Nb1(t,t0)+1)T，m >t—t0-(Nb1(t,t0)+1目。因為b］es［ta，N,且N (t,t)<N+(t-1)..p ,故m<(N t(t 十t)<N1t)+t-1t.,氣(和)6 0 0 0'a .. Cl 0s 0 '0sa￡0￡m>t一tm>t一t一(N+1)t>(1-t/t)(t一t)一Nt，使t,t 0 s sa 0os-^/mt+ mto,tmm0，m公+*_)Nr+f-X1-ts

' a/若(12)式是真的，則-人(1—匚夕J+X+Tna>T：t<-X,(13)式如下。msa(t-t0)備注1：條件(13)在總匹配時間和非總匹配時間的一開關(guān)信號及其用于定理1證明的延遲版本的特征的關(guān)系。對于穩(wěn)定系統(tǒng)和切換模式［12］的不穩(wěn)定系統(tǒng)的總時間結(jié)果的比較，定理［12］具有兩個條件。首先，它依據(jù)t與t給出了匹配時間和非匹配時間的關(guān)系，而定理［12］尤 s起初是作為對穩(wěn)定總時間和不穩(wěn)定總時間的一種模型的假設(shè)。其次，在條件(13)中C更0T而在［12］中C=0。當t=0時，C=0而C由開關(guān)量的延遲時間t得出。證明：由［定理1］知閉環(huán)系統(tǒng)可為：(14)C'(t)：=C(t)十C(t-T)(14)C'(t)：=C(t)十C(t-T)。C'(t)v(t)：=B x((t-T)-x(t))且氣二B0，氣=BKp，設(shè)氣(t)：=C(t-TJ由定理2得：由定理1可知“危S"［亍「A。］，而廠與—在(7)式中。對于連續(xù)系統(tǒng)，下面的技術(shù)用與［10］處理狀態(tài)延遲：x(t)-x(t-Tx)=jtx(s)ds，t-Txt>t0+Tx。對于離散系統(tǒng)，由于在［t-Tx,t)進行采樣可以對這種情況進行忽略。設(shè),t 是在[t-T,,t 是在[t-T,t)的采樣時間，N(t)是在(t-T,t)的采樣個數(shù)；且t=t-Ts X X s0N(t):=sup x(s)|，因為在C,t)沒有采樣且x是連續(xù)的則[ab\ 4,引 sksk+i* <(t-1)C|x|[t,t] sk+i sk1ssk+1S廣xd⑴，Ci=sup沖皿+supp,」BpKp'。可得出：]廣、。定義叫abx(t)-x(t)<jtsk+1 sk tskx(s)ds<C -1sk+i sk由于xs，tsk k+1U4「kk+1<(tk+1)cx(t)|1d'k)|<)|<如|x(t)-x(t)|<如(t-t)Clx(t)=TC\x(t)lss1d'Xid'k+1 k\x(t)—x(t—TX 's sk=0 k+1 k k=0對于所有t>t0+tx,只有在t0是初始時刻時不等式才成立。因為匕心x(s^ds中的X取自sk于［t-2七,t］，X的初始狀態(tài)僅從L^x，°］得到。從(14)中的v和\x(t)-x(t-Tx)|<TxC1\xd(t)|，可得出:v(tv(t)<Tccx(t)1=：Tcx(t)1Bd xdVt>t+t0x(15)設(shè)V(t)：=\,(x(t))，且Vpq在(5)式中。設(shè)T是一個時間變量如T>t0+Tx=：弓。從T，“一得出采樣時間a'G(t,T)；t=t和t_ =T-。定義人例如當1 Na(t0,T) 0 0 0 N&t0,T)+1 ba'(t)=(p,p)，pGp和人：=人時人：=—人。因為b'是VtG^,t)的一個變量，b'(t) pas kk+1Vtg[tVtg[t,t) (16)kk+1V(t)<eF)f)V(tk)+y(tc)2jteF()嶺(s)2dsTk對不等式(16)用t=T ，k=0進行迭代使N(廠,T)。且由(6b)式中V(T)<pV(TK)TOC\o"1-5"\h\zk+1 a0， k -得到:V(T)<RN(t0,T)eIn(t0,T)(t)V(t)+y(tc)2N^S^fTk+1p5’丁|吒(t0,T)(s)x(s)l2ds(17)k+11 0 0 x T k+k+1k=0 k-t))exp(X (t-s))i a'(t)-t))exp(X (t-s))i a'(t)kkk a'(T.)i+1i=k條件(8)意味著存在人如:(tcc)2Soy+^^<人<人一L(人+人)x1B T sTsp由于 上述不等式可化為：Tcc=Tcx1Bx廠〉票 (18a)a人(人+Xp)T〈(人-X)T (18b)(c(cc)Soy〈入-^^a(18c)我們可從指數(shù)衰減的功能中得出pn-KeIn(s)。因為a'gSt,N，有N一k在我們可從指數(shù)衰減的功能中得出k+1 aveLa0」， ， j—， ，，(Tk1，T]采樣和N一k<N0+(T-tk])/t。所以pN-k<pN0exp((T-tk「(lnp)/t)。

