自考線代經(jīng)管類9向量組秩

1一.向量組的極大線性無關組1.定義1:設有兩個向量組:(I

):a1

,a

2

,,a

r

,(II

):b1

,b2

,,bs若向量組（I

）中每個向量都可由向量組（II）線性表示，則稱向量組（I

）可由向量組（II）線性表示；若向量組（I）與向量組（II）可以互相線性表示，則稱向量組（I

）與向量組（II）等價。向量組的等價關系具有自反性、對稱性、傳遞性。3.3

向量組的秩23.向量組與其極大無關組等價;4.同一個向量組的極大無關組不唯一,但它們之間是等價的.定義2：向量組T的部分向量組a1

,a

2

,,ar

滿足a1

,a

2

,,ar

線性無關；T

中向量均可由a1,a

2

,,ar線性表示。(或T中任意一向量a

,有a

,a1,a

2

,,ar

線性相關。)則稱a1

,a

2

,,ar是向量組T的一個極大(線性)無關組.極大無關組的含義有兩層：1.無關性;2.極大性注:1.含有非零向量的向量組一定有極大無關組;2.線性無關向量組的極大無關組就是其本身;定理13例2:求向量組的極大無關組.a1

=

(1,2,-1),a

2

=

(2,-3,1),a

3

=

(4,1,-1)

-1

43

2

a

1

2

-1

A

=

a

=

2

-

3

11

fi

0

3

03

0

3

fi

01

2

-1

1

2

-1-

7

-

7

0

-

7

0解：

a1

\r(A)=2

<3

a1,a

2

,a

3線性相關。但a1,a

2線性無關，\a1,a

2是一個極大無關組；a1,a3也線性無關，\a1,a

3也是一個極大無關組。4定理1：設有兩個n維向量組(I

)

a1

,a

2

,,ar

,b1,

b2

,,

bs

,(II

)若向量組(I)線性無關，且可由向量組(II)線性表示，則r

￡

s.

aA

=

a

a

a

r

r1

r2

rn

2n

2221a1n

a11

a122

=

a

a

aa

a1

證：設

sC

=

ar

b

a1

a

2

b2

b1

O

O

O

fi

b2

b1

初等行變換

bs

\

r

=

r(

A)

￡

r(C)

￡

s2.極大無關組的性質5推論2：任意兩個線性無關的等價向量組所含向量的個數(shù)相等。定理2：一個向量組的任意兩個極大無關組所含向量的個數(shù)相等。推論1：若向量組a1

,a

2

,,a

r

可由向量組b1

,b2

,

bs

線性表示,且r

>s,則向量組a1

,a

2

,,a

r

線性相關.6注：向量組線性無關

<二.向量組的秩及其求法定義:向量組a1

,a

2

,,a

m的極大無關組所含向量的個數(shù),稱為向量組的秩,記為r(a1

,a

2

,,am

).定理3:

若a1

,a

2

,,am可由b1

,

b2

,,

bs

線性表示

,則r

(a1

,a

2

,,am

)￡

r

(b1

,b2

,,bs

).推論：等價的向量組有相同的秩。必須注意：有相同秩的兩個向量組不一定等價。秩=向量個數(shù).7行秩：矩陣行向量組的秩；列秩：矩陣列向量組的秩。定理:對矩陣施行初等變換,不改變它的行秩和列秩.定理：矩陣的行秩與列秩相等,都等于矩陣的秩.推論：向量組的秩與該向量組所構成的矩陣的秩相等。這實際上給出了一個求向量組秩的方法：先將向量組構成一個矩陣，然后求矩陣的秩，這個秩就是向量組的秩。向量組的秩的求法8

0

1

-

1

2

4

0

-

1

0

-

4

3

1

20

3

1

2

fifi0

04

1

-

1

2

0

-

1

0

-

4

0

1

-

10

0

0

0=

r(

A)

=

31

2

3

4

r(a

,a

,a

,a

)014

4

a

3

3

a

1

A

=

a

2

=

0

1

-

1

2

4

3

1

2

fi

0

7a

1

-

2

2

0

1

-

1

2

4

0

3

1

2

3

1

2

0

-

1

0

-

4解：例3：求向量組的秩。a1

=

(1,-1,2,4),a

2

=

(0,3,1,2),a3

=

(3,0,7,14),a

4

=

(1,-2,2,0)9A

=

(a1,a

2

,a

3,a

4

)

=2

2

1

1

0

0

2

2

-

4

1

7

04

2

14

01

0fi1031

1031-

130-

233-

0

1

0

3

1

0

1

1

0

3

3

-

1

0

2

2

-

4fifi

0

1

0

3

1

0

1

1

0

0

0

-

1

0

0

0

-

4

fi

0

1

0

3

1

0

1

1

0

0

0

-

10

0

0

0或列擺：列擺行變換法。(初等行變換不改變列的線性關系)例1：求向量組的秩及極大無關組。a1

=

(1,-1,2,4),a

2

=

(0,3,1,2),a3

=

(3,0,7,14),a

4

=

(1,-2,2,0)

2A

=

(a1,a

2

,a3,a

4

)

=-1fi0

2

1r

+r

0

0fi

1

0

3

1

0

1

1

0

fi

3

3

-1

0

2

2

-

4

0

1

0

3

1

3

0

-

2

1

7

2

4

2

14

01

0

3

1

0

1

1

0

0

0

-1

0

0

0

-

40

0

-1

0

0

0

0

01

0

3

1

0

3

3

-1

1

1

0

2

2

-

41

0

3

1

0

1

1

0

fi

r(a1,a

2

,a

3,a

4

)=r(A)=3

,a1,a

2

,a

4是一個極大無關組1。0三.極大無關組的求法具體方法:列擺行變換將矩陣化為梯形陣后，秩即求出來了。這時，只要在每一高度上取一個向量，即可得到極大無關組。11如上例，a1,a3,a

4也是一個極大無關組。注意:行擺行變換不行！12例2：l為何值時，向量組a1

=（1，1，1，1，2），a

2

=（2，1，3，2，3），a

3

=（2，3，2，2，5），a

4

=（1，3，-1，1，l）線性相關？并求秩及一個極大無關組。解:

l

=

4時，r(

A)

=

3

<

4,

a1,a