繞流運(yùn)動(dòng)課件

§8.1無(wú)旋流動(dòng)§8.2平面無(wú)旋流動(dòng)§8.3幾種簡(jiǎn)單的平面無(wú)旋流動(dòng)§8.4勢(shì)流的疊加§8.5

繞流運(yùn)動(dòng)與附面層基本概念§8.6

邊界層動(dòng)量方程§8.7平板層流附面層的近似計(jì)算§8.8平板上紊流附面層的近似計(jì)算§8.9曲面附面層的分離現(xiàn)象與卡門渦街§8.10繞流阻力和升力§8.1無(wú)旋流動(dòng)1§8.1無(wú)旋流動(dòng) 無(wú)旋流動(dòng)就是其流場(chǎng)中每個(gè)流體微團(tuán)不發(fā)生旋轉(zhuǎn)，角速度，即§8.1無(wú)旋流動(dòng) 無(wú)旋流動(dòng)就是其流場(chǎng)中每個(gè)流體微團(tuán)不發(fā)生2一速度勢(shì)函數(shù)有勢(shì)流動(dòng)（無(wú)旋流動(dòng)）流體微團(tuán)角速度，或得到所以上式成立，意味著在流動(dòng)空間構(gòu)成一個(gè)函數(shù)，滿足全微分的充分必要條件，用Φ(x,y,z,t)表示，該函數(shù)的全微分為：

(1)

全微分存在的充分必要條件：若u=f(x,y,z,t)的各偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，則有一速度勢(shì)函數(shù)全微分存在的充分必要條件：3

Φ函數(shù)的全微分（2）

比較（1）和（2）式，得到

（3）定義函數(shù)Φ(x,y,z,t)稱為勢(shì)函數(shù)，由Φ可計(jì)算得到速度，根據(jù)伯努利方程得到流場(chǎng)中壓強(qiáng)的分布。

4速度勢(shì)函數(shù)的特性

1勢(shì)函數(shù)的方向?qū)?shù)等于速度在該方向上的投影2

存在勢(shì)函數(shù)的流動(dòng)一定是無(wú)旋流動(dòng)3等勢(shì)面與流線正交4

不可壓縮流體中勢(shì)函數(shù)是調(diào)和函數(shù)

速度勢(shì)函數(shù)的特性5特性1

空間曲線s上任取一點(diǎn)M(x,y,z)，M點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)速度分量為vx、vy、vz，取速度勢(shì)函數(shù)的方向?qū)?shù)其中：，，而，，則速度的分量vx、vy、vz分別在曲線s的切線上的投影之和等于速度矢量本身的投影vs。速度勢(shì)函數(shù)沿任意方向取偏導(dǎo)數(shù)的值等于該方向上的速度分量。特性1空間曲線s上任取一點(diǎn)M(x,y,z)，M點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)6特性2

設(shè)對(duì)某一流動(dòng)，存在勢(shì)函數(shù)Φ(x,y,z,t)，流動(dòng)的角速度分量類似的推出可見(jiàn)，流場(chǎng)存在速度勢(shì)函數(shù)則流動(dòng)無(wú)旋，因此流動(dòng)無(wú)旋的充分必要條件勢(shì)流場(chǎng)有速度勢(shì)函數(shù)存在。特性2設(shè)對(duì)某一流動(dòng)，存在勢(shì)函數(shù)Φ(x,y,z,t)，流7特性3

等勢(shì)面：在任意瞬時(shí)t0，速度勢(shì)函數(shù)取同一值的點(diǎn)構(gòu)成流動(dòng)空間一個(gè)連續(xù)曲面，Φ(x,y,z,t0)=常數(shù)。在等勢(shì)面上取一點(diǎn)A，并在該面上過(guò)A任取一微元矢量，求與點(diǎn)A處速度的標(biāo)量積。因?yàn)棣?x,y,z,t0)=C，所以dΦ=0得到這說(shuō)明一點(diǎn)的速度矢量與過(guò)該點(diǎn)的等勢(shì)面是垂直的，又因?yàn)樗俣仁噶颗c流線方向一致，推出流線與等勢(shì)面垂直。

