彈性力學(xué)簡明教程-第四版-徐芝綸第六章課件

第六章用有限元法解平面問題第五節(jié)單元的結(jié)點力列陣與勁度列陣第四節(jié)單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣第三節(jié)單元的位移模式與解答的收斂性第二節(jié)有限單元法的概念第一節(jié)基本量及基本方程的矩陣表示概述第六節(jié)荷載向結(jié)點移置單元的結(jié)點荷載列陣第六章用有限元法解平面問題第五節(jié)單元的結(jié)點力列陣與勁第六章用有限元法解平面問題例題第十一節(jié)應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法的基本方程第十節(jié)計算實例第九節(jié)計算成果的整理第八節(jié)解題的具體步驟單元的劃分第七節(jié)結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點平衡方程組習(xí)題的提示與答案教學(xué)參考資料第六章用有限元法解平面問題例題第十一節(jié)應(yīng)用變分原理導(dǎo)出第六章用有限單元法解平面問題概述1.有限元法(FiniteElementMethod，簡稱FEM)—是彈力的一種近似解法。首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再應(yīng)用結(jié)力方法或變分法進行求解。FEM2.FEM的特點

（1）具有通用性和靈活性。第六章用有限單元法解概述FEM2.FEM的特點簡史3.FEM簡史

FEM是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法。1943年柯朗第一次在論文中提出了FEM的概念。（2）對同一類問題，可以編制出通用程序，應(yīng)用計算機進行計算。（3）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達到工程要求的精度。簡史3.FEM簡史（2）對同一類問題，可以編制出通用程1956年，特納等人提出了FEM。20世紀(jì)50年代，平面問題的FEM建立，并應(yīng)用于工程問題。1960年提出了FEM的名稱。20世紀(jì)60年代后，F(xiàn)EM應(yīng)用于各種力學(xué)問題和非線性問題，并得到迅速發(fā)展。1970年后，F(xiàn)EM被引入我國，并很快地得到應(yīng)用和發(fā)展。簡史1956年，特納等人提出了FEM。簡史導(dǎo)出方法5.本章介紹平面問題的FEM，僅敘述按位移求解的方法。且一般都以平面應(yīng)力問題來表示。4.FEM的兩種主要導(dǎo)出方法:應(yīng)用結(jié)力方法導(dǎo)出。應(yīng)用變分法導(dǎo)出。導(dǎo)出方法5.本章介紹平面問題的FEM，僅敘述按位4.§6-1基本量和基本方程的

矩陣表示

采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序。本章無特別指明，均表示為平面應(yīng)力問題的公式。§6-1基本量和基本方程的

矩陣表面力位移函數(shù)應(yīng)變應(yīng)力結(jié)點位移列陣結(jié)點力列陣

基本物理量：體力基本物理量面力基本物理量：體力基本物理量物理方程其中D為彈性矩陣，對于平面應(yīng)力問題是FEM中應(yīng)用的方程：幾何方程應(yīng)用的方程物理方程FEM中應(yīng)用的方程：幾何方程應(yīng)用的方程——結(jié)點虛位移，——對應(yīng)的虛應(yīng)變。在FEM中，用結(jié)點的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。應(yīng)用的方程ij虛功方程其中——結(jié)點虛位移，應(yīng)用的方程ij虛功方程其中

以下來導(dǎo)出FEM。1.結(jié)構(gòu)離散化——將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)；§6-2有限單元法的概念

FEM的概念，可以簡述為：用方法求解彈力問題結(jié)力。即

1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)。2.再應(yīng)用結(jié)力方法進行求解。FEM的概念以下來導(dǎo)出FEM。§6-2有限單元法的概念

結(jié)力研究的對象是離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，各單元（桿件）之間除結(jié)點鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)系（圖（a））。彈力研究的對象，是連續(xù)體（圖（b）)。結(jié)構(gòu)離散化圖6-2結(jié)力研究的對象是離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，

將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)（圖（c））：即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點處用絞連結(jié)起來，構(gòu)成所謂‘離散化結(jié)構(gòu)’。結(jié)構(gòu)離散化將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)（圖（c））：即將連續(xù)體劃分

與相比，兩者都是離散化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖（c）的單元是三角形塊體（注意：三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。結(jié)構(gòu)離散化例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點用鉸連接起來。圖（c）圖（a）與相比，兩者都是離散化結(jié)2.應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法(位移法)進行求解:

