離散型隨機(jī)變量的方差

離散型隨機(jī)變量的方差方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及方差的性質(zhì)方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2???x1???xnPp1P2???p.1???pn方差D(X)=丈(x—E(X))2p.i^r11標(biāo)準(zhǔn)差為方差的性質(zhì)：D(aX+b)=a2D(X).隨機(jī)變量與樣本方差的關(guān)系隨機(jī)變量的方差是常數(shù)，而樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此樣本的方差是隨機(jī)變量.對(duì)于簡單隨機(jī)抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體的方差.因此，我們常用樣本的方差來估計(jì)總體的方差.兩個(gè)常見分布的方差若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)=p(1—p).若X?B(n，p)，則D(X)=np(1—p).O判斷正誤(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定.()⑵若a是常數(shù)，則D(a)=0.()離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度.()答案：(1)X(2)V(3)V&已知X的分布列為X1234P11114364則D(X)的值為()29A衛(wèi)12129A衛(wèi)12117917答案：Ca已知x的分布列為X012111P333設(shè)Y=2X+3，則D(Y)=.8答案：30已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20，則p=，np=30,解析：由E(X)=30,D(X)=20，可得｛/、［np(l—p)=20,解得P=|.答案：3探究點(diǎn)i求離散型隨機(jī)變量的方差例丄袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n=l,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球，E表示所取球的標(biāo)號(hào)?求E的分布列、均值和方差.【解】由題意得，E的所有可能取值為0,1,2,3,4,P(E=0)=齊2,P(^=1)=20，TOC\o"1-5"\h\z213P(^=2)=^=^，p(e=3)=2?41P(E=4)(4)205.故E的分布列為E01234P1丄丄3122010205所以E(E)=0x2+1X20+2X^0+3x20+4X5=1.5,D(E)=(0—1.5)2x|+(1—TOC\o"1-5"\h\z11315)2X+(2—1.5)2X+(3—1.5)2X+(4—1.5)2X：=2.75.2010205［變條件］在本例條件下，若n=aE+b,E(n)=1,D(n)=11，試求a,b的值.解：由D(aE+b)=a2D(E)=ll,E(aE+b)=aE(E)+b=l,及E(E)=1.5,D(E)=2.75,得2.75a2=ll,1.5a+b=l,解得a=2,b=—2或a=—2,b=4.求離散型隨機(jī)變量的方差的步驟明確隨機(jī)變量的取值，以及取每個(gè)值的試驗(yàn)結(jié)果.求出隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率.列出分布列.⑷利用公式E(X)=xp+xp-Ixp-Ixp求出隨機(jī)變量的期望E(X).1122iinn代入公式D(X)=(x—E(X))2p+(x—E(X))2p+???+(x—E(X))?p-…-(x—1122iinE(X))2p求出方差D(X).n代入公式o(X)=\,'D(X)求出隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差o.匙監(jiān)訓(xùn)I就甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投3籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為4?在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為E,求E的分布列、期望和方差.解：乙投籃的次數(shù)E的取值為0,1,2.111P(E=0)=一乂一=一；TOC\o"1-5"\h\z($0)3八39；12,217P(E=D=3x3+3x4=1831P(E=2)=3X4=夕故E的分布列為E012P1719182TOC\o"1-5"\h\z1,7125e(E)=ox9+1x^+2x2=1825、1,/25、7,/25、1149D(E)=(0—五)2X9+(1—五)2X^+(2-五)2X2=五探究點(diǎn)2兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差例2—出租車司機(jī)從某飯店到火車站途中有六個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率是*(1)求這位司機(jī)遇到紅燈數(shù)E的期望與方差;