特性3等勢(shì)面：在任意瞬時(shí)t0，速度勢(shì)函數(shù)取同一值8特性4不可壓縮流體的連續(xù)性方程為

對(duì)于有勢(shì)流動(dòng)，，

即，滿足Laplace方程。而滿足Laplace方程的函數(shù)就叫做調(diào)和函數(shù)特性4不可壓縮流體的連續(xù)性方程為9§8.2平面無(wú)旋流動(dòng) 平面流動(dòng)是指對(duì)任一時(shí)刻，流場(chǎng)中各點(diǎn)的速度都平行于某一固定平面的流動(dòng)，并且流場(chǎng)中物理量（如溫度、速度、壓力、密度等）在流動(dòng)平面的垂直方向上沒(méi)有變化。即所有決定運(yùn)動(dòng)的函數(shù)僅與兩個(gè)坐標(biāo)及時(shí)間有關(guān)。在實(shí)際流動(dòng)中，并不存在嚴(yán)格意義上的平面流動(dòng)，而只是一種近似。如果流動(dòng)的物理量在某一個(gè)方向的變化相對(duì)其他方向上的變化可以忽略，而且在此方向上的速度很小時(shí)，就可簡(jiǎn)化為平面流動(dòng)問(wèn)題處理。（圖1）§8.2平面無(wú)旋流動(dòng) 平面流動(dòng)是指對(duì)任一時(shí)刻，流場(chǎng)中各點(diǎn)10繞流運(yùn)動(dòng)精品PPT課件11二流函數(shù)在平面流動(dòng)中，不可壓縮流動(dòng)的連續(xù)性方程為或?qū)懗桑?）（4）是–vydx+vxdy成為某一函數(shù)Ψ（x，y，t）全微分的充分必要條件，即（5）Ψ的全微分為（6）比較（5）和（6），得到

，符合上式條件的函數(shù)Ψ（x，y，t）叫做二維不可壓縮流場(chǎng)的流函數(shù)。

二流函數(shù)12流函數(shù)的特性1.沿同一流線流函數(shù)值為常數(shù)2.平面流動(dòng)中通過(guò)兩條流線間單位厚度的流量等于兩條流線上的流函數(shù)的差值3.在有勢(shì)流動(dòng)中流函數(shù)也是一調(diào)和函數(shù)流函數(shù)的特性1.沿同一流線流函數(shù)值為常數(shù)13特性1s為坐標(biāo)系XOY的任意一條流線，在s上任取一點(diǎn)作速度矢量，與流線相切，該點(diǎn)的微元流線段在x、y軸上的投影為dx、dy，在x、y軸上的投影為vx、vy

或由，得到在流線s上，Ψ的增量dΨ為0，說(shuō)明沿流線Ψ（x，y，t）為常數(shù)，而流函數(shù)的等值線，即Ψ（x，y，t）=C就是流線。因此，找到流函數(shù)后，可以知道流場(chǎng)中各點(diǎn)速度，還可以畫出流線。特性1s為坐標(biāo)系XOY的任意一條流線，14特性2

設(shè)Ψ1、Ψ2是兩條相鄰流線，作其間一曲線AB，求通過(guò)AB兩點(diǎn)間單位厚度的流量。(見(jiàn)下圖）在AB上作微元線段,過(guò)微元線段處的速度為，

,單位厚度的流量dq應(yīng)為通過(guò)dx的流量vydx和通過(guò)dy的流量vxdy之和，（vy<0）沿AB線段積分，由于沿流線流函數(shù)為常數(shù)，因此

特性2設(shè)Ψ1、Ψ2是兩條相鄰流線，作其間一曲線A15繞流運(yùn)動(dòng)精品PPT課件16特性3對(duì)平面勢(shì)流有將，代入上式得到即，滿足Laplace方程。所以在平面勢(shì)流中流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。特性3對(duì)平面勢(shì)流17三流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)的關(guān)系在平面勢(shì)流中有，

，交叉相乘得說(shuō)明等勢(shì)線族Φ(x,y,z,t)=C1與流函數(shù)族Ψ(x,y,z,t)=C2相互正交。在平面勢(shì)流中，流線族和等勢(shì)線族組成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)。