分析步驟如下：結(jié)力法求解仿照桁架的結(jié)力位移法，來求解圖（c）的平面離散化結(jié)構(gòu)。其中應(yīng)注意，三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體，應(yīng)按彈力方法進行分析。2.應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法(位移法)進行求解:分析步驟（2)應(yīng)用插值公式,由單元結(jié)點位移，求單元的位移函數(shù)（1）取各結(jié)點位移

為基本未知量。然后對每個單元,分別求出各物理量,并均用來表示。結(jié)力法求解這個插值公式稱為單元的位移模式，表示為（2)應(yīng)用插值公式,由單元結(jié)點位移（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力，求出

單元的結(jié)點力，表示為（4）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變，求出

單元的應(yīng)力，表示為（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)d，

求出單元的應(yīng)變，表示為結(jié)力法求解（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力，求出（4）應(yīng)用物理方——結(jié)點對單元的作用力，作用于單元，稱為結(jié)點力，以正標(biāo)向為正。

——單元對結(jié)點的作用力，與數(shù)值相同,方向相反，作用于結(jié)點。結(jié)力法求解——結(jié)點對單元的（6）將每一單元中的各種外荷載，按虛功等效原則移置到結(jié)點上，化為結(jié)點荷載，表示為結(jié)力法求解（6）將每一單元中的各種外荷載，按虛功結(jié)力法求解各單位移置到i結(jié)點上的結(jié)點荷載其中表示對圍繞i結(jié)點的單元求和；結(jié)力法求解(7)對每一結(jié)點建立平衡方程。各單元對i結(jié)點的結(jié)點力作用于結(jié)點i上的力有：為已知值,是用結(jié)點位移表示的值。通過求解聯(lián)立方程，得出各結(jié)點位移值，并從而求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。各單位移置到i結(jié)點上的結(jié)點荷載結(jié)力法求解(7)對每一結(jié)點結(jié)力法求解

整體分析：建立結(jié)點平衡方程組，求解各結(jié)點的位移。2.應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解離散化結(jié)構(gòu),

對單元進行分析：求出（1）單元的位移模式，（2）單元的應(yīng)變和應(yīng)力列陣，（3）單元的結(jié)點力列陣，（4）單元的結(jié)點荷載列陣。1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)。歸納起來，F(xiàn)EM分析的主要內(nèi)容：結(jié)力法求解整體分析：2.應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解離散化結(jié)構(gòu),

思考題1.桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形塊體，在三角形內(nèi)仍是作為連續(xù)體來分析的。試考慮后者在用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解時，將會遇到什么困難？2.在平面問題中，是否也可以考慮其它的單元形狀，如四邊形單元？思考題FEM是取結(jié)點位移為基本未知數(shù)的。但其中每一個單元仍是連續(xù)體，所以按彈力公式求應(yīng)變、應(yīng)力時，必須首先解決：如何由單元的結(jié)點位移來求出單元的位移函數(shù)應(yīng)用插值公式，可由求出位移d。這個插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱為位移模式?！?-3單元的位移模式與

解答的收斂性位移模式FEM是取結(jié)點位移為基本未知數(shù)的。但其中每一

泰勒級數(shù)展開式中，低次冪項是最重要的?！嗳切螁卧奈灰颇Ｊ剑扇椴逯倒皆诮Y(jié)點應(yīng)等于結(jié)點位移值由此可求出三角形單元三角形單元其中包含將式按未知數(shù)歸納，可表示為或用矩陣表示為三角形單元其中包含N—稱為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。三角形單元N—稱為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。三角形單元A為三角形的面積（圖示坐標(biāo)系中，按逆時針編號），其中三角形單元A為三角形的面積（圖示坐標(biāo)系中三結(jié)點三角形單元的位移模式，略去了二次以上的項，因而其誤差量級是且其中只包含了的一次項，所以在單元中的分布如圖（a）所示，的分布如圖所示。三角形單元(a)(b)(c)圖6-51三結(jié)點三角形單元的位移模式，略去了二次

FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。所以當(dāng)單元趨于很小時，即時，為了使FEM之解逼近于真解，即為了

