第五章-數(shù)值插值方法課件

第五章 插值方法第五章 插值方法1第五章插值方法插值的基本概念Lagrange插值分段低次插值均差與Newton插值Hermite插值三次樣條插值第五章插值方法插值的基本概念25.1代數(shù)插值問題例.某地區(qū)某年夏季時節(jié)間隔30天的日出日落時間為

5月1日5月31日 6月30日日出5：51 5：17 5：10日落19：04 19：38 19：50插值：研究用簡單函數(shù)為各種離散數(shù)據(jù)建立連續(xù)數(shù)學模型的方法。5.1代數(shù)插值問題例.某地區(qū)某年夏季時節(jié)間隔30天3日照時間的變化設(shè)為y(x)=a0+a1x+a2x2,求出a0，a1，a2，即可得到5、6月份的日照時間的變化規(guī)律。根據(jù)三組數(shù)據(jù):(1,15.2167)，(31,14.35)，(61,14.6667)導出關(guān)于a0，a1，a2的線性方程組日照時間的變化設(shè)為y(x)=a0+a1x+a2x2,4定義已知函數(shù)y=f(x)在[a,b]有定義，且已知它在n+1個互異節(jié)點

a≤x0<x1<…<xn≤b上的函數(shù)值

y0=f(x0)，y1=f(x1),…,yn=f(xn)，若存在一個次數(shù)不超過n次的多項式

Pn(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn滿足條件 Pn(xk)=yk(k=0,1,…,n)則稱Pn(x)為f(x)的n次插值多項式。點x0,x1,…,xn稱插值節(jié)點，f(x)為被插值函數(shù)。[a,b]稱插值區(qū)間，點x稱插值點。插值點在插值區(qū)間內(nèi)的叫內(nèi)插，否則叫外插。定義已知函數(shù)y=f(x)在[a,b]有定義，且已知它在n+15設(shè) Pn

(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn是y=f(x)在[a,b]上的n+1個互異節(jié)點x0,x1,…,xn的插值多項式，則求Pn(x)問題歸結(jié)為求系數(shù)a0,a1,…,an。定理

n次插值問題的解是存在而且唯一的。證明：由插值條件：

Pn

(xk)=yk(k=0,1,…,n)得關(guān)于a0,a1,…,an的n+1階線性方程組設(shè) Pn(x)=a0+a1x+a2x26故Pn(x)存在且唯一。因故上式不為0。據(jù)Cramer法則，方程組解存在且唯一。其系數(shù)行列式是Vandermonde行列式故Pn(x)存在且唯一。因故上式不為0。據(jù)Cramer法則7給定插值節(jié)點x0,x1，y0=f(x0)，y1=f(x1).求線性插值多項式L1(x)=a0+a1x，使?jié)M足:

L1(x0)=y0,L1(x1)=y1.5.2Lagrange插值一、線性插值與拋物插值1.線性插值：n=1情形y=L1(x)的幾何意義就是過點(x0,y0)，(x1,y1)的直線。L1(x)的表達式：點斜式:兩點式:給定插值節(jié)點x0,x1，y0=f(x0)，y1=f(x18由兩點式可以看出，L1(x)是由兩個線性函數(shù)的線性組合得到，其系數(shù)分別為y0，y1。即顯然，l0(x)及l(fā)1(x)也是線性插值多項式，在節(jié)點x0,x1上滿足條件： l0(x0)=1,l0(x1)=0. l1(x0)=0,l1(x1)=1.

稱l0(x)及l(fā)1(x)為線性插值基函數(shù)。(j,k=0,1)即由兩點式可以看出，L1(x)是由兩個線性函數(shù)的線性組合得9l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0.l1(x0)=0,l1(x1)=1,l1(x2)=0.l2(x0)=0,l2(x1)=0,l2(x2)=1.2.拋物插值：n=2情形假定插值節(jié)點為x0,x1,x2，求二次插值多項式