三流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)的關(guān)系18極坐標(biāo)(r,θ)中，徑向的微元線段是dr，圓周的微元線段是rdθ，速度勢(shì)函數(shù)Φ(r,θ,t)與vr、vθ的關(guān)系是，速度流函數(shù)Ψ(r,θ,t)與vr、vθ的關(guān)系是，速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系是

，極坐標(biāo)(r,θ)中，徑向的微元線段是dr，圓周的微元線19例1例120繞流運(yùn)動(dòng)精品PPT課件21例2例222例3例323繞流運(yùn)動(dòng)精品PPT課件24流線是一族以x軸和y軸為漸近線的雙曲線，等勢(shì)線是以直角平分線為漸近線的雙曲線族。將x軸看成是固壁，并且只觀察上半平面，則流動(dòng)沿y軸垂直的自上而下流向固壁，然后在原點(diǎn)處分開(kāi)，流向兩側(cè)。流線是一族以x軸和y軸為漸近線的雙曲線，等勢(shì)線是以直角平分線25§8.3幾種簡(jiǎn)單的

平面無(wú)旋流動(dòng)一均勻流二點(diǎn)源和點(diǎn)匯三點(diǎn)渦§8.3幾種簡(jiǎn)單的

平面無(wú)旋流動(dòng)一均勻流26一均勻流一均勻流27圖2均勻流示意圖圖2均勻流示意圖28二點(diǎn)源和點(diǎn)匯二點(diǎn)源和點(diǎn)匯29繞流運(yùn)動(dòng)精品PPT課件30

圖3a點(diǎn)源

圖3b點(diǎn)匯圖3a點(diǎn)源圖3b點(diǎn)匯31繞流運(yùn)動(dòng)精品PPT課件32三點(diǎn)渦

定義：流體質(zhì)點(diǎn)沿著同心圓的軌跡運(yùn)動(dòng)，且其速度大小與向徑r成反比的流動(dòng)。又被稱為自由渦。將坐標(biāo)原點(diǎn)置于點(diǎn)渦處，設(shè)點(diǎn)渦的強(qiáng)度為，則任一半徑r處流體的速度可由stokes定理得到,那么而求點(diǎn)渦的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)

對(duì)上面兩式積分，并令積分常數(shù)等于零，得到：等勢(shì)線是的線，流線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓。點(diǎn)渦的復(fù)勢(shì)是或

三點(diǎn)渦定義：流體質(zhì)點(diǎn)沿著同心圓的軌跡運(yùn)動(dòng)33圖4點(diǎn)渦示意圖圖4點(diǎn)渦示意圖34§8.4勢(shì)流的疊加勢(shì)流疊加原理有兩個(gè)流動(dòng)，它們的速度分布函數(shù)、速度勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)、復(fù)勢(shì)函數(shù)分別為、Φ1、Ψ1

、W1和、Φ2

、Ψ2

、W2，由于和都滿足線性Laplace方程，可以將和分別進(jìn)行疊加。將兩流動(dòng)合起來(lái)的復(fù)合流動(dòng)，其相應(yīng)量分別為、Φ

、Ψ

、W，存在以下關(guān)系：因此§8.4勢(shì)流的疊加勢(shì)流疊加原理35流動(dòng)變成n個(gè)，同樣將n個(gè)流動(dòng)疊加，復(fù)合流動(dòng)的相應(yīng)量定義：疊加多個(gè)流動(dòng)時(shí)，所得合成流動(dòng)的復(fù)勢(shì)即為分流動(dòng)的復(fù)勢(shì)的代數(shù)和，此即勢(shì)流的疊加原理。流動(dòng)變成n個(gè)，同樣將n個(gè)流動(dòng)疊加，復(fù)合流動(dòng)的相應(yīng)量36一螺旋流—點(diǎn)匯（源）+點(diǎn)渦

流動(dòng)形式為流體自外沿圓周切向進(jìn)入，又從中間不斷流出。點(diǎn)匯的復(fù)勢(shì)為點(diǎn)渦的復(fù)勢(shì)為將兩者疊加后得到的新流動(dòng)的復(fù)勢(shì)為得到新流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的表達(dá)式為