保證FEM收斂性,位移模式應(yīng)滿足下列條件：

收斂性條件FEM中以后的一系列工作，都是以（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。

（2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。因為當(dāng)單元時，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量——剛體位移和常量位移。收斂性條件（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。收斂性條件收斂性條件可見剛體位移項在式（a）中均已反映。與剛體位移相比，將式（a）寫成收斂性條件可見剛體位移項在式（a）中均已反映。與剛體位移相比（3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。即應(yīng)盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù)性。在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)；在兩單元邊界ij

上，之間均為線性變化，也為連續(xù)。對式（a）求應(yīng)變，得收斂性條件可見常量應(yīng)變也已反映。（3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。對式（a）求應(yīng)變，得為了保證FEM的收斂性，（1）和（2）是必要條件，而加上（3）就為充分條件。收斂性條件為了保證FEM的收斂性，（1）和

思考題1.應(yīng)用泰勒級數(shù)公式來選取位移模式，為什么必須從低次項開始選?。?.試考慮：將結(jié)構(gòu)力學(xué)解法引入到求解連續(xù)體的問題時，位移模式的建立是一個關(guān)鍵性工作，它使得單元(連續(xù)體)內(nèi)部的分析工作都有可能進行了。

思考題§6-4單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣位移函數(shù)其中，單元中的位移函數(shù)已用位移模式表示為§6-4單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣位移函數(shù)其中，單元中的

應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣：應(yīng)變應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣：應(yīng)變應(yīng)變S——稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，寫成分塊形式為再應(yīng)用物理方程，求出單元的應(yīng)力列陣：B——稱為應(yīng)變矩陣，用分塊矩陣表示，應(yīng)變S——稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，寫成分塊形式為再應(yīng)用物理方程，求對于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常量，因此，稱為常應(yīng)變（應(yīng)力）單元。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級是其精度比位移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力是跳躍式的。

應(yīng)力對于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)思考題1.如果在位移模式中取到泰勒級數(shù)中的二次冪項，略去高階小量，試考慮位移、應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級。

思考題§6-5單元的結(jié)點力列陣與

勁度矩陣現(xiàn)在來考慮其中一個單元：模型圖6-7在FEM中，首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型。§6-5單元的結(jié)點力列陣與

（2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)系，只在結(jié)點互相聯(lián)系。（1）將作用于單元上的各種外荷載，按靜力等效原則移置到結(jié)點上去，化為等效結(jié)點荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。（2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)（1）將作用于單元上的假想將單元與結(jié)點i切開，則其數(shù)值與相同，而方向相反。結(jié)點力以沿正坐標(biāo)向為正。對單元而言，這是作用于單元上的‘外力’。

單元作用于結(jié)點的力，為

結(jié)點作用于單元上的力，稱為結(jié)點力，假想將單元與結(jié)點i切開，則其數(shù)值與相同，而方向按虛功方程，在虛位移上，外力的虛功等于

應(yīng)力的虛功。結(jié)點力而其內(nèi)部有應(yīng)力作用，考察已與結(jié)點切開后的單元，則此單元上作用有外力——結(jié)點力，應(yīng)用虛功方程，求單元的結(jié)點力：按虛功方程，在虛位移上，外力的虛功等于結(jié)點力而其內(nèi)部有應(yīng)力

假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點虛位移則單元內(nèi)任一點（x,y）的虛位移為單元內(nèi)任一點（x,y）的虛應(yīng)變?yōu)?/p>

代入虛功方程：在單元中，外力（結(jié)點力）在虛位移（結(jié)點虛位移）上的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功，即虛功方程虛功方程式(b)是由應(yīng)力求結(jié)點力的一般公式。因為是獨立的任意的虛位移，虛功方程對任意的均應(yīng)滿足，∴得出其中與無關(guān)，故式(a)成為代入

(b)式(b)是由應(yīng)力求結(jié)點力的一般公式。因為是獨立式（c）是由結(jié)點位移求結(jié)點力的一般公式，k

—稱為單元的勁度矩陣其中再將應(yīng)力公式代入上式，得單元勁度矩陣式（c）是由結(jié)點位移求結(jié)點力的一般公式，k—稱為單元的勁對于三角形單元，B矩陣內(nèi)均為常數(shù)，有代入B，D，得出k如書中（6-37）及（6-38）所示。對于三角形單元，B矩陣內(nèi)均為常數(shù)，有代入B，D，得出k如書（1）是6×6的方陣，中每一個元素都表示發(fā)生單元結(jié)點位移時所引起的結(jié)點力。（2）由反力互等定理，所以是對稱矩陣，以對角線為對稱軸。單元勁度矩陣k的性質(zhì)：（3）當(dāng)單元作剛體平移時，如ui=uj=um=1，三角形內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，結(jié)點力也為0。（1）是6×6的方陣，中每一個元素都表示發(fā)生單元結(jié)點（4）由（3）可導(dǎo)出行列式|