L2(x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2)y=L2(x)的幾何意義就是過(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)三點的拋物線。采用基函數(shù)方法，設(shè) L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2此時基函數(shù)l0(x),l1(x),l2(x)是二次函數(shù)，且在節(jié)點上滿足：l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=010滿足上式的插值基函數(shù)很容易求出。如求l0(x),因x1,x2為其零點，故可表為故即(j,k=0,1,2)其中A為待定系數(shù)，由l0(x0)=1,得滿足上式的插值基函數(shù)很容易求出。如求l0(x),因x1,11顯然 L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2滿足條件 L2(xj)=yj (j=0,1,2)同理將l0(x),l1(x),l2(x)代入得顯然 L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y12 取x0=4,y0=2，x1=9,y1=3，x2=16,y2=4.取x0=4,x1=9,x2=16例已知 求解（1）線性插值：取x0=4,x1=9（2）拋物插值： 取x0=4,y0=2，x1=9,y1=3，x2=16,13設(shè)有n+1個互異節(jié)點x0<x1<…<xn，且

yi=f(xi) (i=0,1,2…,n)構(gòu)造Ln(x)，使 Ln(xj)=yj

(j=0,1,2,…,n)二、Lagrange插值多項式定義若n次多項式lj(x)(j=0,1,…,n)在n+1個節(jié)點x0<x1<…<xn上滿足條件(j,k=0,1,…,n)則稱這n+1個n次多項式l0(x),l1(x),…,ln(x)為節(jié)點x0,x1,…,xn上的n次插值基函數(shù)。設(shè)有n+1個互異節(jié)點x0<x1<…<xn，且二、Lagra14由n=1,2時的討論可得 (k=0,1,2,…,n)或記為(k=0,1,2,…n)故滿足插值條件的多項式為稱Lagrange插值多項式。由n=1,2時的討論可得 (k=0,1,2,…,n)或記15定理

設(shè)f(x)在[a,b]上具有n階連續(xù)導數(shù),且f(n+1)(x)存在,節(jié)點a≤x0<x1<…<xn≤b，

Ln(x)是滿足條件Ln(xj)=yj(j=0,1,2,…,n)的插值多項式，則對任何x[a,b]，插值余項三、插值余項與誤差估計定義

若在[a,b]上用Ln(x)近似f(x)，則其截斷誤差

Rn(x)＝f(x)-Ln(x) 稱插值多項式的余項。其中定理設(shè)f(x)在[a,b]上具有n階連續(xù)導數(shù),且16證明：因為設(shè)其中證明：因為設(shè)其中17第五章-數(shù)值插值方法ppt課件18根據(jù)Rolle定理,再由Rolle定理,依此類推，由于因此根據(jù)Rolle定理,再由Rolle定理,依此類推，由于因此19所以注：余項表達式只有在f(x)的高階導數(shù)存在時才能使用，ξ通常不能具體給出，可求出故Ln(x)逼近f(x)的截斷誤差限是所以注：余項表達式只有在f(x)的高階導數(shù)存在時才能使用，ξ20當f(x)是n次的多項式時,Ln(x)=f(x)。即n次多項式的n次插值函數(shù)即為該n次多項式本身。說明：n=1時，n=2時，當f(x)是n次的多項式時,Ln(x)=f(x)。即21例:解:例:解:22第五章-數(shù)值插值方法ppt課件235.3分段低次插值高次插值的病態(tài)性質(zhì)：對于一個確定的區(qū)間，如果插值節(jié)點之間的距離較小，自然插值節(jié)點就增多，如果用一個多項式插值，自然次數(shù)就會升高，也就是說要用高次多項式插值。但是否次數(shù)越高，插值多項式的逼近效果越好呢？20世紀初，Runge就給出了一個等距節(jié)點插值多項式不收斂的例子。5.3分段低次插值高次插值的病態(tài)性質(zhì)：對于一個確定的區(qū)間24Runge反例:(-5≤x≤5)它在[-5,5]上各階導數(shù)均存在，在該區(qū)間上取n+1個等距節(jié)點：構(gòu)造拉格朗日插值多項式為：令則Runge反例:(-5≤x≤5)它在[-5,5]上各階導數(shù)均25下表列出了n=2,4,…,20的Ln(xn-1/2)和R(xn-1/2)的值：下表列出了n=2,4,…,20的Ln(xn-1/2)和R(x26從表中可以看出，隨著n的增加，R(xn-1/2)的絕對值幾乎成倍地增加，這說明當n－>∞時Ln在[-5,5]上不收斂。Runge證明了，存在一個常數(shù)c≈3.63，使得當|x|≤c時，lim(Ln(x))=f(x)(n－>∞)；而當|x|>c時，Ln(x)發(fā)散。下圖給出當n=10時，y=L10(x)及f(x)=1/(1+x2)在[-5,5]上的圖形。從表中可以看出，隨著n的增加，R(xn-1/2)的絕對值幾乎27取xk=-5+k計算:f(xk)(k=0,1,…,10)構(gòu)造L10(x).取:tk=-5+0.05k(k=0,1,…,200),計算:L10(tk)L10(t)

