第5章第2節(jié)泰勒公式課件

引言本節(jié)從利用一階導(dǎo)數(shù)做近似計(jì)算及估計(jì)誤差入手,導(dǎo)入Taylor公式利用高階導(dǎo)數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)做一般函數(shù)的近似計(jì)算及估計(jì)誤差.

主要內(nèi)容

1.利用一階導(dǎo)數(shù)做近似計(jì)算

(1)近似計(jì)算;(2)估計(jì)誤差

2.Taylor公式及幾種余項(xiàng)形式8/3/20231

1.近似計(jì)算于是一、利用(一階)導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算指的是對復(fù)雜函數(shù)用簡單計(jì)算方法得到一定精度的計(jì)算結(jié)果.yxo8/3/202321.近似計(jì)算于是一、利用(一階)導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算指的是對復(fù)雜這就是利用導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算的公式。.

8/3/20233這就是利用導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算的公式。.8/1/20233例1.如圖，加工圓錐臺時(shí)計(jì)算刀架應(yīng)取角.s因一般相當(dāng)小，故解：于是從而8/3/20234例1.如圖，加工圓錐臺時(shí)計(jì)算刀架應(yīng)取角.s因例2.開方的近似計(jì)算.常用近似公式（充分小有）：

由此可得8/3/20235例2.開方的近似計(jì)算.常用近似公式（充分小例3.計(jì)算的近似值.解：查表得0.4848加題8/3/20236例3.計(jì)算的近誤差估計(jì)例如：設(shè)計(jì)一根軸長度120毫米，加工后量得120.03毫米，誤差為毫米.設(shè)計(jì)一個(gè)鍵銷長度12毫米，加工后量得12.03毫米，誤差為毫米.稱這種誤差為絕對誤差，表明了一個(gè)量與它的近似值之間的差值，反映了某種近似程度.是指估計(jì)近似值與精確值的差8/3/20237誤差估計(jì)例如：設(shè)計(jì)一根軸長度120毫米，加工后量得120.0上例中，盡管他們的絕對誤差相等，但明顯地，軸長（120毫米）的精度要比鍵銷（12毫米）的精度高?？梢?，一個(gè)量的近似精度依賴于其絕對誤差和這個(gè)量本身的大小，故需計(jì)算絕對誤差占總長度的百分比（即相對誤差）.例如：軸：鍵銷：稱這樣的百分比為相對誤差.顯然，軸長精度比鍵銷長的精度高得多.一般地，有定義：8/3/20238上例中，盡管他們的絕對誤差相等，但明顯地，軸長Def:相對誤差8/3/20239Def:相對誤差8/1/20239例4.

多次測量一根圓鋼,測得其直徑的平均值為D＝50毫米，絕對誤差不超過0.05毫米.試計(jì)算其截面積,并估計(jì)其誤差.解：S的絕對誤差：相對誤差：8/3/202310例4.多次測量一根圓鋼,測得其直徑的平均值為D＝50毫二、Taylor公式簡單函數(shù)多項(xiàng)式復(fù)雜的函數(shù)近似表示從而近似公式近似計(jì)算和理論分析中8/3/202311二、Taylor公式簡單函數(shù)多項(xiàng)式復(fù)雜的函數(shù)近似表示從而近為提高近似精度，可用二次多項(xiàng)式作近似代替（二階近似）且要求一般地，可用n次多項(xiàng)式作近似代替（n階近似）且…8/3/202312為提高近似精度，可用二次多項(xiàng)式作近似代替（二階近似）且要求一8/3/2023138/1/202313例5.

上述公式表明，近似式階數(shù)越高，近似程度越好.近似程度是多少？教材P198例48/3/202314例5.上述公式表明，近似式階數(shù)越高，近似程度越好.近似Th：Taylor公式（也稱馬克勞林(Maclaurin)公式），式中叫做Lagrange

余項(xiàng).此函數(shù)可表示為以下多項(xiàng)式函數(shù)形式8/3/202315Th：Taylor公式（也稱馬克勞林(Maclaurin證明：作輔助函數(shù)再作輔助函數(shù)8/3/202316證明：作輔助函數(shù)再作輔助函數(shù)8/1/202316利用Cauchy定理，得Lagrange余項(xiàng)還可寫為：又因此余項(xiàng)又可表示為稱為皮亞諾(Peano)余項(xiàng).,將以下代入上式得:(證畢)8/3/202317利用Cauchy定理，得Lagrange余項(xiàng)還可寫為：又因注1：

Cauchy余項(xiàng)注2：由余項(xiàng)可見，不論縮小x或增大階數(shù)n都可提高精度.8/3/202318注1：Cauchy余項(xiàng)注2：由余項(xiàng)可見，不論縮小x或增大Lagrange余項(xiàng)或Peano余項(xiàng)8/3/202319Lagrange余項(xiàng)或Peano余項(xiàng)8/1/202319例5中,誤差為(Lagrange余項(xiàng))8/3/202320例5中,誤差為(Lagrange余項(xiàng))8/1/202320例6.求的冪函數(shù)展開式時(shí)的Maclaurin公式解:所以Lagrange余項(xiàng)8/3/202321例6.求的冪函數(shù)展開式時(shí)的Maclaurin公式解:所以L加題Maclaurin公式8/3/202322加題Maclaurin公式8/1/202322例7.Peano余項(xiàng).Maclaurin公式

解:

…………將x=0依次代入，得8/3/202323例7.Peano余項(xiàng).Maclaurin公式解:特別，二項(xiàng)式展開公式Peano余項(xiàng).8/3/202324特別，二項(xiàng)式展開公式Peano余項(xiàng).8/1/202324例8.Peano余項(xiàng).Maclaurin公式展開解:加題同學(xué)們做題要多算幾項(xiàng)找出規(guī)律8/3/202325例8.Peano余項(xiàng).Maclaurin公式展開解:加題同例9.解：加題Peano余項(xiàng).分項(xiàng)分式法利用前面ppt24結(jié)果對兩項(xiàng)分別展開8/3/202326例9.解：加題Peano余項(xiàng).分項(xiàng)分式法利用前面ppt24結(jié)例10.解：加題Peano余項(xiàng).利用例8結(jié)果展開然后再還原8/3/202327例10.解：加題Peano余項(xiàng).利用例8然后再還原8/1/2例11.求注3.

函數(shù)的Taylor公式是函數(shù)無窮小的一種精細(xì)分析，也是在無窮小鄰域?qū)⒊竭\(yùn)算轉(zhuǎn)化為整冪運(yùn)算的手段，從而可將無理或超越函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為有理式的極限而求解，大大簡化計(jì)算.Peano余項(xiàng).加題8/3/202328例11.求注3.函數(shù)的Taylor公式是函數(shù)小結(jié):

1.利用一階導(dǎo)數(shù)做近似計(jì)算公式相對誤差

2.絕對誤差Taylor公式:把一