|=0。（5）

的元素與單元的形狀和方位等有關(guān)，但與單元的大小和剛體的平動及作度轉(zhuǎn)動無關(guān)。因此,

中每一行（或列）的元素之和為零（其中第一、三、五元素之和或二、四、六元素之和也為0）。（4）由（3）可導(dǎo)出行列式||=0。（5）的元素與

例題（書中P.117頁），以直角三角形單元為例，計算了應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S和單元勁度矩陣。從例題中可以看出，將單元邊界上的應(yīng)力向結(jié)點移置，化為作用于結(jié)點上的力，正好就是結(jié)點力。在FEM中，單元邊界之間的聯(lián)系和相互作用力，都向結(jié)點簡化，歸結(jié)成為結(jié)點的鉸結(jié)和結(jié)點力。

思考題試求出書中例題的位移模式。例題（書中P.117頁），以直角三角形單元為§6－6荷載向結(jié)點移置

單元的結(jié)點荷載列陣在FEM中，與結(jié)力相似，須將作用于單元中的外荷載向結(jié)點移置，化為等效結(jié)點荷載，§6－6荷載向結(jié)點移置

單元的結(jié)（2）變形體靜力等效原則——在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。剛體靜力等效原則只從運動效應(yīng)來考慮，得出移置荷載不是唯一的解；變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng)，在一定的位移模式下，其結(jié)果是唯一的，且也滿足了前者條件的。

∴在FEM中，采用變形體的靜力等效原則。1.移置原則（1）剛體靜力等效原則——使原荷載與移置荷載的主矢量以及對同一點的主矩也相同。移置原則（2）變形體靜力等效原則——在任意的虛位移上，使原荷載與移置

2.集中力的移置公式

原荷載作用于單元中任一點為單位厚度上的作用力；移置荷載作用于結(jié)點假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點虛位移，則點的虛位移為使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功：

集中力集中力對于任意的虛位移，虛功方程都必須滿足，得3.單元邊界上面力的移置公式

應(yīng)用式，將代之為并在邊界上積分，得

面力對于任意的虛位移，虛功方程都必須滿足，得面力應(yīng)用式，將代之為并對單元域A積分，得當(dāng)位移模式為線性函數(shù)時，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結(jié)點荷載相同。4.單元內(nèi)體力的移置公式

體力應(yīng)用式，將代之為并對單元域A積分思考題1.試導(dǎo)出書中例題的荷載移置公式。

思考題在單元分析中，從單元的結(jié)點位移→求位移分布→求應(yīng)變→求應(yīng)力→求結(jié)點力，為單元的內(nèi)力分析；外荷載移置到結(jié)點荷載，為單元的外力分析。下面考慮整體分析。假設(shè)將結(jié)點i與周圍的單元切開，則圍繞i結(jié)點的每個單元，對i結(jié)點有結(jié)點力(）的作用,也有外荷載移置的結(jié)點荷載（）的作用?！?－7結(jié)構(gòu)的整體分析

結(jié)點平衡方程組在單元分析中，從單元的結(jié)點位移→求位§6－7結(jié)構(gòu)的

i結(jié)點的平衡條件為其中是對圍繞i結(jié)點的單元求和。對某一個單元，結(jié)點平衡條件i結(jié)點的平衡條件為結(jié)點平衡條件代入式，可表示為在式中，

是單元內(nèi)部的結(jié)點編號，稱為局部編號；是整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點編號，稱為整體編號。將式按整體結(jié)點編號排列，得整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組。代入式，可表示為其中——整體結(jié)點位移列陣，——整體結(jié)點荷載列陣，——整體勁度矩陣，中元素是相同整體編號的單元勁度矩陣元素疊加而成?？紤]結(jié)構(gòu)的約束條件后，從式求出，就可以求出各單元的位移和應(yīng)力。結(jié)點平衡方程組其中結(jié)點平衡方程組例1列出圖示結(jié)構(gòu)i結(jié)點的平衡條件。例2（見書中P.121）②①③④例1列出圖示結(jié)構(gòu)i結(jié)點的平衡條件。例2（見