f(t)

f(x)取xk=-5+k計算:f(xk)(k=0,28一、分段線性Lagrange插值構(gòu)造Lagrange線性插值1.分段線性插值的構(gòu)造設(shè)插值節(jié)點為xi，函數(shù)值為yi，i=0,1,2,……,nhi=xi+1-xi，i=0,1,2,……,n-1，任取兩個相鄰的節(jié)點xk，xk+1，形成一個插值區(qū)間[xk，xk+1],k=0,1,2,…,n-1一、分段線性Lagrange插值構(gòu)造Lagrange線性插值29顯然我們稱由上式構(gòu)成的插值多項式L1(x)為分段線性Lagrange插值多項式。i=0,1,2,…,n顯然我們稱由上式構(gòu)成的插值多項式L1(x)為分段線性Lagr30內(nèi)插外插外插內(nèi)插外插外插31故也稱折線插值，如右圖：但曲線的光滑性較差，且在節(jié)點處有尖點。

如果增加節(jié)點的數(shù)量，減小步長，會改善插值效果。因此則故也稱折線插值，如右圖：但曲線的光滑性較差，且在節(jié)點處有尖點32由前述余項定理可知，n次Lagrange插值多項式的余項為：2.分段線性插值的誤差估計則分段線性插值L1(x)的余項為由前述余項定理可知，n次Lagrange插值多項式的余項為：33二、分段二次Lagrange插值1.分段二次插值的構(gòu)造設(shè)插值節(jié)點為xi，函數(shù)值為yi，i=0,1,2,……,nhi=xi+1-xi，i=0,1,2,……,n-1，任取三個相鄰的節(jié)點xk-1，xk，xk+1，以[xk-1，xk+1]為插值區(qū)間構(gòu)造二次Langrange插值多項式：二、分段二次Lagrange插值1.分段二次插值的構(gòu)造設(shè)插342.分段二次插值的誤差估計由于那么分段二次插值L2(x)的余項為：2.分段二次插值的誤差估計由于那么分段二次插值L2(x)的35例:解:(1)分段線性Lagrange插值的公式為例:解:(1)分段線性Lagrange插值的公式為36同理同理37(2)分段二次Lagrange插值的公式為(2)分段二次Lagrange插值的公式為38第五章-數(shù)值插值方法ppt課件395.4均差與Newton插值一、均差及其性質(zhì)Lagrange插值多項式理論上較方便，但當節(jié)點增加時，全部基函數(shù)lk(x)都要變，在實際運算中并不方便。可將插值多項式表示為如下形式：其中a0,a1,……,an待定，可由Pn(xi)=fi(i=0,1,……,n)確定.fi為節(jié)點處的函數(shù)值.5.4均差與Newton插值一、均差及其性質(zhì)Lagran40當x=x0時，當x=x1時，當x=x2時，當x=x0時，當x=x1時，當x=x2時，41再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復雜，為此引入均差的概念:再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復雜，為此引入均差的概念:42定義設(shè)f(x)在互異節(jié)點xi處的函數(shù)值為fi，i=0,1,…,n，稱為f(x)關(guān)于節(jié)點xi，xj的一階均差，兩個一階均差的均差稱為f(x)關(guān)于節(jié)點xi，xj，xk的二階均差，一般地，兩個n-1階的均差稱為n階均差（也稱差商）。定義設(shè)f(x)在互異節(jié)點xi處的函數(shù)值為fi，i=0,1,…43均差的性質(zhì)：（2）均差具有對稱性，即任意調(diào)換節(jié)點的次序，均差的值不變。如（1）f(x)的k階均差可表示為函數(shù)值f(x0),f(x1),……,f(xn)的線性組合，即（3）設(shè)f(x)在[a,b]上具有n階導數(shù)，且x0,x1,…,xn