(2)若遇上紅燈，則需等待30S,求司機(jī)總共等待時(shí)間n的期望與方差.【解】(1)易知司機(jī)遇上紅燈次數(shù)E服從二項(xiàng)分布，且E?B(6,1),1114故E(E)=6X§=2,D(E)=6X3X(1—§)=3.(2)由已知n=30E,故E(n)=30E(E)=60,D(n)=900D(E)=1200.正確認(rèn)識(shí)二項(xiàng)分布及在解題中的應(yīng)用(1)在解決有關(guān)均值和方差問題時(shí)，要認(rèn)真審題，如果題目中離散型隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布,就應(yīng)直接利用二項(xiàng)分布求期望和方差，以簡化問題的解答過程.⑵對(duì)于二項(xiàng)分布公式E(X)=np和D(X)=np(1—p)要熟練掌握.皿必訓(xùn)虬拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，用X表示擲出偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù).若拋擲1次，求E(X)和D(X)；若拋擲10次，求E(X)和D(X).解：(1)X服從兩點(diǎn)分布X01P1122所以E(X)=p=2,D(X)=p(1—p)=1』1-2)=4?⑵由題意知X?b[10,2)，所以E(X)=np=10X-2=5,D(D(X)=np(1—p)=10x|x52.探究點(diǎn)3方差的實(shí)際應(yīng)用例§甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y,且X,Y的分布列如下:X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3求a,b的值；計(jì)算X,Y的期望與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況.【解】(1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a+0.1+0.6=1,得a=0.3.同理0.3+b+0.3=1,得b=0.4.⑵E(X)=1X0.3+2X0.1+3X0.6=2.3,E(Y)=1X0.3+2X0.4+3X0.3=2,D(X)=(1—2.3)2X0.3+(2—2.3)2X0.1+(3—2.3)2X0.6=0.81,D(Y)=(1—2)2X0.3+(2—2)2X0.4+(3—2)2X0.3=0.6.由于E(X)>E(Y)，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙髙，但D(X)>D(Y)，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢.利用均值和方差的意義解決實(shí)際問題的步驟比較均值：離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，因此，在實(shí)際決策問題中，需先計(jì)算均值，看一下誰的平均水平髙.在均值相等的情況下計(jì)算方差：方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度?通過計(jì)算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定.下結(jié)論：依據(jù)均值和方差的幾何意義做出結(jié)論.皿必訓(xùn)虬最近，李師傅一家三口就如何將手中的10萬元錢進(jìn)行投資理財(cái)，提出了三種方案.第一種方案:李師傅的兒子認(rèn)為：根據(jù)股市收益大的特點(diǎn),應(yīng)該將10萬元全部用來買股票.據(jù)分析預(yù)測：投資股市一年后可以獲利40%,也可能虧損20%(只有這兩種可能)，且獲利的概率為2；第二種方案：李師傅認(rèn)為：現(xiàn)在股市風(fēng)險(xiǎn)大，基金風(fēng)險(xiǎn)較小，應(yīng)將10萬元全部用來買基金.據(jù)分析預(yù)測：投資基金一年后可能獲利20%,可能損失10%，也可能不賠不賺，且這三種情況22311發(fā)生的概率分別為555第三種方案：李師傅的妻子認(rèn)為：投資股市、基金均有風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)該將10萬元全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款年利率為3%.針對(duì)以上三種投資方案，請(qǐng)你為李師傅家選擇一種合理的理財(cái)方案，并說明理由．解：若按方案一執(zhí)行，設(shè)收益為E萬元，則其分布列為4-2P1122E的數(shù)學(xué)期望E(^)=4x|+(-2)X2=1.若按方案二執(zhí)行，設(shè)收益為H萬元，則其分布列為:20-1P311———555311H的數(shù)學(xué)期望E(H)=2X5+0X5+(-1)X5=1.若按方案三執(zhí)行，收益y=10X3%=0.3,因此E(E)=E(n)>y.又D(^)=(4-1)2x|+(-2-1)2x2=9,118D(H)=(2-1)2X+(0-l)2X+(—1—1)2X】=U.5555由以上可知D(E)>D(n).這說明雖然方案一、二收益均相等，但方案二更穩(wěn)妥.所以建議李師傅家選擇方案二投資較為合理．1.已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如下表所示，則隨機(jī)變量X的方差D(X)等于()X01P2m101012C-3D?31122(2、解析:選B.由題意可知：+2m=l,所以m=§,所以E(X)=0乂3+1乂§=3,所以D(X)=(°一3丿21(岔222運(yùn)+〔1—3丿x3=9.2．已知A1,A2為兩所高校舉行的自主招生考試,某同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過的概12率均為1，該同學(xué)一旦通過某所髙校的考試，就不再參加其他髙校的考試，設(shè)該同學(xué)通過髙校的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,則D(X)=()5B.45B.41625C25C—C.64D?64解析：選A.