有限單元法的具體計算步驟，主要是1、劃分單元網(wǎng)格，對單元和結(jié)點編號。2、選定直角坐標(biāo)系，按程序要求填寫和輸入有關(guān)信息。讀者須要注意：直角坐標(biāo)系應(yīng)與書中規(guī)定的方向一致，單元內(nèi)的ijm的局部編號應(yīng)按書中規(guī)定的右手規(guī)則編號?！?－8解題的具體步驟

單元的劃分有限單元法的具體計算步驟，主要是§6－8解題否則會使三角形的面積出現(xiàn)負(fù)號等問題。3、使用已編好的程序進行上機計算。事先須將有限單元法的公式，計算方法和步驟都編入程序。4、對成果進行整理、分析。對第1和第4步的工作，也盡可能讓計算機執(zhí)行，以減少人工的工作量。如自動劃分網(wǎng)格，整理成果等。否則會使三角形的面積出現(xiàn)負(fù)號等問題。關(guān)于單元的劃分：注意幾點,（1）單元大小問題,（2）單元在不同部位的合理布置問題,（3）三角形三個內(nèi)角最好較接近,（4）利用對稱性和反對稱性,,（5）厚度突變之處和材料不同之處,（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處,（7）水利閘壩工程問題,（8）結(jié)構(gòu)具有凹槽或孔洞等應(yīng)力集中處等。關(guān)于單元的劃分：注意幾點,對于結(jié)點位移的成果，可以直接采用。三結(jié)點三角形單元的應(yīng)力的成果，由于采用的是線性位移模式，不但應(yīng)力的精度在有限單元法中，位移的精度較高，其誤差量級是，即與單元尺度的二次冪成正比。應(yīng)力的誤差量級是，即與單元的大小成正比。

§6－9計算成果的整理對于結(jié)點位移的成果，可以直接采用。在有限較低，而且還產(chǎn)生了所謂應(yīng)力的波動性。即在相鄰的兩單元中，如果一個單元的應(yīng)力比真解低，則相鄰單元的應(yīng)力會比真解高，如圖。圖6-9較低，而且還產(chǎn)生了所謂應(yīng)力的波動性。即在相鄰的兩單元中，

應(yīng)力的波動性在三結(jié)點三角形單元中較為顯著。原因是，由于計算出的應(yīng)力的精度較低。假設(shè)Ⅰ單元的應(yīng)力成果為，其中為真解，為誤差。則由于在i，j結(jié)點都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的Ⅱ單元的應(yīng)力趨近于。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動性。

應(yīng)力的波動性在三結(jié)點三角形單元中較為為了提高應(yīng)力的精度，解決應(yīng)力波動性問題，可以采用兩種應(yīng)力成果的整理方法：一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因為它涉及的區(qū)域范圍較小。（1）兩相鄰單元平均法。（2）繞結(jié)點平均法。為了提高應(yīng)力的精度，解決應(yīng)力波動性問題，可此外，在受面力邊界線附近，由于應(yīng)用了靜力等效原理將面力簡化為結(jié)點荷載，因而得出的應(yīng)力誤差較大?？刹捎孟蛲獠逯档姆椒ǎɡ龗佄锞€插值）來解決。

彈性力學(xué)簡明教程-第四版-徐芝綸第六章ppt課件為了提高應(yīng)力的精度，可以采用兩種方法。一是加密網(wǎng)格，減少單元的尺寸，以提高應(yīng)力的精度。二是可以采用較多結(jié)點的單元，并使位移模式中包含一些高冪次的項，從而提高位移和應(yīng)力的精度。一般在位移模式中若包含較高次冪的項，不但可使位移和應(yīng)力的精度提高，而且應(yīng)力的波動性和邊界應(yīng)力的精度低等問題也可得到改善。為了提高應(yīng)力的精度，可以采用兩種方法。一是加密網(wǎng)§6－10計算實例1.楔形體受自重及齊頂水壓力。2.簡支梁受均布荷載。3.圓孔附近的應(yīng)力集中。書中應(yīng)用三結(jié)點三角形單元，計算了下列例題：§6－10計算實例1.楔形體受自重及齊頂在整理應(yīng)力成果時，讀者應(yīng)注意，應(yīng)用三角形單元時，（1）采用兩單元平均法和繞結(jié)點平均法的應(yīng)力成果比較接近，但前者的精度略好于后者。（2）邊界面的應(yīng)力,應(yīng)采用向外插值的方法求出。在整理應(yīng)力成果時，讀者應(yīng)注意，應(yīng)用三角形單元§6－11應(yīng)用變分原理導(dǎo)出