令上式等于常數(shù)，可以得到等勢(shì)線方程流線方程一螺旋流—點(diǎn)匯（源）+點(diǎn)渦流動(dòng)形式為流體37等勢(shì)線和流線為相互正交的對(duì)數(shù)螺旋線簇，稱為螺旋流。點(diǎn)匯+點(diǎn)渦→陰螺旋流點(diǎn)源+點(diǎn)渦→陽(yáng)螺旋流圖5螺旋流示意圖等勢(shì)線和流線為相互正圖5螺旋流示意圖38二偶極子流—點(diǎn)源+點(diǎn)匯

將源點(diǎn)設(shè)于A點(diǎn)（-a,0），匯點(diǎn)于B點(diǎn)（a,0），強(qiáng)度都為q，點(diǎn)源的復(fù)勢(shì)為點(diǎn)匯的復(fù)勢(shì)為將點(diǎn)源和點(diǎn)匯疊加后的新流動(dòng)的復(fù)勢(shì)為若源點(diǎn)和匯點(diǎn)無(wú)限接近，即,如果強(qiáng)度不變時(shí)，匯點(diǎn)將源中流出的流體全部吸掉而不發(fā)生任何流動(dòng)。二偶極子流—點(diǎn)源+點(diǎn)匯將源點(diǎn)設(shè)于A點(diǎn)（39

若在2a逐漸縮小時(shí)，強(qiáng)度q逐漸增強(qiáng)，當(dāng)2a減小到零時(shí)，q應(yīng)增加到無(wú)窮大，以使保持一個(gè)有限值，即，在這一極限狀態(tài)下的流動(dòng)稱為偶極子流，M是偶極矩，方向從點(diǎn)源到點(diǎn)匯。偶極子流的復(fù)勢(shì)為或新流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為

繞流運(yùn)動(dòng)精品PPT課件40求等勢(shì)線方程和流線方程1．等勢(shì)線方程由于，有得到整理后等勢(shì)線方程為表示一族圓心在x軸上，并與y軸在原點(diǎn)相切的圓2．流線方程由于，有得到整理后得流線方程為表示一族圓心在y軸上，并與y軸在原點(diǎn)處相切的圓。求等勢(shì)線方程和流線方程41圖6偶極子流示意圖圖6偶極子流示意圖42圓柱體繞流

設(shè)有一速度為的均勻流，從與圓柱體垂直的方向繞過(guò)一半徑為r0的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體，這樣的流動(dòng)看成是平面流動(dòng)。均勻流繞過(guò)圓柱體時(shí)，由于受到圓柱的阻擋，繞過(guò)柱體附近的流體質(zhì)點(diǎn)受到擾動(dòng)，偏離原來(lái)的直線路徑，而離柱體越遠(yuǎn)，擾動(dòng)越小，在無(wú)窮遠(yuǎn)的地方，完全不受擾動(dòng)，作均勻流動(dòng)。圓柱體繞流可以分為兩種情況。

一圓柱體無(wú)環(huán)量繞流二圓柱體有環(huán)量繞流圓柱體繞流設(shè)有一速度為的均勻流43

圖7繞無(wú)窮長(zhǎng)圓柱的流動(dòng)圖7繞無(wú)窮長(zhǎng)圓柱的流動(dòng)44一圓柱體無(wú)環(huán)量繞流由均勻流和偶極子流疊加而成的平面流動(dòng)。

1.勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)均勻流和偶極子流的復(fù)勢(shì)分別為根據(jù)勢(shì)流疊加原理，均勻流和偶極子流疊加形成的新流動(dòng)的復(fù)勢(shì)為

那么速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為

(1)

一圓柱體無(wú)環(huán)量繞流由均勻流和偶極子流疊加而成的平面流動(dòng)。45代入得到直角坐標(biāo)下的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)（2）令，即得到零流線方程為零流線是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑的圓周和x軸，零流線到A處分成兩股，沿上下兩個(gè)半圓周流到B點(diǎn)，又重新匯合。將代入方程（1）中，那么均勻流繞過(guò)圓柱體無(wú)環(huán)量繞流的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)可以寫成

