專升本(高數(shù)-)第三章一元函數(shù)積分學(xué)課件

成人高考高數(shù)一輔導(dǎo)蔡健農(nóng)業(yè)與生物工程學(xué)院CollegeofAgriculture&BiologicalEngineering成人高考高數(shù)一輔導(dǎo)第三章一元函數(shù)積分學(xué)(11年考了24分）一、不定積分二、定積分三、定積分的應(yīng)用第三章一元函數(shù)積分學(xué)(11年考了24分）一、不定積分本講出題在9分—15分之間，考點不多，一般在選擇題、填空題、計算題中出現(xiàn)，不定積分是定積分的基礎(chǔ)，定積分又是二重積分、曲線積分的基礎(chǔ)，技巧性比較大，希望同學(xué)們多練習(xí)。本講重點：（1）原函數(shù)、不定積分的概念和性質(zhì)。（2）直接積分方法、換元積分法。（3）湊微分技巧。本講難點：綜合利用積分方法求不定積分。考試點津：本講出題在9分—15分之間，考點不多，一般在選擇題、填空題、1．原函數(shù)的概念；2．不定積分的兩個性質(zhì)及一個推論；3．分項積分法；4．換元積分法；又可細分為湊微分法（重點）與變量代換法（主要是去根號）；5．分部積分法。有理函數(shù)積分、三角函數(shù)積分基本不考。即便考，用前面的方法也可解決。本章重點考核的知識點1．原函數(shù)的概念；本章重點考核的知識點第一節(jié)不定積分（一）、不定積分的概念與性質(zhì)（二）、不定積分的基本公式第三章一元函數(shù)積分學(xué)2011年考了16分（三）、換元積分法（四）、分部積分法第一節(jié)不定積分（一）、不定積分的概念與性質(zhì)（二）、不定積（一）不定積分的概念與性質(zhì)

1.原函數(shù)

設(shè)是定義在某區(qū)間上的已知函數(shù)，如果存在一個函數(shù)，使對于該區(qū)間任意，都有關(guān)系式：或成立，則稱函數(shù)為函數(shù)在該區(qū)間上的一個原函數(shù)。（一）不定積分的概念與性質(zhì)1.原函數(shù)例又因為：所以顯然，，，都是的一個原函數(shù)。例又因為：所以顯然，★由此不難得出：

（1）一個函數(shù)的原函數(shù)不惟一，且有無窮多個。

（2）同一函數(shù)的原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)。

（3）若為的一個原函數(shù)，則表示的所有原函數(shù)。

★由此不難得出：（1）一個函數(shù)的原函數(shù)不惟一，且有無窮任意常數(shù)積分符號被積函數(shù)被積表達式積分變量稱為在該區(qū)間I上的不定積分。即：設(shè)是在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則函數(shù)的全體原函數(shù)（c為任意常數(shù)）

2.不定積分（一）不定積分的概念與性質(zhì)

任意常數(shù)積分符號被積函數(shù)被積表達式積分變量稱為設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個原函數(shù)為，則

在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而的全部積分曲線所組成的積分曲線族。其方程為的圖象顯然可由這條曲線沿或向下平行移動就可以得到，這樣就得到一族曲線，因此，不定積分的幾何意義是軸向上設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個原函數(shù)為，則

在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而所組成的積分曲線族。其方程為的圖象顯然可由這條曲線沿或向下平行移動就可以得到，這樣就得到一族曲線，因此，不定積分的幾何意義是軸向上設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個原函數(shù)為，則

在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而如下圖所示：（一）不定積分的概念與性質(zhì)

3.不定積分的幾何意義設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個原函數(shù)為，則在幾何上表示一條

（一）不定積分的概念與性質(zhì)

4.原函數(shù)存在定理在定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)（即：一定有不定積分）。（一）不定積分的概念與性質(zhì)4.原函數(shù)存在定理定理1

微分運算與積分運算互為逆運算，即

定理2定理3（一）不定積分的概念與性質(zhì)

5.不定積分的性質(zhì)定理1微分運算與積分運算互為逆運算，即定理2定理基本積分表是常數(shù));（二）不定積分的基本積分公式

基本積分表是常數(shù));（二）不定積分的基本積分公式基本積分表（二）不定積分的基本積分公式

基本積分表（二）不定積分的基本積分公式A.