有限單元法基本方程在FEM中，將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)之后，有兩種導(dǎo)出FEM公式的主要方法：

§6－11應(yīng)用變分原理導(dǎo)出

（2）建立單元的位移模式，求出單元中的位移分布，1.按結(jié)力方法導(dǎo)出FEM公式（1）取結(jié)點位移為基本未知數(shù)；（3）由幾何方程求出單元的應(yīng)變，（4）由物理方程求出單元的應(yīng)力，按結(jié)力方法導(dǎo)出FEM公式（2）建立單元的位移模式，求出單元中的1.按結(jié)力方法導(dǎo)出FE（5）由虛功方程求出單元的結(jié)點力，（6）由虛功方程求出單元的結(jié)點荷載

，（7）建立結(jié)點平衡方程組，按結(jié)力方法導(dǎo)出FEM公式（5）由虛功方程求出單元的結(jié)點力，（6）由虛功方程求出單元的（1）變分原理中的極小勢能原理是2.按變分法導(dǎo)出FEM公式

保留上述（1）-（4）步驟，然后應(yīng)用極小勢能原理導(dǎo)出FEM基本方程。按變分法導(dǎo)出FEM公式對于平面問題，（1）變分原理中的極小勢能原理是2.按變分法導(dǎo)出FEM公式對于連續(xù)體,變分的宗量是位移函數(shù)變分方程可表示為總勢能對的導(dǎo)數(shù)等于0，即對于連續(xù)體,變分的宗量是位移函數(shù)變分方程可表變分宗量由變換成（2）將經(jīng)典變分原理應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，則總勢能、形變勢能和外力勢能，可以用單元的勢能之和來表示變分宗量由變換成（2）將經(jīng)典變分原理應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)其中為三角形單元的面積。應(yīng)用前面記號,內(nèi)力勢能為其中為三角形單元的面積。應(yīng)用前面記號,內(nèi)力勢能為其中為三角形單元的受面力邊界。引用前面記號外力勢能為總勢能為其中為三角形單元的受面力邊界。引用外力勢能為總故總勢能極小值條件變換為（3）對于離散化結(jié)構(gòu)，泛函數(shù)的宗量變換為則式(n)成為引用矩陣運算公式，故總勢能極小值條件變換為（3）對于離散化結(jié)構(gòu)，泛函數(shù)其中其中代入式(o)，得出與結(jié)力方法導(dǎo)出的相同方程，從物理意義上講，將連續(xù)體的經(jīng)典變分原

理(g)或(i)應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，成為式(p)。代入式(o)，得出與結(jié)力方法導(dǎo)出的相同方程比較物理意義：式(g)表示總勢能的整體極值條件;式(p)表示總勢能在所有結(jié)點處的極值條件。凡是與微分方程對應(yīng)的變分原理存在的任何問題，均可應(yīng)用變分法導(dǎo)出FEM。比較物理意義：凡是與微分方程對應(yīng)的變第六章例題例題1例題2例題3例題4例題第六章例題例題1例題2例題3例題4例題

例題1平面問題中采用的四結(jié)點矩陣單元，如圖所示。該單元的結(jié)點位移列陣是

第六章例題ba例題1平面問題中采用的四結(jié)點矩陣單第六章采用的位移模式是其中的系數(shù),由四個結(jié)點處的位移值,應(yīng)等于結(jié)點位移值的條件求出。ab采用的位移模式是其中的系數(shù),ab讀者試檢查其收斂性條件是否滿足？并估計位移和應(yīng)力的誤差量級。第六章例題第六章例題

例題2平面問題中采用的六結(jié)點三角形單元，如圖所示。該單元的結(jié)點位移列陣為

其位移模式取為第六章例題例題2平面問題中采用的六結(jié)點三角形單第可以相似地表示。然后由六個結(jié)點處的條件求出讀者試檢查其位移模式的收斂性，并估計其位移和應(yīng)力的誤差量級。可以相似地表示。然后由六個結(jié)點處的條件求

