線面角及二面角的求法

第9節(jié)線面角及二面角的求法【基礎(chǔ)知識(shí)】求線面角、二面角的常用方法：(1)線面角的求法，找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．(2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角來度量．【規(guī)律技巧】平面角的作法常見的有①定義法；②垂面法．注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì)．【典例講解】【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．(1)求PB和平面PAD所成的角的大??；(2)證明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A－PD－C的正弦值．(1)解在四棱錐P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，從而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA，從而∠APB為PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°.(2)證明在四棱錐P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故CD⊥PA.由條件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，綜上得AE⊥平面PCD.【變式探究】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)證明PA∥平面EDB；(2)證明PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大?。?1)證明如圖所示，連接AC，AC交BD于O，連接EO.∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO.而EO?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB.【針對(duì)訓(xùn)練】1．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2eq\r(2)，PA＝2，E是PC上的一點(diǎn)，PE＝2EC.(1)證明：PC⊥平面BED；(2)設(shè)二面角A－PB－C為90°，求PD與平面PBC所成角的大?。?2)解在平面PAB內(nèi)過點(diǎn)A作AG⊥PB，G為垂足．因?yàn)槎娼茿－PB－C為90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.因?yàn)锽C與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD為正方形，AD＝2，PD＝eq\r(PA2＋AD2)＝2eq\r(2).設(shè)D到平面PBC的距離為d.因?yàn)锳D∥BC，且AD?平面PBC，BC?平面PBC，故AD∥平面PBC，A，D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等，即d＝AG＝eq\r(2).設(shè)PD與平面PBC所成的角為α，則sinα＝eq\f(d,PD)＝eq\f(1,2).所以PD與平面PBC所成的角為30°.【練習(xí)鞏固】1、如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過的平面交于F.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角余弦值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.3．（2014·湖北卷）如圖1-4，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)(1)當(dāng)λ＝1時(shí)，證明：直線BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．圖1-44．（2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ）如圖1-3，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．(1)證明：PB∥平面AEC；(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP＝1，AD＝eq\r(3)，求三棱錐E-ACD的體積．圖1-3設(shè)B(m，0，0)(m>0)，則C(m，eq\r(3)，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)，0)．設(shè)n1＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(AE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx＋\r(3)y＝0，,\f(\r(3),2)y＋\f(1,2)z＝0，))可取n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),m)，－1，\r(3))).又n2＝(1，0，0)為平面DAE的法向量，由題設(shè)易知|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(1,2)，即eq\r(\f(3,3＋4m2))＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(3,2).因?yàn)镋為PD的中