B

C.

D.

提示公式：2011年選擇、4分故選BA.BC.D.提示公式：20

提示公式：2011年填空、4分提示公式：2011年填空、4分

提示公式：2011年解答、8分提示公式：2011年解答、8分（三）換元積分法（重點掌握第一換元積分法）（三）換元積分法（重點掌握第一換元積分法）

2008年解答、8分2008年解答、8分專升本(高數(shù)—)第三章一元函數(shù)積分學(xué)ppt課件專升本(高數(shù)—)第三章一元函數(shù)積分學(xué)ppt課件專升本(高數(shù)—)第三章一元函數(shù)積分學(xué)ppt課件（四）分部積分法

（四）分部積分法專升本(高數(shù)—)第三章一元函數(shù)積分學(xué)ppt課件專升本(高數(shù)—)第三章一元函數(shù)積分學(xué)ppt課件2010年解答、8分2010年解答、8分內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不第二節(jié)定積分（一）基本概念與基本性質(zhì)（二）牛頓-萊布尼茲公式第三章一元函數(shù)積分學(xué)2011年考了8分（三）定積分的換元積分法和分部積分法（四）無窮區(qū)間上的反常積分第二節(jié)定積分（一）基本概念與基本性質(zhì)（二）牛頓-萊布尼茲abxyo實例1

（求曲邊梯形的面積）（一）基本概念與基本性質(zhì)1、定積分的定義abxyo實例1（求曲邊梯形的面積）（一）基本概念與基本abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形面積和越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩曲邊梯形如圖所示，b,xxxxxab][a,n1n210=<<<<<=-L個分點，內(nèi)插入若干在區(qū)間1.分割2.近似曲邊梯形如圖所示，b,xxxxxab][a,n1n210=<曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為3.求和4.取極限曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為3.求和4.取極限定義定義被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和注意：注意：定理1定理22.定積分存在定理定理定理1定理22.定積分存在定理定理對定積分的補充規(guī)定:說明在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大?。畬Χǚe分的補充規(guī)定:說明在下面的性曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值3.定積分的幾何意義曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值3.定積分的幾何意義幾何意義：幾何意義：小結(jié)１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限小結(jié)１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情況）性質(zhì)14.定積分的性質(zhì)（證明了解即可）證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情況）性質(zhì)14.定積證性質(zhì)2證性質(zhì)2補充：不論的相對位置如何,上式總成立.例若（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)3補充：不論的相對位置如何,上式總成立證性質(zhì)4性質(zhì)5證性質(zhì)4性質(zhì)5性質(zhì)5的推論：證（1）性質(zhì)5的推論：證（1）證說明：

可積性是顯然的.性質(zhì)5的推論：（2）證說明：證（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）性質(zhì)6證（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）性質(zhì)6證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分使即積分中值公式的幾何解釋：使即積分中值公式的幾何解釋：１．定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）２．典型問題（１）估計積分值；（２）不計算定積分比較積分大小．小結(jié)１．定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）２．典型1.積分上限函數(shù)2.牛頓-萊布尼茨公式（二）牛頓-萊布尼茨公式1.積分上限函數(shù)2.牛頓-萊布尼茨公式（二）牛頓-萊布尼考察定積分稱為積分上限函數(shù)。1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)的定義考察定積分稱為積分上限函數(shù)。1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)的定積分上限函數(shù)的性質(zhì)證積分上限函數(shù)的性質(zhì)證由積分中值定理得由積分中值定理得例1求解例1求解定理3（微積分基本公式）證2.牛頓—萊布尼茲公式(Newton-LeibnitzFormula)定理3（微積分基本公式）證2.牛頓—萊布尼茲公式(Newt令令牛頓—萊布尼茨公式令令牛頓—萊布尼茨公式微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.例求