[a,b]，則n階均差與導數(shù)的關(guān)系如下：均差的性質(zhì)：（2）均差具有對稱性，即任意調(diào)換節(jié)點的次序，44均差的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階均差均差表均差的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階均差均差表45例：已知函數(shù)f(x)的函數(shù)值列表如下：列出一至三階的均差表。解：例：已知函數(shù)f(x)的函數(shù)值列表如下：列出一至三階的均差表。46二、Newton插值公式據(jù)均差定義，把x≠xi看成[a,b]上一點，則即因此可得……二、Newton插值公式據(jù)均差定義，把x≠xi看成[a,b]47將后一式代入前一式，得其中稱Nn(x)為Newton均差插值多項式。將后一式代入前一式，得其中稱Nn(x)為Newton均差插值48（1）Newton插值多項式的系數(shù)為均差表中各階均差的第一個數(shù)據(jù)；注：（2）Newton插值多項式的基函數(shù)為ωi(x)，i=0,1,……,n；（3）Newton插值多項式的插值余項為Rn(x)。（1）Newton插值多項式的系數(shù)為均差表中各階均差的第一個49例：已知f(x)的函數(shù)表，求4次牛頓插值多項式，并由此計算f(0.596)的近似值。例：已知f(x)的函數(shù)表，求4次牛頓插值多項式，并由此計算f50這說明截斷誤差很小?？傻媒財嗾`差為：從表中可以看到4階均差幾乎為常數(shù)，故取4次插值多項式即可，于是：這說明截斷誤差很小?？傻媒財嗾`差為：從表中可以看到4階均差幾51此例中，五階均差f[x,x0,x1,……,x4]是用f[x0,x1,……,x5]來近似的。另一種方法是取x=0.596，由f(0.596)≈0.61392求得f[x,x0,x1,……,x4]的近似值，進而計算|R4(x)|。截斷誤差的估計：此例中，五階均差f[x,x0,x1,……,x4]是用f[x0525.5埃爾米特插值（Hermite）Newton插值和Lagrange插值雖然構(gòu)造比較簡單，但都存在插值曲線在節(jié)點處有尖點，不光滑，插值多項式在節(jié)點處不可導等缺點。已知節(jié)點處函數(shù)值及對應(yīng)節(jié)點導數(shù)值，求使其函數(shù)值及導數(shù)值均相等的插值多項式。埃爾米特插值的基本思想為：設(shè)a≤x0<x1<……<xn≤b上，(j=0,1,2…,n)求H(x)，使(j=0,1,2…,n)5.5埃爾米特插值（Hermite）Newton插值和L53共有2n+2個條件，可唯一確定一次數(shù)≤2n+1的多項式H2n+1

(x)＝H(x)。形式：一般來說，Hermite插值多項式的次數(shù)如果太高會影響收斂性和穩(wěn)定性，因此2n+1不宜太大，仍用分段插值。故僅考慮n=1的情況，即三次Hermite插值。共有2n+2個條件，可唯一確定一次數(shù)≤2n+1的多項式H254一、三次Hermite插值公式考慮只有兩個節(jié)點的插值問題：設(shè)f(x)在節(jié)點x0，x1處的函數(shù)值為y0，y1；在節(jié)點x0，x1處的一階導數(shù)值為y`0，y`1。兩個節(jié)點最高可以用3次Hermite多項式H3(x)作為插值函數(shù)。H3(x)應(yīng)滿足條件：采用基函數(shù)方法構(gòu)造。一、三次Hermite插值公式考慮只有兩個節(jié)點的插值問題：設(shè)55H3(x)應(yīng)用四個插值基函數(shù)表示。設(shè)H3(x)的插值基函數(shù)為α0(x)，α1(x)，β0(x)，β1(x)，則其中H3(x)應(yīng)用四個插值基函數(shù)表示。設(shè)H3(x)的插值基函數(shù)為56可知x1是α0(x)的二重零點，即可假設(shè)由可得可知x1是α0(x)的二重零點，即可假設(shè)由可得57Lagrange插值基函數(shù)同理可得Lagrange同理可得58將以上結(jié)果代入得兩個節(jié)點的三次Hermite插值公式：將以上結(jié)果代入得兩個節(jié)點的三次Hermite插值公式：59二、三次Hermite插值的余項定理：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，f(x)在(a,b)內(nèi)有4階導數(shù)，H3(x)是滿足插值條件(j=0,1)的三次Hermite插值函數(shù)，則對任意的x∈[a,b]，H(x)的插值余項為證明：由(i=0,1)二、三次Hermite插值的余項定理：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,60可知，x0，x1均為R3(x)的二重零點，因此可設(shè)其中K(x)待定構(gòu)造輔助函數(shù)i=0,1因此φ(t)至少有5個零點。連續(xù)4次使用Rolle定理可得，至少存在一點ξ∈[x0,x1]，使得可知，x0，x1均為R3(x)的二重零點，因此可設(shè)其中K(x61即所以，兩點三次Hermite插值的余項為即所以，兩點三次Hermite插值的余項為62例1.解:例1.解:63作為多項式插值，三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有可能發(fā)生Runge現(xiàn)象，因此，對有n+1個節(jié)點的插值問題，我們可以使用分段兩點三次Hermite插值。作為多項式插值，三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有可能發(fā)生Ru64設(shè)節(jié)點x0<x1<…<xn，分段插值函數(shù)Hn(x)在兩個相鄰節(jié)點構(gòu)成的小區(qū)間[xj,xj+1] (j=0,1,…n-1)上滿足條件：三、分段三次Hermite插值用三次Hermite插值，當x[xj

