小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）目30講全課件

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-1-小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）第

1講

速算與巧算（一）第

2講

速算與巧算（二）第

3講

高斯求和第

4講

4，8，9整除的數(shù)的特征第

5講

棄九法第

6講

數(shù)的整除性（二）第

7講

找規(guī)律（一）第

8講

找規(guī)律（二）第

9講

數(shù)字謎（一）第

10講

數(shù)字謎（二）第

11講

歸一問題與歸總問題第

12講

年齡問題第

13講

雞兔同籠問題與假設(shè)法第

14講

盈虧問題與比較法（一）第

15講

盈虧問題與比較法（二）第

16講

數(shù)陣圖（一）第

17講

數(shù)陣圖（二）第

18講

數(shù)陣圖（三）第

19將

乘法原理第

20講

加法原理（一）第

21講

加法原理（二）第

22講

還原問題（一）第

23講

還原問題（二）第

24講

頁碼問題第

25講

智取火柴第

26講

邏輯問題（一）第

27講

邏輯問題（二）第

28講

最不利原則第

29講

抽屜原理（一）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-1-小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-2-第

30講

抽屜原理（二）第

1講

速算與巧算（一）計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計(jì)算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。我們在三年級已經(jīng)講過一些四則運(yùn)算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補(bǔ)同與同補(bǔ)速算法。例

1四年級一班第一小組有

10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的成績（分?jǐn)?shù)）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求這

10名同學(xué)的總分。分析與解：通常的做法是將這

10個(gè)數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯(cuò)。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”，比如以“80”作基準(zhǔn)，這

10個(gè)數(shù)與

80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號表示這個(gè)數(shù)比

80小。于是得到總和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。實(shí)際計(jì)算時(shí)只需口算，將這些數(shù)與

80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：通過口算，得到差數(shù)累加為

9，再加上

80×10，就可口算出結(jié)果為

809。例

1所用的方法叫做加法的基準(zhǔn)數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準(zhǔn)”的數(shù)（如例

1的

80）叫做基準(zhǔn)數(shù)，各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差的和叫做累計(jì)差。由例

1得到：總和數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)×加數(shù)的個(gè)數(shù)+累計(jì)差，平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+累計(jì)差÷加數(shù)的個(gè)數(shù)。在使用基準(zhǔn)數(shù)法時(shí)，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準(zhǔn)數(shù)，這樣才容易計(jì)算累計(jì)差。同時(shí)考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個(gè)數(shù)的乘法能夠方便地計(jì)算出來，所以基準(zhǔn)數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。例

2某農(nóng)場有

10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-2-第30講抽屜原理（二小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-3-462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。解：選基準(zhǔn)數(shù)為

450，則累計(jì)差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，平均每塊產(chǎn)量=450＋50÷10＝455（千克）。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為

455千克。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如7×7＝49（七七四十九）。對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了

10～20的平方，而

21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法-湊整補(bǔ)零法。所謂湊整補(bǔ)零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過移多補(bǔ)少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。例

3求

292和

822的值。解：292=29×29＝（29＋1）×（29-1）＋12＝30×28＋1＝840+1＝841。822＝82×82＝（82－2）×（82＋2）＋22＝80×84＋4＝6720+4＝6724。由上例看出，因?yàn)?/p>

29比

30少

1，所以給

29“補(bǔ)”1，這叫“補(bǔ)少”；因?yàn)?/p>

82比

80多2，所以從

82中“移走”2，這叫“移多”。因?yàn)槭莾蓚€(gè)相同數(shù)相乘，所以對其中一個(gè)數(shù)“移多補(bǔ)少”后，還需要在另一個(gè)數(shù)上“找齊”。本例中，給一個(gè)

29補(bǔ)

1，就要給另一個(gè)

29減1；給一個(gè)

82減了

2，就要給另一個(gè)

82加上

2。最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的數(shù)的平方。由湊整補(bǔ)零法計(jì)算

352，得35×35＝40×30＋52=1225。這與三年級學(xué)的個(gè)位數(shù)是

5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。例

4求

9932和

20042的值。解：9932=993×993＝（993＋7）×（993-7）+72小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-3-462，480，44小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-4-＝1000×986＋49＝986000＋49＝986049。20042=2004×2004＝（2004-4）×（2004+4）＋42＝2000×2008＋16＝4016000＋16＝4016016。下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。請看下面的算式：66×46，73×88，19×44。這幾道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為