例題3

在空間問題中，采用的最簡單的單元，是如圖所示的四結(jié)點四面體單元，其位移模式是第六章例題例題3在空間問題中，采用的最簡單的單元，試考慮如何求出其系數(shù)并檢查位移模式的收斂性條件,并估計其位移和應(yīng)力的誤差量級。試考慮如何求出其系數(shù)并檢查位移模式的

例題4圖（a）所示的深梁，在跨中受集中力F的作用，若取試用有限單元法求解跨中的位移。第六章例題返回例題4圖（a）所示的深梁，在跨中受集第六章例題返回第六章例題返回解：1.將圖劃分網(wǎng)格，化為離散化結(jié)構(gòu)，如圖（b）所示。由于結(jié)構(gòu)具有對稱性，可取1/2

部分進行分析，如所示。（a）圖（c）解：（a）圖（c）2.中，只有兩個未知結(jié)點位移其余的結(jié)點位移均為零。

未知的結(jié)點位移列陣是對應(yīng)的結(jié)點荷載列陣是

3.下面我們直接來建立對應(yīng)于未知結(jié)點位移的平衡方程式，第六章例題圖（c）2.4.對于三角形單元，按照結(jié)點的局部編號結(jié)點力一般公式是第六章例題4.對于三角形單元，按照結(jié)點的局部編號第六章當(dāng)且結(jié)點的局部編號如圖時，單元的單元勁度矩陣均如書中所示。對于單元，結(jié)點的局部編號與整體編號的關(guān)系是將書中的k和結(jié)點編號代入式，有第六章例題當(dāng)且結(jié)點的局部編號如圖其中由上式，得出I單元中不存在，而第六章例題其中對于單元，結(jié)點的局部編號與整體編號的關(guān)系是。再將書中的k代入式（c），得第六章例題對于單元，結(jié)點的局部編號與整體其中由上式，可得單元的結(jié)點力5.將各單元的結(jié)點力代入式得從上兩式解出結(jié)點位移值，第六章例題其中顯然，位移第六章例題顯然，位移第六章例題

第六章習(xí)題的提示和答案6-1提示：分別代入的公式進行運算。6-2（3）中的位移，一為剛體平移，另一為剛體轉(zhuǎn)動，均不會產(chǎn)生應(yīng)力。其余見書中答案。6-3求i結(jié)點的連桿反力時，可應(yīng)用公式為對圍繞i結(jié)點的單元求和。第六章習(xí)題的提示和答案6-16-4求支座反力的方法同上題。6-5單元的勁度矩陣k，可采用書中的結(jié)果，并應(yīng)用公式求出整體勁度矩陣的子矩陣。6-6求勁度矩陣元素同上題。應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣可采用書中的結(jié)果。6-7求勁度矩陣元素可參見的結(jié)果，再求出整體勁度矩陣元素答案見書中。習(xí)題提示和答案6-4求支座反力的方法同上題。習(xí)題提示6-8當(dāng)單元的形狀和局部編號與書中圖6-10相同時，可采用的單元勁度矩陣。答案：中心線上的上結(jié)點位移下結(jié)點位移6-9能滿足收斂性條件，即位移模式不僅反映了單元的剛度位移和常量應(yīng)變，還在單元的邊界上，保持了相鄰單元的位移連續(xù)性。習(xí)題提示和答案6-8當(dāng)單元的形狀和局部編號與書第六章教學(xué)參考資料（一）本章的學(xué)習(xí)重點及要求有限單元法的兩種主要導(dǎo)出方法：(1)結(jié)構(gòu)力學(xué)方法——首先將結(jié)構(gòu)離散化，把連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，再應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解。這種導(dǎo)出方法，采用了工程技術(shù)人員熟悉的結(jié)構(gòu)力學(xué)方法，它的物理概念清晰，易為工程技術(shù)人員理解和接受。故在書中主要用這種方式導(dǎo)出有限單元法。教學(xué)參考資料第六章教學(xué)參考資料（一）本章的學(xué)習(xí)(2)變分方法——同樣將連續(xù)體化為離散結(jié)構(gòu)，再將連續(xù)體中的變分原理推廣應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，從而導(dǎo)出有限單元法。這種導(dǎo)出方法是連續(xù)體上的經(jīng)典變分法的推廣，導(dǎo)出方法簡單，應(yīng)用也非常廣泛。有限單元法的多數(shù)文獻是采用變分方法導(dǎo)出的。除此之外，加權(quán)余量法等也可以導(dǎo)