（）（3）代入46圖8均勻流繞過(guò)圓柱體無(wú)環(huán)量的流動(dòng)圖8均勻流繞過(guò)圓柱體無(wú)環(huán)量的流動(dòng)4712．速度分布流場(chǎng)中任意一點(diǎn)P（x，y）的速度分量為（4）在或處，，，這說(shuō)明在無(wú)窮遠(yuǎn)處流動(dòng)變成均勻流。在極坐標(biāo)系中，速度分量為沿包圍圓柱體的圓形周線的速度環(huán)量為均勻流繞過(guò)圓柱體的平面流動(dòng)的速度環(huán)量等于零，故稱為圓柱體無(wú)環(huán)量繞流。當(dāng)時(shí)，在圓柱面上，速度分布為（5）12．速度分布48

說(shuō)明，流體沿圓柱表面只有切向速度，沒(méi)有徑向速度，符合流體既不穿入又不脫離圓柱面的實(shí)際情況。在圓柱面上速度是按照正弦曲線分布的，在（B點(diǎn)）和（A點(diǎn)）處，，A、B二點(diǎn)是分流點(diǎn)，也稱為駐點(diǎn)。在處，達(dá)到最大值，，即等于無(wú)窮遠(yuǎn)處來(lái)流速度的2倍。說(shuō)明，流體沿圓柱表面只有切向速度，沒(méi)有徑向速度，符合流493.壓力分布圓柱面上任意點(diǎn)的壓力，可以由Bernoulli方程計(jì)算將圓柱表面的速度分布(5)代入上式得到

(6)如采用壓力系數(shù)來(lái)表示，根據(jù)Bernoulli方程定義將ｐ代入上式，得到用Ｃｐ表示流體作用于物體表面上的壓力是無(wú)量綱量，與圓柱體半徑、均勻流速度無(wú)關(guān)，只與表面位置有關(guān)。3.壓力分布50圖9壓強(qiáng)系數(shù)沿圓柱面的分布圖9壓強(qiáng)系數(shù)沿圓柱面的分布514.合力從壓力分布看出，在圓柱面上壓力對(duì)稱于ｘ軸、ｙ軸，那么柱面上合力等于０。流體作用在圓柱體上的總壓力分解成ｘ、ｙ方向上的分力Ｆｘ、Ｆｙ，分別為與來(lái)流平行和垂直的作用力，稱為流體作用在柱體上的阻力Ｄ和升力Ｌ。有（７）理想流體的均勻流繞過(guò)圓柱體的無(wú)環(huán)量繞流中，圓柱體不受阻力和升力作用。事實(shí)上，實(shí)際流體由于粘性作用，繞過(guò)圓柱產(chǎn)生摩擦力，而且在圓柱繞流后面部分形成脫流和尾跡，流動(dòng)圖形和理想流體繞流截然不同。就是說(shuō)，在實(shí)際流體繞流圓柱體中，會(huì)產(chǎn)生阻力。4.合力52二圓柱體有環(huán)量繞流在前面無(wú)環(huán)量繞流基礎(chǔ)上，讓圓柱體以等角速度繞其軸心旋轉(zhuǎn)，形成有環(huán)量繞流。

1.勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)設(shè)定圓柱順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。有環(huán)量繞流是由均勻流、偶極子流、點(diǎn)渦疊加而成，其復(fù)勢(shì)分別為

(8)疊加后的復(fù)勢(shì)為二圓柱體有環(huán)量繞流在前面無(wú)環(huán)量繞流基礎(chǔ)上，讓圓柱體以等角53其速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為

(9)

2.速度分布流場(chǎng)中任一點(diǎn)P(r,θ)處的速度為

(10)當(dāng)時(shí)，，即的圓周是一條流線，圓柱面上速度分布為

(11)

其速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為54

這說(shuō)明流體與圓柱體沒(méi)有分離現(xiàn)象，只有沿著圓周切線方向的速度。當(dāng)時(shí)，，，說(shuō)明在遠(yuǎn)離圓柱體處流體為均勻流。