10。這類算式有非常簡便的速算方法。例

588×64＝？分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到88×64＝（80＋8）×（60＋4）＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4＝80×（60＋6＋4）＋8×4＝80×（60＋10）＋8×4＝8×（6＋1）×100+8×4。于是，我們得到下面的速算式：由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積，本例為

8×4；積中從百位起前面的數(shù)是“個(gè)位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個(gè)位與十位之和為

10的因數(shù)”的十位數(shù)加

1的乘積，本例為

8×（6＋1）。例

677×91＝？解：由例

3的解法得到小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-4-＝1000×986＋小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-5-由上式看出，當(dāng)兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積是一位數(shù)時(shí)，應(yīng)在十位上補(bǔ)一個(gè)

0，本例為

7×1＝07。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計(jì)算。練習(xí)

11.求下面

10個(gè)數(shù)的總和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情況，量出

12株麥苗的高度分別為（單位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度。3.某車間有

9個(gè)工人加工零件，他們加工零件的個(gè)數(shù)分別為：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他們共加工了多少個(gè)零件？4.計(jì)算：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。5.計(jì)算下列各題：（1）372；

（2）532；

（3）912；（4）682：

（5）1082；

（6）3972。6.計(jì)算下列各題：（1）77×28；（2）66×55；（3）33×19；（4）82×44；（5）37×33；（6）46×99。練習(xí)

1答案1.1596。

2.26厘米。3.711個(gè)。

4.147。5.（1）1369；

（2）2809；

（3）8281；（4）4624；

（5）11664；

（6）157609。6.（1）2156；

（2）3630；

（3）627；（4）3608；

（5）1221；

（6）4554。第

2講

速算與巧算（二）上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補(bǔ)”與“補(bǔ)同”速算法。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-5-由上式看出，當(dāng)兩個(gè)因小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-6-兩個(gè)數(shù)之和等于

10，則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)。在整數(shù)乘法運(yùn)算中，常會遇到像

72×78，26×86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補(bǔ)，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同或互補(bǔ)的情況

。72×78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個(gè)位數(shù)字互補(bǔ)，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補(bǔ)”型；26×86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補(bǔ)、個(gè)位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補(bǔ)、尾相同”型。計(jì)算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補(bǔ)”速算法和“補(bǔ)同”速算法。例

1（1）76×74＝？

（2）31×39＝？分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補(bǔ)”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到76×74＝（70＋6）×（70+4）＝（70＋6）×70＋（70＋6）×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4＝70×（70＋6＋4）＋6×4＝70×（70＋10）＋6×4＝7×（7+1）×100＋6×4。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例

1看出，在“頭相同、尾互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)

0，如

1×9＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加

1的乘積?！巴a(bǔ)”速算法簡單地說就是：積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×（頭+1）”。我們在三年級時(shí)學(xué)到的

15×15，25×25，…，95×95的速算，實(shí)際上就是“同補(bǔ)”速算法。例

2（1）78×38＝？

（2）43×63＝？分析與解：本例兩題都是“頭互補(bǔ)、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到78×38小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-6-兩個(gè)數(shù)之和等于10小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-7-＝（70＋8）×（30＋8）＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8＝70×30+8×30＋70×8＋8×8＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8＝7×3×100＋8×100＋8×8＝（7×3＋8）×100＋8×8。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例

2看出，在“頭互補(bǔ)、尾相同”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)

0，如

3×3＝09），積中從百位起前面的數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個(gè)位數(shù)?！把a(bǔ)同”速算法簡單地說就是：積的末兩位數(shù)是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。例

1和例

2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補(bǔ)”或“補(bǔ)同”形式的速算法。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時(shí)，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補(bǔ)的概念推廣一下。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和是

10，100，1000，…時(shí)，這兩個(gè)數(shù)互為補(bǔ)數(shù)，簡稱互補(bǔ)。如

43與

57互補(bǔ)，99與

1互補(bǔ)，555與

445互補(bǔ)。在一個(gè)乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補(bǔ)時(shí)，這個(gè)算式就是“同補(bǔ)”型，即“頭相同，尾互補(bǔ)”型。例如，