從（17）式中對ela（t口）和氣'的定義，結(jié)合氣和七可得出:(19)ela(t):=exp(—人m +人m)(19)aa STa，Ta+i 日Ta'Ta+1由(18b)和定理3得出—人m+人m<c—人(t —t)且c=(人+人)Nt。STa,Ta+1 四tt T b+1 a T s日°sa a，b+1前面的不等式根據(jù)(17)式中的elb和(19)式elb(r)<ecexp(-人t辰]—t))可得到日n-keIn(s)<pnoerce-xj+1f，人':=人一(In^)/T；由于Xg((Inp)/廠人)故人'>0。TOC\o"1-5"\h\zk+1 a as上述不等式和(17)時是根據(jù)』Te-X'(t-s)|x(s)|2ds<(1/X')|x|2_和(6a)得出某 d dM，t)x(T)|2<9o以e-x'(t-10)\x(t)2+'°[0：)2|x|2_、 VT>t (20)2 10X' 1d" 0當g°：=pN0ecT怎1。因為式（20）對于所有的T總為真，我們可以得到10，10，T&0氣X(t0)2+(g0作C)2/X')1Xdft0,T)XI =X(t)又由于有 k-Tx，t°+Tx] d0同0同0)|<^d(t0)l，Ix12 )<Ix|2 )<(1+g以)X(t0)2+(g0"T：)2)IxI：)有dbo，t) D0-Tx，t) 02d xdDo，t)。因為（18c），又因為X&，T）（18c），又因為X&，T）2，當x(T)|2<(gae—X'(t—10)+g(t))lx(t)1 02 1xd0<(1+g)c(t)xd(t0)上述不等式及式（20）告訴我們C2(Tx):=(1—g0Y(Tc)2/X')-1>0時2，因此，我們得xd(T)|2<(g0a2e2X'txe—x'(T-1o)+g(t))x0)21xd0（21）對于所有的T>to。前面定理中的不等式（9）根據(jù)（21）式用‘0和t>to+Tx代換‘0和T>to。根據(jù)g1的定義事實上有g(shù)1（Txl0當，0時備注2：對于有界時變時滯Tx和Ts，定理一中的結(jié)果仍然能用定理中闡明的Tx來代替Tx，因為Tx（t）<TxVt，用Ts代換Ts，有Ts（t）<TsVt。這一結(jié)果的得到是通過合適的代入法（在Tx和'x，Ts和匚s之間）并指出引理2和3已經(jīng)定義了時變延遲。備注3：充分條件（8）讓我們知道對于'x和七的關(guān)系，Ta是確保閉環(huán)的穩(wěn)定性的。對于確定的'a和N0，一個較大的'x需要一個較小的Ts。反之也然。當0，Ts是最大的并且甘值等于T*:=（tx—2lnp）/（X+x） 對于_個固定T —個較大的T 需要并且其值等于sas su。對于個固定x，I較大的a需要

T T—mT—T*是這方程一個更大的開關(guān)延遲Ts。反之亦然。當TaT8，TsTTs是這方程(Tcc川2N0exp((X+x)NT*)(aY/a)=x T一不審十x1B su0s2 1s的解。對于個固定s,個更大T T—5T—T*也需要一個更大的狀態(tài)延遲x。反之亦然。當Ta"8七"TxT*=((X-(T/T)(X+x)-2ln旦/T)/K)1/2/(cc)x ssasu a 1BA.特殊條件烏滬右蛛太 t= 亦冊2(ln日/T)<x-(T/T)(X+X)當沒有」犬心延遲時，x式(8)變成 assasu。(9)Ix(t)2<ge-X'(t-1)x(t)l2 t=0則變?yōu)?d()<g0 01d(0)，對于這個特殊情況Ts0,我們對定理1中的證明做則變?yōu)辄c小小的調(diào)整，將會更多的后續(xù)結(jié)果。定理2:考慮到變換系統(tǒng)(1)和控制器(3)中的Ts=0,假設(shè)假設(shè)(「] (TCC)2K+業(yè)^<X1成立并且(22),當K：=p%Y/%,然后我們得到\xd(t)|2所有的'-t0+Tx1成立并且(22),當K：=p%Y/%,然后我們得到\xd(t)|2所有的'-t0+Tx和一些區(qū),"'}>0J(gae2xt。項'(t-*+g(t))|x(t)|2