當(dāng)點(diǎn)渦的強(qiáng)度時(shí)，在圓柱體的上部環(huán)流的速度方向與均勻流的速度方向相同，而在下部則相反。疊加的結(jié)果在上部速度增高，而在下部速度降低，這樣就破壞了流線關(guān)于x軸的對(duì)稱性，使駐點(diǎn)A和B離開(kāi)了x軸，向下移動(dòng)。為了確定駐點(diǎn)的位置，令(11)中，得到駐點(diǎn)的位置角為

(12)這說(shuō)明流體與圓柱體沒(méi)有分離現(xiàn)象，只有沿著圓周切線方向55若，則，圓柱面上的兩個(gè)駐點(diǎn)左右對(duì)稱，并位于第三和第四象限內(nèi)，且A、B兩駐點(diǎn)隨值的增加而向下移動(dòng)，并互相靠攏。若，則，圓柱面上不存在駐點(diǎn)，駐點(diǎn)脫離圓柱面沿y軸向下移到某一位置。令(10)中的和，得到兩個(gè)位于y軸上的駐點(diǎn)，一個(gè)在圓柱體內(nèi)，另一個(gè)在圓柱體外。事實(shí)上，只有一個(gè)在圓柱體外的自由駐點(diǎn)A，全流場(chǎng)由經(jīng)過(guò)駐點(diǎn)A的閉合流線劃分為內(nèi)、外兩個(gè)區(qū)域，外部區(qū)域是均勻流繞過(guò)圓柱體有環(huán)量的流動(dòng)，在閉合流線和圓柱面之間的內(nèi)部區(qū)域自成閉合環(huán)流，但流線不是圓形的。如果疊加的點(diǎn)渦強(qiáng)度，駐點(diǎn)的位置與上面討論的情況正好相差180°。由此可見(jiàn)，駐點(diǎn)的位置不簡(jiǎn)單取決于，而取決于。若，則56圖10均勻流繞過(guò)圓柱體有環(huán)量的流動(dòng)圖10均勻流繞過(guò)圓柱體有環(huán)量的流動(dòng)573.壓力分布將圓柱面上的速度分布(11)代入Bernoulli方程，得到

(13)3.壓力分布584.合力圓柱體上取一微元線段，單位長(zhǎng)度上圓柱體所受到的力，力沿x和y軸方向上的分量為

沿整個(gè)圓柱面進(jìn)行積分得到

(14)將圓柱面壓強(qiáng)(13)代入上式，得到說(shuō)明圓柱有環(huán)量繞流的阻力為零。4.合力59

（15）

這就是庫(kù)塔-儒可夫斯基升力公式。從上面的分析可以看出理想流體有環(huán)量圓柱繞流時(shí)，作用于單位長(zhǎng)度圓柱體上的合力垂直于均勻來(lái)流，大小等于流體密度、來(lái)流速度和速度環(huán)量三者的乘積。升力的方向由來(lái)流速度的方向沿環(huán)量的反方向旋轉(zhuǎn)90°確定。

60

圖11升力的方向圖11升力的方向61§8.5

繞流運(yùn)動(dòng)與附面層

基本概念

用N-S方程可以得到小雷諾數(shù)流動(dòng)條件下的近似解，工程上涉及到大雷諾數(shù)流動(dòng)，要尋求新的近似方法。在實(shí)際流體繞流固體時(shí)，固體邊界上的流速為0，在固體邊界的外法線方向上的流體速度從0迅速增大，在邊界附近的流區(qū)存在相當(dāng)大的速度梯度，在這個(gè)流區(qū)內(nèi)粘性作用不能忽略，邊界附近的流區(qū)稱為邊界層（或附面層），邊界層外流區(qū)，粘性作用可以忽略，當(dāng)作理想流體來(lái)處理。§8.5

繞流運(yùn)動(dòng)與附面層

基本概念

用N62如圖，平板前方均勻來(lái)流的速度v∞，從平板前緣開(kāi)始形成邊界層，其厚度沿流增加。在邊界層外緣附近流速漸近于當(dāng)?shù)赝饬魉俣?。認(rèn)為邊界層厚度是沿表面法線方向從到的一段距離。邊界層定義：繞流物體表面上一層厚度很小且其中的流動(dòng)具有很大法向速度梯度的流動(dòng)區(qū)域。注意：對(duì)于平板繞流，邊界層外緣，對(duì)于彎曲固壁，邊界層外緣。