因?yàn)楸怀藬?shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是

70，后兩位數(shù)互補(bǔ)，77＋23＝100，所以是“同補(bǔ)”型。又如，等都是“同補(bǔ)”型。當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補(bǔ)，后面的幾位數(shù)相同時(shí)，這個(gè)乘法算式就是“補(bǔ)同”型，即“頭互補(bǔ)，尾相同”型。例如，

等都是“補(bǔ)同”型。在計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，例

1的方法仍然適用。例

3（1）702×708=？

（2）1708×1792＝？小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-7-＝（70＋8）×（30＋小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-8-解：（1）（2）計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，將“頭×（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個(gè)互補(bǔ)數(shù)之積作為乘積的后幾位。注意：互補(bǔ)數(shù)如果是

n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后

2n位，不足的位補(bǔ)“0”。在計(jì)算多位數(shù)的“補(bǔ)同”型乘法時(shí)，如果“補(bǔ)”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例

2的方法仍然適用（見例

4）；如果“補(bǔ)”與“同”的位數(shù)不相同，那么例

2的方法不再適用，因?yàn)闆]有簡捷實(shí)用的方法，所以就不再討論了。例

42865×7265＝？解：練習(xí)

2計(jì)算下列各題：1.68×62；

2.93×97；3.27×87；

4.79×39；5.42×62；

6.603×607；7.693×607；

8.4085×6085。第

3講

高斯求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于

5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-8-解：（1）（2）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-9-1～100正好可以分成這樣的

50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）×100÷2＝5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。其中（1）是首項(xiàng)為

1，末項(xiàng)為

100，公差為

1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為

1，末項(xiàng)為99，公差為

2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為

8，末項(xiàng)為

71，公差為

7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2。例

11＋2＋3＋…＋1999＝？分析與解：這串加數(shù)

1，2，3，…，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是

1，末項(xiàng)是

1999，共有

1999個(gè)數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例

211＋12＋13＋…＋31＝？分析與解：這串加數(shù)

11，12，13，…，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是

11，末項(xiàng)是

31，共有

31-11＋1＝21（項(xiàng)）。原式=（11+31）×21÷2=441。在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1，末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。例

33＋7＋11＋…＋99＝？分析與解：3，7，11，…，99是公差為

4的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。例

4求首項(xiàng)是

25，公差是

3的等差數(shù)列的前

40項(xiàng)的和。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-9-1～100正好可以分小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-10-解：末項(xiàng)=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。例

5在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是

12厘米

2，邊長是

1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有

8層，從上往下擺時(shí)，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米

2）。2）火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。答：最大三角形的面積是

768厘米

2，整個(gè)圖形由

108根火柴擺成。例

6盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成

3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成

3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成

3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成

3只球，實(shí)際上多了

2只球。第一次多了

2只球，第二次多了

2×2只球……第十次多了

2×10只球。因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）。加上原有的

3只球，盒子里共有球

110＋3＝113（只）。綜合列式為：小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-10-解：末項(xiàng)=25＋3×（小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-11-（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。練習(xí)

31.計(jì)算下列各題：（1）2＋4＋6＋…＋200；（2）17＋19＋21＋…＋39；（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。2.求首項(xiàng)是

5，末項(xiàng)是

93，公差是

4的等差數(shù)列的和。3.求首項(xiàng)是

13，公差是

5的等差數(shù)列的前

30項(xiàng)的和。4.時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。問：時(shí)鐘一晝夜敲打多少次？5.求

100以內(nèi)除以

3余

2的所有數(shù)的和。6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大的數(shù)共有多少個(gè)？第四講我們在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被

2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被

4，8，9整除的數(shù)的特征。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：性質(zhì)

1如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被

16整除，16能被

8整除，那么

48一定能被

8整除。性質(zhì)

2如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。例如，21與

15都能被

3整除，那么

21＋15及

21-15都能被

3整除。性質(zhì)

3如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被

9整除，又能被

7整除，且

9與

7互質(zhì)，那么

126能被

9×7＝63整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問題。為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)過的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來：（1）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是

0，2，4，6，8中的一個(gè)，那么這個(gè)數(shù)就能被

2整除。（2）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是

0或

5，那么這個(gè)數(shù)就能被

5整除。（3）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被

3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被

3整除。（4）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被

4（或

25）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被

4（或

25）整除。（5）一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能被

8（或

125）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被

8（或

125）整除。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-11-（3-1）×（1＋2＋小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-12-（6）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被

