復(fù)變函數(shù)第一講

復(fù)變函數(shù)第一講第1頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)象復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴(lài)關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、共形映射等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、第2頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。第3頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月背景復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開(kāi)方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。直到十八世紀(jì)，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。第4頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時(shí)期的三位代表人物。經(jīng)過(guò)他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。二十世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。第5頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一講復(fù)數(shù)第6頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

1.復(fù)數(shù)的概念

2.代數(shù)運(yùn)算

3.共軛復(fù)數(shù)CH1§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算第7頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

一般,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。1.復(fù)數(shù)的概念定義對(duì)任意兩實(shí)數(shù)x、y,稱(chēng)z=x+iy或z=x+yi為復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)z的實(shí)部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)復(fù)數(shù)的模判斷復(fù)數(shù)相等第8頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數(shù)運(yùn)算四則運(yùn)算第9頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運(yùn)算規(guī)律復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實(shí)數(shù)相同）即，第10頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)3.共軛復(fù)數(shù)定義若z=x+iy,稱(chēng)z=x-iy為z的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)第11頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第12頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第13頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

1.點(diǎn)的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指數(shù)表示法§2復(fù)數(shù)的表示方法第14頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示：

數(shù)z與點(diǎn)z同義.第15頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

稱(chēng)向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)z=x+iy的模或絕對(duì)值；以正實(shí)軸為始邊,以為終邊的角的弧度數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角.(z≠0時(shí))第16頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月輻角無(wú)窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中滿(mǎn)足的θ0稱(chēng)為輻角Argz的主值，記作θ0=argz。

z=0時(shí)，輻角不確定。

計(jì)算argz(z≠0)

的公式第17頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。

當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加。

當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減。

第18頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指數(shù)表示法第19頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方程（或不等式）來(lái)確定它所表示的平面圖形。例1

用復(fù)數(shù)方程表示:（1）過(guò)兩點(diǎn)zj=xj+iyj

(j=1,2)的直線(xiàn)；（2）中心在點(diǎn)(0,-1),

半徑為2的圓。oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)

（-∞<t<+∞）第20頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月xy(z)O(0,-1)2例2

方程表示什么圖形？解第21頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意.復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化,以適應(yīng)不同問(wèn)題的需要.第22頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

1.復(fù)數(shù)的乘積與商

2.復(fù)數(shù)的乘冪

3.復(fù)數(shù)的方根§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根第23頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理1

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)

1.乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2第24頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幾何意義將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。定理1可推廣到n個(gè)復(fù)數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z2第25頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月要使上式成立,必須且只需k=m+n+1.第26頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理2

兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。證明Argz=Argz2-Argz1即：由復(fù)數(shù)除法的定義z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）第27頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)z=reiθ，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。2.復(fù)數(shù)的乘冪定義n個(gè)相同的復(fù)數(shù)z的乘積，稱(chēng)為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個(gè)）。定義特別：當(dāng)|z|=1時(shí)，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

一棣模佛(DeMoivre)公式。第28頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題給定復(fù)數(shù)z=rei，求所有的滿(mǎn)足ωn=z的復(fù)數(shù)ω。3.復(fù)數(shù)的方根（開(kāi)方）——乘方的逆運(yùn)算當(dāng)z≠0時(shí)，有n個(gè)不同的ω值與相對(duì)應(yīng)，每一個(gè)這樣的ω值都稱(chēng)為z的n次方根，第29頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)k=0，1，…，n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的根，而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。幾何上，的n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，為半徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。xyo第30頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第31頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

1.區(qū)域的概念

2.簡(jiǎn)單曲線(xiàn)（或Jordan曲線(xiàn))3.單連通域與多連通域§4區(qū)域第32頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.區(qū)域的概念鄰域復(fù)平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱(chēng)為點(diǎn)z0的δ（去心）鄰域。記為Ｕ(z0,δ)即，設(shè)G是一平面上點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn)對(duì)任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G，則稱(chēng)z0是G的內(nèi)點(diǎn)。第33頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月開(kāi)集若G內(nèi)的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)G是開(kāi)集。連通是指區(qū)域設(shè)D是一個(gè)開(kāi)集，且D是連通的，稱(chēng)

D是一個(gè)區(qū)域。D-區(qū)域邊界與邊界點(diǎn)已知點(diǎn)P不屬于D，若點(diǎn)P的任何鄰域中都包含D中的點(diǎn)及不屬于D的點(diǎn)，則稱(chēng)P是D的邊界點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界。P第34頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有界區(qū)域與無(wú)界區(qū)域若存在R>0,對(duì)任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，則D是有界區(qū)域；否則無(wú)界。閉區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,第35頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第36頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.簡(jiǎn)單曲線(xiàn)（或Jardan曲線(xiàn))令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線(xiàn)方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線(xiàn)相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線(xiàn)。第37頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月重點(diǎn)設(shè)連續(xù)曲線(xiàn)C：z=z(t)，a≤t≤b，對(duì)于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當(dāng)t1≠t2時(shí)，若z(t1)=z(t2)，稱(chēng)z(t1)為曲線(xiàn)C的重點(diǎn)。定義稱(chēng)沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線(xiàn)C為簡(jiǎn)單曲線(xiàn)或Jardan曲線(xiàn);若簡(jiǎn)單曲線(xiàn)C