因?yàn)閄的取值為0,1,p(x=o)=|x2=|,1,113133所以e(x)=0乂4+1乂4=4,…、91,133「、”D(X)=^x4+憶x4=1i故選a.3．有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2，2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為E,求E(E)和D(E).解：E的可能取值為6,9,12.E=6表示取出的3張卡片上都標(biāo)有2,C37貝UP(E=6)=c*=15.C13015E=9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2,一張標(biāo)有5,C2C17則P(E=9)=百=1510E=12表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有5,一張標(biāo)有2則P(則P(E=12)=C1C282C3丄15.所以E的分布列為E6912P77丄151515771所以E()=6X15+9X15+12X15=7.8,771D(E)=(6—7.8)2X15+(9—7.8)2X15+(12—7.8)2X15=3.36.知識(shí)結(jié)構(gòu)深化拓展■&凰+m￥1V11翱護(hù)響簞…一對(duì)隨機(jī)變量X的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的五點(diǎn)說明隨機(jī)變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義是相同的.隨機(jī)變量X的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量X的取值的穩(wěn)定性和波動(dòng)、集中與離散程度.標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更為廣泛.D(X)越小，隨機(jī)變量X的取值越穩(wěn)定，波動(dòng)越小.⑸方差也可以用公式D(X)=E(X2)—(E(X))2計(jì)算(可由D(X)=￡i=1(x—E(X))2p.展開得到).ii[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)][1,A發(fā)生，1.設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和A,且P(A)=m,令隨機(jī)變量E={—4,則E的〔0,A不發(fā)生，方差D(E)等于()A.mB.2m(1—m)C.m(m—1)D.m(1—m)解析：選D.隨機(jī)變量E的分布列為：E01P1—mm所以E(E)=0X(1—m)+1Xm=m.所以D(E)=(0—m)2X(1—m)+(1—m)2Xm=m(1—m).如果X是離散型隨機(jī)變量,E(X)=6,D(X)=0.5,X1=2X—5,那么E(*)和D(X)分別是()A.E(X)=12,D(X)=1

E(X1)=7,D(X1)=1E(X)=12,D(X)=2E(X)=7,D(X)=2解析：選D.E(X])=2E(X)—5=12—5=7,D(X])=4D(X)=4X0.5=2.拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面向上得1分,反面向上得－1分,則得分X的均值與方差分別為()A．E(X)=O,D(X)=1B．A．E(X)=O,D(X)=1B．e(x)=2.D(X)=|C．E(X)=O,D(X)=1D．e(x)=2,D(X)=1解析：選A.解析：選A.由題意知,隨機(jī)變量X的分布列為X-11P22所以E(X)=(-1)x|+1x|=0,D(X)=1X(-1-0)2+2x(1-0)2=1.已知X的分布列如下表所示：X-101P1111231則下列式子：①e(x)=-§；②d(x)=27；③p(x=o)=§.其中正確的有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)解析：選C.由分布列知p(x=o)=3,E(x)=(-i)xi+ox3+ixl=-2+6=-3，d(x)=2x[-i+3j+3x〔0+3J+〔i+3J乂6=9,故只有①③正確.

21設(shè)隨機(jī)變量E的分布列為P(E=k)=Ck(§)k?(3)nr,k=O,l,2,…，n,且E(E)=24,則D(E)的值為()A.8B.122C.D.1692解析：選A.由題意可知E?B(n,3),2所以§n=E(E)=24.所以n=36.222所以D(E)=nX§X(l—3)=9X36=8.牧場有10頭牛,因誤食含有病毒的飼料而被感染,已知該病的發(fā)病率為0.02,設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為E,則D(E)等于.解析：因?yàn)镋?B(10,0.02),所以D(E)=10X0.02X(l—0.02)=0.196.答案：0.196隨機(jī)變量E的取值為0,1,2.若P(E=0)=g,E(E)=1,則D(E)=.5解析：設(shè)P(E=1)=a,P(E=2)=b,則＜5則＜5+a+b—1，解得＜、a+2b=1.3a=5‘〔b=5,1312所以d(e)=5+5xo+5xi=5.答案58?隨機(jī)變量E的分布列如下，其中a,b,c成等差數(shù)列?若E(E)=3,則D(E)的值為1P1Pa23bc解析：因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列，所以a+c=2b.又因?yàn)閍+b+c=1,所以b=|.又因?yàn)镋(E)5111=a+2b+3c=§，所以a=2，b=§,c=&,所以E的分布列為E123P2365151515所以。