,xj+1

]時，有設(shè)節(jié)點x0<x1<…<xn，分段插值函數(shù)Hn(x)在兩個65其中其中665.6三次樣條插值樣條：是指飛機或輪船等的制造過程中為描繪出光滑的外形曲線(放樣)所用的工具。樣條本質(zhì)上是一段一段的三次多項式拼合而成的曲線，在拼接處，不僅函數(shù)是連續(xù)的，且一階和二階導數(shù)也是連續(xù)的。1946年，Schoenberg將樣條引入數(shù)學，即所謂的樣條函數(shù)。因分段線性插值導數(shù)不連續(xù)，埃爾米特插值導數(shù)連續(xù)但需要已知，故引入樣條插值概念。5.6三次樣條插值樣條：是指飛機或輪船等的制造過程中為67一、三次樣條插值函數(shù)的定義定義：給定區(qū)間[a,b]上的一個劃分：

a=x0<x1<…<xn=b，已知函數(shù)f(x)在點xj上的函數(shù)值為

f(xj)=

yj,(j=0,1,2,···,n)如果存在分段函數(shù)一、三次樣條插值函數(shù)的定義定義：給定區(qū)間[a,b]上的一個劃68(1)S(x)在每一個子區(qū)間[xj-1

,xj](j=0,1,2,···,n)上是一個三次多項式；(2)S(x)在每一個內(nèi)接點xj(j=1,2,···,n-1)上具有直到二階的連續(xù)導數(shù)；則稱S(x)為節(jié)點x0,x1,…,xn

上的三次樣條函數(shù)。若S(x)在節(jié)點x0,x1,…,xn

上還滿足插值條件：(3)S(xj)=yj

(j=0,1,2,···,n)則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。（即全部通過樣點的二階連續(xù)可微的分段三次多項式函數(shù)）滿足下述條件：(1)S(x)在每一個子區(qū)間[xj-1,xj](j69三次樣條插值多項式的確定：由(1)知，S(x)在每一個小區(qū)間[xj-1

,xj

]上是一三次多項式，若記為Sj(x)，則可設(shè)要確定函數(shù)S(x)的表達式，須確定4n個未知系數(shù){aj，bj，cj，dj}(j=1,2,…,n)。由(2)知，S(x)，S`(x)，S``(x)在內(nèi)節(jié)點x1,x2,…,xn-1上連續(xù)，則j=1,2,…,n-1三次樣條插值多項式的確定：由(1)知，S(x)在每一個小區(qū)70可得3n-3個方程，又由條件(3)j=0,1,…,n得n+1個方程，共可得4n-2個方程。要確定4n個未知數(shù)，還差兩個方程。通常在端點x0=a,xn=b處各附加一個條件，稱邊界條件，常見有三種：(1)自然邊界條件：(2)固定邊界條件：－自然樣條（最光滑）(3)周期邊界條件：共4n個方程，可唯一地確定4n個未知數(shù)?？傻?n-3個方程，又由條件(3)j=0,1,…,n得n+171例已知f(x)：f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1，求f(x)在[-1,1]上的三次自然樣條插值函數(shù)。解設(shè)由插值條件和函數(shù)連續(xù)條件得：例已知f(x)：f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=72由一階及二階導數(shù)連續(xù)得：由自然邊界條件得：聯(lián)立上面8個方程，求解得故由一階及二階導數(shù)連續(xù)得：由自然邊界條件得：聯(lián)立上面8個方程，73二、三次樣條插值函數(shù)的建立（1）用一階導數(shù)值構(gòu)造三次樣條插值函數(shù) （m表達式）設(shè)S`(xj)=mj，(j=0,1,2,…,n)計算未知的mj，即可通過分段三次Hermite插值得到分段三次樣條插值多項式。假設(shè)插值節(jié)點為等距節(jié)點，h=xj+1-xj，(j=0,1,2,…,n-1)當x∈[xj,xj+1]時，利用分段三次Hermite插值函數(shù)表示S(x)可得二、三次樣條插值函數(shù)的建立（1）用一階導數(shù)值構(gòu)造三次樣條插值74其中其中75利用樣條插值函數(shù)二階