邊界層的外邊界線與流線不重合，外流區(qū)域中的流體質(zhì)點(diǎn)可以連續(xù)地穿過(guò)邊界層的外緣進(jìn)入邊界層內(nèi)。如圖，平板前方均勻來(lái)流的速度v∞，從平板前緣開(kāi)始形注意：63§8.6

邊界層動(dòng)量方程

流體繞流中作用在物體上的力可以分為垂直于來(lái)流方向的升力和平行于來(lái)流方向的阻力，繞流阻力可以分成摩擦阻力與形狀阻力，都與邊界層有關(guān)。繞流阻力作用表現(xiàn)在于邊界層內(nèi)流速的降低，引起動(dòng)量的變化。通過(guò)建立邊界層的動(dòng)量方程來(lái)研究摩擦阻力。沿物體的曲面取x軸，沿物體表面法線取y軸，在物體表面取邊界層微元段ABCD，把它放大，x軸便成為直線，線段BD長(zhǎng)為dx，AC為邊界層外邊界，AB、CD垂直于物體表面?！?.6

邊界層動(dòng)量方程

流64假設(shè)：①

不計(jì)質(zhì)量力②

流動(dòng)為定常流動(dòng)③

dx無(wú)限小，BD、AC可看成直線由動(dòng)量方程（1）MCD、MAB、MAC分別為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)CD、AB、AC面的流體動(dòng)量在x軸上的分量，∑Fx為作用在微元面積段上所有外力合力在x軸上的投影。由控制面AB沿x方向流入動(dòng)量（2）由控制面CD沿x方向流出動(dòng)量（3）由控制面AC沿x方向流入動(dòng)量（4）

假設(shè)：65因?yàn)?，所以邊界層?nèi)邊界就是物體表面，其流速為0，其壓強(qiáng)等于邊界層外邊界的壓強(qiáng)，即沿物體表面的法線y方向壓強(qiáng)不變，p與y無(wú)關(guān)，可用全微分代替偏微分，上式可寫作（5）將（2）、（3）、（4）、（5）代入（1）得到（6）方程（6）就是邊界層積分方程，由馮·卡門首先推導(dǎo)出來(lái)的，稱作卡門動(dòng)量積分方程。因?yàn)?，所?6§8.7平板層流附面層的近似計(jì)算

邊界層動(dòng)量方程當(dāng)時(shí)，有5個(gè)未知量，其中的v∞用前面的勢(shì)流理論求解，p由伯努利方程計(jì)算，還剩下、、3個(gè)未知量，補(bǔ)充2個(gè)方程，一是邊界層內(nèi)流速分布的關(guān)系式，二是切應(yīng)力與邊界層厚度的關(guān)系式。后者根據(jù)流速分布的關(guān)系式求解得到。通常在計(jì)算邊界層動(dòng)量積分方程時(shí)，先假定流速分布。這里將就如何應(yīng)用動(dòng)量積分方程求解平板繞流作介紹?！?.7平板層流附面層的近似計(jì)算67在二維定常均速流場(chǎng)中，在流動(dòng)方向上放置一極薄的光滑平板，平板前端取作坐標(biāo)原點(diǎn)，平板表面為x軸，來(lái)流速度v∞平行于平板。由于平板極薄，邊界層外部的流動(dòng)不受平板的影響，因此邊界層外邊界上流速處處相等，等于來(lái)流速度v∞。由于流速不變，邊界層外邊界上壓強(qiáng)p也處處相等，。對(duì)于不可壓縮流體，平板繞流邊界層動(dòng)量方程可寫成：（1）該方程適用于層流和紊流邊界層。在二維定常均速流場(chǎng)中，在流動(dòng)方向上放置一極薄的光滑68設(shè)定平板上為層流邊界層，首先補(bǔ)充邊界層流速分布關(guān)系式，假定層流邊界層內(nèi)的流速分布與管流中的層流速度分布相同，即應(yīng)用于層流邊界層，流速分布為或（2）補(bǔ)充第二個(gè)關(guān)系式，由牛頓內(nèi)摩擦定律，求平板上的切應(yīng)力