02 1xd0gi：［0,8)頊,8),我們有空(23)。對于證明：如果Ts"°,我們得到"L,因為沒有不匹配的設(shè)備開關(guān)信號和控制器開關(guān)信號。又因為Ts-0式(18b)自然成立。在證明定理一的第一步中，我們有 °'=C,beSave[t己,NJ。然后定理一中所陳述的午a和N0被'a和N0替換。由此得定理二中的證明過程與定理一中的完全一樣。定理二表明沒有開關(guān)延遲，反饋的漸進穩(wěn)定性在同樣的條件下【3】(Ta>ln口,Xs)下，線性系統(tǒng)的開關(guān)平均停留時間轉(zhuǎn)換成小反饋魯棒狀態(tài)時滯。B.漸進穩(wěn)定性定理一的一個重要含義是反饋線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性是魯棒的要考慮到狀態(tài)和開關(guān)延遲因為開關(guān)延遲信號的平均停留時間足夠長。推論一：考慮到轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(1)用控制器(3)。假設(shè)假設(shè)一成立°￡SaVe^a，N0L對于任t>2ln日意的常數(shù)Ta和N0，如果a Xs(24),則存在絕對值Tx和氣對于所有的Tx<Tx和

T<Ts<s使得反饋轉(zhuǎn)換線性系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的?！?,(tcc)2KT0 T—0,T(人+X)/T—0T=T/2證明：當x 時x1B 。當s時ssua，由于aa，不等式（24）表明了Tx和Ts的存在性同時它使得（tcc）2k+（ln日/T）<X-（T/T）（人+人）x1B assasu。由此可見（9）式的成立是由定理一得出的。因為區(qū)間"'Tx）是有限的，這個子系統(tǒng)是線性的，有不超過N0+TX,Ta的。因為區(qū)間"'Tx）是有限的，這個子系統(tǒng)是線性的，有不超過N0+TX,Ta，所以x（t）對

t-t0+TX都是有界的。在"'Tx'取值，X仍然是有界的。所以對于所有的t-t進一步得到這閉循環(huán)系統(tǒng)是李雅普諾夫穩(wěn)定。當TxT0時g1（X）T0g（*）<1使得1X一一（）八ge睥xew+g\J=:g<1和d（T+10）|2<g2所有的是有界的，T*存在TXxd(2T+10)2所有的k重復(fù)取值。因為g2<1所以TX=minXTX，顯然存在T>Tx&)xd(T+10)2<g2x(t類似的有x(kT+1+s)2<(e2〃Tx+g())

d 0I0 1Xxd（七*，在不等式x（kT+t』T0由于式（9）xd(kT+10)2<gkxd(t0))2對于xd(kT+〈)=:=:cx(kT+t)|2<cgkx(t)|2d 0I2d01對于所有的s日0,T）和K=1,.....成X(tX(t)<xd(t)xd（t）T°，又因為，這個閉循環(huán)系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。旦曰?這些在【3】TaN:=2N+L9 0 0T 、2 a(27a)立。所以當tT8時備注4：用開關(guān)延遲信號和反饋狀態(tài)建立魯棒穩(wěn)定性，我們要求設(shè)備的開關(guān)信號是中給定的轉(zhuǎn)換系統(tǒng)處于無狀態(tài)和無開關(guān)延時的信號兩倍慢。平均停留時間在這種情況下的延遲的較大下界可以認為是對由轉(zhuǎn)換控制器和轉(zhuǎn)換設(shè)備之間的不匹配所引起的穩(wěn)定性的補償。不論是開關(guān)延遲或者是狀態(tài)延遲，是否能在平均停留時間上獲得一個更嚴格的界限，仍然是未來需要研究測話題。李雅普諾夫函數(shù)方法能使我們直接解決未建模動態(tài)的一些問題，考慮一個反饋切換系統(tǒng)未建模動態(tài)x=A■+芹+"*（25），對于一些8,0其中未建模動態(tài)滿足陽（x）口IMVx聶〃（26）。定理3：考慮用控制器（3）的轉(zhuǎn)換系統(tǒng)（25）。假設(shè)假設(shè)1成立，象SaVe^a,N0于所有的常數(shù)Ta和N0和滿足式（26）條件的。取'a