（￡）=（1—3）2乂2+（2—3）2乂3+（3—3）2乂6=9?5答案：9已知n的分布列為n010205060P12丄_2_丄35151515求n的方差及標(biāo)準(zhǔn)差；⑵設(shè)Y=2n—E(n),求D(Y).121211解：(1)E(n)=0X3+10X5+20Xi5+50Xi5+60Xi5=16,D(n)=(0—16)2X§+(10—212116)2x5+(20—16)2x15+(50—16)2x15+(60—16)2x15=384,“Jd(n)=^6.因?yàn)閅=2n—E(n),所以D(Y)=D(2n—E(n))=22D(n)=4X384=1536.從5名女生和2名男生中任選3人參加英語演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量E表示所選3人中男生的人數(shù).求E的分布列；求E的均值與方差；C°?C32C1?C24解：(1)E可能取的值為0,1,2,且P(E=0)=-V5=7,P(E=1)=-V-5=-,P(E=TOC\o"1-5"\h\zC737C737、C2?C112)=W^=,C737所以E的分布列為E012P241—7772416(2)已(2)=0乂7+1書+2乂7=7,D(E)=D(E)=0-6J2(6)24(6)2x7+l1-7jx7+l2-7jx1140207=343=49'[B能力提升]甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量E,n,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.⑴求E,n的分布列；(2)求E,n的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).解：(1)依題意0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1,因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,所以乙射中7環(huán)的概率為1—(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以E,n的分布列分別為E10987P0.50.30.10.1n10987P0.30.30.20.2(2)結(jié)合第一問中E,n的分布列可得E(E)=10X0.5+9X0.3+8X0.1+7X0.1=9.2,E(n)=10X0.3+9X0.3+8X0.2+7X0.2=8.7,D(E)=(10—9.2)2X0.5+(9—9.2)2X0.3+(8—9.2)2X0.1+(7—9.2)2X0.1=0.96,D(n)=(10—8.7)2X0.3+(9—8.7)2X0.3+(8—8.7)2X0.2+(7—8.7)2X0.2=1.21,由于E(E)〉E(n),說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙髙；又D(E)<D(n),說明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定，所以甲的技術(shù)比乙好.為防止風(fēng)沙危害,某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p,設(shè)E為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望E(E)=3,標(biāo)準(zhǔn)差JD(E)=申.求n,p的值并寫出E的分布列；若有3株或3株以上的沙柳未成活,則需要補(bǔ)種,求需要補(bǔ)種沙柳的概率.解：因?yàn)槊恳恢晟沉苫盥示鶠閜,種植了n株沙柳，相當(dāng)于做n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因此E

服從二項(xiàng)分布E?B(n,p).3⑴由E(E)=np=3,D(E)=np(l—p)=2,得1-P=2‘從而n=6,p=2.E的分布列為:得P得P(A)=1+6+15+202164=32.E0123456P丄61520156丄64646464646464⑵記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A,則P(A)=P(EW3),(選做題)根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對(duì)工期的影響如下表:降水量XX<300300WX〈700700WX〈900X2900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9,求：工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；在降水量至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率.解：(1)由已知條件有P(X<300)=0.3,P(300WX〈700)=P(X<700)—P(X<300)=0.7—0.3=0.4,P(700WX〈900)=P(X<900)—P(X<700)=0.9—0.7=0.2.P(X±900)=1—P(X〈900)=1—0.9=0.1.所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)=0X0.3+2X0.4+6X0.2+10X0.1=3,D(Y)=(0—3)2X0.3+(2—3)2X0.4+(6—3)2X0.2+(10—3)2X0.1=9.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8.⑵由概率的加法公式，得P(X±300)=1—P(X〈300)=0.7,又P(300WX〈900)=P(X<900)—P(X<300)=0.9—0.3=0.6.