上式中負(fù)號(hào)表示切應(yīng)力和x軸的方向相反，用其絕對(duì)值（3）設(shè)定平板上為層流邊界層，首先補(bǔ)充邊界層流速分布69把（2）、（3）代入（1）對(duì)于某固定斷面是定值可提到積分號(hào)之外，v∞沿x方向不變，可以提到對(duì)x的全導(dǎo)數(shù)之外，最后得到沿x方向的變化關(guān)系式當(dāng)，時(shí)，，因此上式化簡(jiǎn)為（4）方程（4）是平板邊界層厚度沿s方向的變化關(guān)系式。把（4）代入（3）（5）（5）為平板層流邊界層的切應(yīng)力沿x方向的變化關(guān)系式。把（2）、（3）代入（1）70作用在平板一面上的總摩擦阻力Df為（6）b為平板寬度，L為平板厚度。求平板兩面的總摩擦阻力只需乘以2。通常將繞流摩擦阻力計(jì)算公式寫成下列形式（7）Cf—無(wú)因次摩擦阻力系數(shù)；A—平板面積。將（6）和（7）對(duì)照得到即（8）ReL是以板長(zhǎng)L為特征長(zhǎng)度的Re數(shù)，（8）適用范圍3×105<ReL<106。作用在平板一面上的總摩擦阻力Df為71§8.8平板上紊流

附面層的近似計(jì)算

假定整個(gè)平板上都是紊流邊界層，首先補(bǔ)充邊界層流速分布關(guān)系式，紊流邊界層內(nèi)的流速分布用圓管中紊流光滑區(qū)的速度分布，即應(yīng)用到紊流邊界層，速度分布為（9）切應(yīng)力借用圓管關(guān)系式（10）將（9）和（10）代入（1），積分得到當(dāng)，時(shí)，，因此（11）把（11）代入（10）得到（12）§8.8平板上紊流

附面層的近似計(jì)算假定整個(gè)平板上都是紊72平板一面的摩擦阻力為用表示，得到（13）注意：實(shí)驗(yàn)表明，將上式中的0.072改成0.074效果要好些與層流邊界層相比，Re增加時(shí)，紊流的Cf減小得要慢些，（13）適用范圍3×105<ReL<107。當(dāng)ReL>107時(shí)流速分布變化（14）平板一面的摩擦阻力為73平板上混合邊界層的計(jì)算

前面假定整個(gè)平板上是層流或紊流邊界層，實(shí)際上，當(dāng)Re增大到一定數(shù)值時(shí)，平板長(zhǎng)度達(dá)到一定長(zhǎng)度，即時(shí)，平板前部是層流邊界層，后部是紊流邊界層，中間有一過(guò)渡段，這種邊界層稱為混合邊界層。計(jì)算時(shí)引入假設(shè)：（1）層流邊界層轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鬟吔鐚邮窃谔幫蝗话l(fā)生，無(wú)過(guò)渡段；（2）混合邊界層的紊流邊界層可以看作是從平板的首端開(kāi)始的紊流邊界層的一部分。平板上混合邊界層的計(jì)算前面假定整個(gè)平板上是層74那么，整個(gè)混合邊界層平板上的總摩擦阻力由層流邊界層的摩擦阻力和紊流邊界層的摩擦阻力兩部分組成。Cfm—混合邊界層摩阻系數(shù)；Cft—紊流邊界層摩阻系數(shù)；Cfl—層流邊界層摩阻系數(shù)；xk—轉(zhuǎn)折點(diǎn)到平板首端的距離?；?jiǎn)后，（15）那么，整個(gè)混合邊界層平板上的總摩擦阻力由層流邊界75§8.9曲面附面層的分離現(xiàn)象與卡門渦街流體繞過(guò)非線型鈍頭物體時(shí)，較早脫離物體表面，在物體后部形成較寬闊的尾流區(qū)，在邊界層內(nèi)，流體質(zhì)點(diǎn)在某些情況下向邊界層外流動(dòng)的現(xiàn)象稱為邊界層從固體分離。以圓柱繞流為例，虛線為邊界層外邊界?！?.9曲面附面層的分離現(xiàn)象與卡門渦街76注意：C點(diǎn)的位置