幾種常見(jiàn)的曲面及其方程

幾種常見(jiàn)的曲面及其方程二次曲面曲線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四節(jié)曲面及其方程

幾種常見(jiàn)的曲面及其方程即動(dòng)點(diǎn)為定點(diǎn)為，由兩點(diǎn)間距離公式得特別,當(dāng)M在原點(diǎn)時(shí),球面方程為定值為R表示上(下)球面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、幾種常見(jiàn)的曲面及其方程1.球面幾種常見(jiàn)的曲面及其方程

例1方程表示怎樣的曲面.

解通過(guò)配方，把原方程寫(xiě)成對(duì)比（1）式知，它表示球心在點(diǎn)（2,0,-1）,半徑為的球面.幾種常見(jiàn)的曲面及其方程三、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,

沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱(chēng)為圓故在空間過(guò)此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意z,平行z軸的直線l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)

其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程定義3.平行定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.z軸的平面.表示母線平行于

(且z軸在平面上)表示母線平行于C叫做準(zhǔn)線,l叫做母線.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x軸;平行于y軸;平行于z軸;準(zhǔn)線xoz面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線xoy面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線yoz面上的曲線l2.

母線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程定義2.

一條平面曲線3.旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)軸.例如

:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz面上曲線C:

則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程例2將面上的橢圓分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)，求所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。解繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為即即繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為幾種常見(jiàn)的曲面及其方程

例3求面上的拋物線繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)拋物面（圖7-28）的方程。

解方程中的x不變，換成便得到旋轉(zhuǎn)拋物線的方程為

例4求面上的直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的圓錐面的方程。

解所求圓錐面的方程為即幾種常見(jiàn)的曲面及其方程二、二次曲面三元二次方程

適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅

就幾種常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法

其基本類(lèi)型有:

橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.

(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束黃綠紅幾種常見(jiàn)的曲面及其方程與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程2.橢圓拋物面(p,q

同號(hào))特別,當(dāng)p=q時(shí)為繞

z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程三、曲線

1.曲線方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線C.

C機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,z表示成參數(shù)t的函數(shù):稱(chēng)它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱(chēng)為螺距

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程例5設(shè)一動(dòng)點(diǎn)M在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度沿平行于z軸的正方向上升(都是常數(shù))則點(diǎn)M的幾何軌跡叫做螺旋線（圖7-34），試圖建立其參數(shù)方程。解取時(shí)間t為參數(shù)，設(shè)t=0時(shí)動(dòng)點(diǎn)在處，動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)M作xoy面的垂線，則垂足的坐標(biāo)為由于是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，而線段的長(zhǎng)是時(shí)間t內(nèi)動(dòng)點(diǎn)上升的高度，所以經(jīng)過(guò)時(shí)間t，得幾種常見(jiàn)的曲面及其方程從而因此螺旋線的參數(shù)方程為幾種常見(jiàn)的曲面及其方程2.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去z得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾種常見(jiàn)的曲面及其方程例如,在xoy面上的投影曲線方程為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束