由條件概率，得P(YW6|X2300)=P(X〈900|X2300)=—pd|300)—=罟=76故在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率是離散型隨機(jī)變量的均值與方差(強(qiáng)化練)1.已知隨機(jī)變量X的分布列為X123Pp1P2P3且已知E(X)=2,D(X)=0.5，求p1，p2,p3.解：根據(jù)題意得廠P]+P2+P3=1,①<p+2p+3p=2,②123、p(1—2)2+p(3—2)2=2,③132由③得p1+p3=2,④上式代入①得p2=2，代入②得p1+3p3=1,11-1p1-42．某公司春節(jié)聯(lián)歡會(huì)中設(shè)一抽獎(jiǎng)活動(dòng)：在一個(gè)不透明的口袋中裝入外形一樣，號(hào)碼分別為1,2,3,…，10的十個(gè)小球.活動(dòng)者一次從中摸出三個(gè)小球，三球號(hào)碼有且僅有兩個(gè)連號(hào)的為三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金30元；三球號(hào)碼都連號(hào)為二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金60元；三球號(hào)碼分別為1，5，10為一等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金240元；其余情況無獎(jiǎng)金.求：員工甲抽獎(jiǎng)一次所得獎(jiǎng)金的分布列與期望；員工乙幸運(yùn)地先后獲得四次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),他得獎(jiǎng)次數(shù)的方差是多少？解：(1)由題意知，甲抽一次獎(jiǎng)，基本事件總數(shù)是C；0=120,設(shè)甲抽獎(jiǎng)一次所得獎(jiǎng)金為E,則獎(jiǎng)金E的可能取值是0,30,60，240，所以P(E=240)=120,8P(E=60)=面=丄8P(E=60)=面=丄15,…、7X2+6X7P(E=30)=—120—715,115_7=1115=24所以E的分布列是(2)由(1)(2)由(1)可得，乙一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率是1－11_1324=24'四次抽獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的，03060240P117丄1241515120711所以已遂)=30塔+60勺+240乂面=20.所以中獎(jiǎng)次數(shù)n?BI4'規(guī)13所以13所以D(n)_4X2^X1114324_144.3．為了豐富學(xué)生的課余生活'促進(jìn)校園文化建設(shè)'我校高二年級(jí)通過預(yù)賽選出了6個(gè)班(含甲、乙)進(jìn)行經(jīng)典美文誦讀比賽決賽．決賽通過隨機(jī)抽簽方式?jīng)Q定出場順序．求：甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率；決賽中甲、乙兩班之間的班級(jí)數(shù)記為X,求X的均值和方差.解：(1)設(shè)“甲、乙兩班恰好在前兩位出場”為事件A,則P(A則P(A)_A2XA424A6丄15*所以甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率為吉(2)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4.P(X_0)_A2XA525=A6P(X_1)_4XA2XAP(X_0)_A2XA525=A6P(X_1)_4XA2XA4A6■4P(X_2)_A4XA2XA323"A615’P(X_3)_A3XA2XA2422A6215,P(X_4)_A4XA2■4A6丄15.隨機(jī)變量X的分布列為X01234

p141_2_丄315515151412144]24)214]2d(x)=3l°_3丿+薊_3丿+5l2_3丿+4]24)214]2d(x)=3l°_3丿+薊_3丿+5l2_3丿+315334.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的銷售量低于50個(gè)的概率；用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).解：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量都不低于100個(gè)且另1天銷售量低于50個(gè)”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)X50=0.6,P(A2)=0.003X50=0.15,P(B)=0.6X0.6X0.15X2=0.108.(2)X可能取的值為0,1,2，3,相應(yīng)的概率為P(X=0)=C0^(1—0.6)3=0.064，P(X=1)=C3?0.6X(1—0.6)2=0.288,P(X=2)=C2?0.62X(1—0.6)=0.432,3P(X=3)=C3^0.63=0.216.所以X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄?B(3,0.6)，所以期望E(X)=3X0.6=1.8,方差D(X)=3X0.6X(l—0.6)=0.72.5．現(xiàn)有如下投資方案，一年后投資盈虧的情況如下；投資股市投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%113概率288購買基金投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率P13q(1)已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進(jìn)行投資，如果一年后他們中4至少有一人獲利的概率大于I，求p的取值范圍；5(2)丙要將家中閑置的20萬元錢進(jìn)行投資，決定在“投資股市”“購買基金”這兩種方案中選擇一種，已知P=|,那么丙選擇哪種投資方案，才能使一年后投資收益的均值較大？給出結(jié)果并說明理由．解：⑴記事件A為“甲投資股市且獲利”，事件B為“乙購買基金且獲利”，事件C為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”，^qC=ABuABuAB,且A,B獨(dú)立.由題表可知，P(A)=2,P(B)=p.1111143所以P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=2^(1—p)+§p+2P=2+尹＞5，解得卩＞亍12又因?yàn)閜+§+q=l,q±0,所以pW§.(32所以p的取值范圍是(5,3.(2)假設(shè)丙選擇“投資股票”方案進(jìn)行投資，且記X為丙投資股票的獲利金額(單位：萬元)，所以隨機(jī)變量X的分布列為X80—4P1132881135則E(X)=8遠(yuǎn)+0爲(wèi)+(_4)爲(wèi)=2?假設(shè)丙選擇“購買基金”方案進(jìn)行投資，且記Y為丙購買基金的獲利金額(單位：萬元)，所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y40—2111P12361115則E(Y)=4爲(wèi)+0乂§+(—2