TOC\o"1-5"\h\z如果hcc+8)2k+—^<人一f(人+X) (28)X1b xsTsu當k:=日％exp((人+人)Nt)(丫/a)可得su0s 1|x(t)|2<(gae2祈Xe-gt-t0)+g(T))|x(t)|2 Vt>t+Td 02 1Xd 0X(29)對于一些常量{V,g}>0和作用g:[0,3)T[0,3)這樣g(T)T0等于tT0。0 1 1X X證明：證明幾乎與定理1相同，只有小的修改.在(14)中，變量v變?yōu)锽 (x(t-t)—x(t))+A(x(t)).不等式(15)變?yōu)閨v(t)\<(Tcc+8)|x(t)|基于b(t) X X1B1d1|A(x(t)|)<8|x(t<8|X(t其它的證明與定理1相同，只是用TXc1cB+8代替了所有的Tcc.推論1、3也指出了當任何或全部這些數(shù)是當前值時，穩(wěn)定的反饋轉(zhuǎn)換系統(tǒng)能很好地抑制狀態(tài)時滯，開關(guān)延遲,未建模動態(tài)線性界。IV.LMI數(shù)值解法在條件(8)中，左邊包含的k，隨R,y,a/a變化。這樣與T和T聯(lián)系得更緊密，2 1 sx我們希望日,y,a/a越小越好。對于給出的A，B，和K，像在(4)和(5)中P，21 ppp p,qp,qep有很多選擇，對應(yīng)于在(6)中R,y,a2/a1的很多可能性。有一種尋找較小的日,y,a2/a1方法就是LMIs.我們尋找兩次匕q(x)=xTPpx,p,qep，當(30)同樣Y0表示負定)。不等式(4)，在<—(30)同樣Y0表示負定)。不等式(4)，在<—XxTPx+yvTv，可推導(dǎo)出LMI：這樣不等式(4)，(5)hold(標志>0表示是正定;p,p表面形式上是，xT(ATP+PA)x+2xp,pp,pvAtPAtP+PA+XPp,pp,pp,pp,psp,pPp,pPp，pY0,—yi(31)(我們用嚴格不等代替了不等.)同樣的，由(5)推導(dǎo)出AtPAtP+PA—XPp,pp,pp,pp,pup,pPp,pPp，pY0,—yi(32)對于所有的p，qep,p豐q，以及(6a)和(6b)可以寫成aIyPYa21, Vp,qep

(33)PRP, Vp,q,i,j&p.(33)對于給定的人，人，a,a,y,和人，LMIs(30)，(31)，(32)，和(33)的數(shù)值計算方法可以u1 2較好地解決p應(yīng)用計算軟件(如MATLABLMI工具箱).然后可以從R=1,一個大y，小人,七和氣/%達到預(yù)期的同時還能保大七和大氣/%然后慢慢增加r和人，慢慢減小y，證解決LMIs的設(shè)置.七和氣/%達到預(yù)期的同時還能保例1：考慮反饋轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(1)的子系統(tǒng)AA=「1「,B=,A=1-2「,B=「0一112112-2-121(34)假設(shè)轉(zhuǎn)換的狀態(tài)反饋控制器(3)是假設(shè)轉(zhuǎn)換的狀態(tài)反饋控制器(3)是K=［-7-6〕.K=［5-3］1 2對于每一種閉環(huán)回路，使得閉環(huán)極點在-1-2.用LMIs(30),(31),(32)，我們可以找到P，i=1,2iP，i=1,2i，存在人=0.2，人=15，y=10-3二3.8.設(shè)%=2，用公式辰0. (X(=人-0.0 1T, = X(一人)人(+(八2ln(八2lnR、n- ?)以t1 = a RN0exp((人+X)NT)yJ1/2=2.2601x10-4.X=0(無=7.12a(這是來自(8))，我們得到=2.2601x10-4.X=0(無=7.12a備注：公式(8)給出的延遲界限是保守的。在上例中同樣的轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，我們設(shè)置T轉(zhuǎn)換延遲)計算一個上界在使用(22)狀態(tài)延遲，給定tx=0.0014和t(R=3.8,人=0.2,y=10-4).用［5］中的方法無狀態(tài)延遲轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，在例子中用同樣的轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，使t廣6.67和tx=0.5(r=3.8，a=0.2，d=0).這樣，我們的綁在時滯在沒有延遲的情況，因此，更小的更為保守。然而，就像作了簡要分析介紹，值得在這里強調(diào),我們的結(jié)果涵蓋了這兩狀態(tài)時滯和轉(zhuǎn)換的延遲，而現(xiàn)有結(jié)果如［5］覆蓋狀態(tài)時滯而已。此外,我們的方法和效果可以很容易的將未建模動態(tài)化像III-D部分。V.結(jié)論在本論文中，我們研究了線性切換系統(tǒng)的反饋穩(wěn)定性同時具有狀態(tài)和轉(zhuǎn)換延遲。當開關(guān)的開關(guān)信號是平均停留時間開關(guān)信號，我們提供了關(guān)于延遲上界和平均停留的開關(guān)信號的時