解2012年填空，4分例求解2012年填空，4分例7求

解解面積例7求解解面積3.微積分基本公式1.積分上限函數(shù)2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小結(jié)牛頓－萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系．3.微積分基本公式1.積分上限函數(shù)2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小結(jié)

1.定積分的換元法（三）定積分的換元法

2.定積分的對稱性3.定積分的分部積分法1.定積分的換元法（三）定積分的換元法2.定積分的定理1.定積分的換元法定理1.定積分的換元法證證專升本(高數(shù)—)第三章一元函數(shù)積分學(xué)ppt課件應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1）（2）應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1）（2）例

計算解令2010年填空，4分例計算解令2010年填空，4分又解例

計算解又解例計算解注意注意注意:（1）（2）不可以！注意:（1）（2）不可以！證2.定積分的對稱性證2.定積分的對稱性專升本(高數(shù)—)第三章一元函數(shù)積分學(xué)ppt課件奇函數(shù)例解原式2011年選擇，4分所以選D奇函數(shù)例解原式2011年選擇，4分所以選D定積分的分部積分公式推導(dǎo)3.定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)3.定積分的分部積分公式幾個特殊積分、定積分的幾個等式定積分的換元法小結(jié)定積分的分部積分公式（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）幾個特殊積分、定積分的幾個等式定積分的換元法小結(jié)定積分的分部定義1（四）無窮區(qū)間上的反常積分（了解）定義1（四）無窮區(qū)間上的反常積分（了解）例１計算解例１計算解定義2定義2解.sin20ò￥-xdx計算例解.sin20ò￥-xdx計算例定義3定義3（一）求平面圖形的面積第三節(jié)定積分的應(yīng)用（二重積分和該項內(nèi)容考到可能性極大）（二）求旋轉(zhuǎn)體的體積2011年考了10分學(xué)習(xí)視頻/u79/v_NTY2NjgyNTY.html（一）求平面圖形的面積第三節(jié)定積分的應(yīng)用（二）求旋轉(zhuǎn)體的體回顧曲邊梯形求面積的問題1、定積分的元素法abxyo（一）求平面圖形的面積回顧曲邊梯形求面積的問題1、定積分的元素法abxyo（一）求面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值（4）求極限，得A的精確值面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值（4）求極abxyo提示面積元素abxyo提示面積元素專升本(高數(shù)—)第三章一元函數(shù)積分學(xué)ppt課件元素法的一般步驟：元素法的一般步驟：這個方法通常叫做元素法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積，體積。經(jīng)濟應(yīng)用。其他應(yīng)用。這個方法通常叫做元素法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積，體積。經(jīng)濟2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？，

2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？，2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？第二步：寫出面積表達式。2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？第二步：寫出面積2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2、求平面圖形的面積第二步：寫出面積表達式。如何用元素法分析？2、求平面圖形的面積第二步：寫出面積如何用元素法分析？解兩曲線的交點選為積分變量解兩曲線的交點選為積分變量解兩曲線的交點選為積分變量于是所求面積解兩曲線的交點選為積分變量于是所求面積于是所求面積于是所求面積xyoxyo觀察下列圖形，選擇合適的積分變量求其面積：考慮選擇x為積分變量，如何分析面積表達式？xyoxyo觀察下列圖形，選擇合適的積分變量求其面積：考慮選xyoxyo觀察下列圖形，選擇合適的積分變量：考慮選擇y為積分變量，如何分析面積表達式？xyoxyo觀察下列圖形，選擇合適的積分變量：考慮選擇y為積解兩曲線的交點選為積分變量解兩曲線的交點選