間的一個下界的條件，以保證閉環(huán)約束較低的條件漸近穩(wěn)定。穩(wěn)定的結(jié)果也意味著穩(wěn)定的反饋線性轉(zhuǎn)換系統(tǒng)對于狀態(tài)時滯和轉(zhuǎn)換延遲以及小型線性添加的未建模動態(tài)具有魯棒性。我們還提供了一個基于LMIS的數(shù)值方法和一個例子。將來的工作針對于擴展對于輸出反饋的情況下和對于轉(zhuǎn)換非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計的結(jié)果。(使用【10】中的工具和輸入狀態(tài)框架【13】和其它類型的低開關(guān)信號【14】)附錄引理A.1:使AeRnxn成為任意Hurwitz矩陣.然后一直存在V(x>xtPxx,eRnP^和人,y>0就像dv,(35)—(Ax+v)<-XxtPx+y|v|2 VveRn.(35)dx如果A不是Hurwitz矩陣，我們可以在(35)中找到PA0和人V0,y>0。證明：設(shè)A是Hurwitz使任意QA0,李亞普諾夫方程AtP+PA=-Q有正的確切解pA0.定義X：=Xmin(Q)/Xmax(p),X>0,設(shè)Xmin(Q)是q的最小特征值Xmax(P)是p的最大特征值.使se(0,兀),X:=?！猻，和y:=X2(P)/s;我們可以取X>0,y>0.然后av——(Ax+v)=xt(AtP+PA)x+2xtPvax<-<-xtQx+2時時人(P)max<一兀xtPx+2|x||v|人(P)<一<一人xtPx+y|vr2-s<-人xtPx+y|v|2.設(shè)A不是Hurwitz.使任意pA0.如果人(AtP+PA)V0，像之前的例子(35)中入〉0，也有Xv0因為xtpx0.設(shè)X>0，當X：=XAtP-PAX (然)后ax minxt(AtP P)AXxt使&p>0,X：=X+￡,y：=X2(p)/s.我們有X>0,y>0然后max8V…——(Ax+v)=xt(AtP+PA)x+2xtPvdx<XxtPx+2x|v|人(P)<人XTPx+人V2-8<兀xtPx+y|v|2相當于人在（35）中持續(xù)減小。鳴謝作者感謝Dr.D.Liberzon對于本論文提案給出的建設(shè)性意見。參考文獻D.Liberzon,SwitchinginSystemsandControlBoston,MA:Birkhauser,2003.A.S.Morse,“Supervisorycontroloffamiliesoflinearset-pointcontrollers,Part1:Exactmatching,”IEEETrans.Autom.Controlvol.41,no.10,pp.1413-1431,Oct.1996.J.P.HespanhaandA.S.Morse,“Stabilityofswitchedsystemswithaveragedwell-time,”inProc.38thIEEEConf.DecisionContrpl1999,pp.2655-2660.D.Liberzon,J.P.Hespanha,andA.S.Morse,“Stabilityo^witchedsystems:ALie-algebraiccondition,”Syst.ControlLett.vol.37,pp.117-122,1999.X.Sun,J.Zhao,andD.J.Hill,“Stabilityand-gainanalysisforswitcheddelaysystems:Adelay-dependentmethod,”Automatica,vol.42,pp.1769-1774,2006.X.Sun,G.M.Dimirovski,J.Zhao,andW.Wang,“Exponen