9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被

9整除。其中（1）（2）（3）是三年級學(xué)過的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。因?yàn)?/p>

100能被

4（或

25）整除，所以由整除的性質(zhì)

1知，整百的數(shù)都能被

4（或

25）整除。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)都能分成一個(gè)整百的數(shù)與這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)

2知，只要這個(gè)數(shù)的后兩位數(shù)能被

4（或

25）整除，這個(gè)數(shù)就能被

4（或

25）整除。這就證明了（4）。類似地可以證明（5）。（6）的正確性，我們用一個(gè)具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。因?yàn)?/p>

99和

9都能被

9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)

1和性質(zhì)

2知，（8x99＋3x9）能被

9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)

2，由（8＋3＋7）能被

9整除，就能判斷

837能被

9整除。利用（4）（5）（6）還可以求出一個(gè)數(shù)除以

4，8，9的余數(shù)：（4‘）一個(gè)數(shù)除以

4的余數(shù)，與它的末兩位除以

4的余數(shù)相同。（5＇）一個(gè)數(shù)除以

8的余數(shù)，與它的末三位除以

8的余數(shù)相同。（6＇）一個(gè)數(shù)除以

9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以

9的余數(shù)相同。例

1

在下面的數(shù)中，哪些能被

4整除？哪些能被

8整除？哪些能被

9整除？234，789，7756，8865，3728.8064。解：能被

4整除的數(shù)有

7756，3728，8064；能被

8整除的數(shù)有

3728，8064；能被

9整除的數(shù)有

234，8865，8064。例

2

在四位數(shù)

56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能被

9，8，4整除？解：如果

56□2能被

9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□應(yīng)能被

9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是

5，即四位數(shù)是

5652時(shí)能被

9整除；如果

56□2能被

8整除，那么

6□2應(yīng)能被

8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是

3或

7，即四位數(shù)是5632或

5672時(shí)能被

8整除；如果

56□2能被

4整除，那么□2應(yīng)能被

4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是

1，3，5，7，9，即四位數(shù)是

5612，5632，5652，5672，5692時(shí)能被

4整除。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-12-（6）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-13-到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過能被

2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。例如，

判斷一個(gè)數(shù)能否被

6整除，因?yàn)?/p>

6＝2×3，2與

3互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被

2整除又能被

3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)

3，可判定這個(gè)數(shù)能被

6整除。同理，判斷一個(gè)數(shù)能否被

12整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被

3和

4整除；判斷一個(gè)數(shù)能否被

72整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被

8和

9整除；如此等等。例

3從

0，2，5，7四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，組成能同時(shí)被

2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。解：因?yàn)榻M成的三位數(shù)能同時(shí)被

2，5整除，所以個(gè)位數(shù)字為

0。根據(jù)三位數(shù)能被

3整除的特征，數(shù)字和

2＋7＋0與

5＋7＋0都能被

3整除，因此所求的這些數(shù)為

270，570，720，750。例

4五位數(shù)能被

72整除，問：A與

B各代表什么數(shù)字？分析與解：已知能被

72整除。因?yàn)?/p>

72＝8×9，8和

9是互質(zhì)數(shù)，所以既能被

8整除，又能被

9整除。根據(jù)能被

8整除的數(shù)的特征，要求6。再根據(jù)能被

9整除的數(shù)的特征，

的各位數(shù)字之和為A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，能被

8整除，由此可確定

B＝因?yàn)?/p>

l≤A≤9，所以

21≤A＋20≤29。在這個(gè)范圍內(nèi)只有

27能被

9整除，所以

A＝7。解答例

4的關(guān)鍵是把

72分解成

8×9，再分別根據(jù)能被

8和

9整除的數(shù)的特征去討論

B和

A所代表的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定

B所代表的數(shù)字，因?yàn)?/p>

B代表的數(shù)字不受

A的取值大小的影響，一旦

B代表的數(shù)字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易確定了。例

5六位數(shù)是

6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(gè)？分析與解：因?yàn)?/p>

6＝2×3，且

2與

3互質(zhì)，所以這個(gè)整數(shù)既能被

2整除又能被

3整除。由六位數(shù)能被

2整除，推知

A可取

0，2，4，6，8這五個(gè)值。再由六位數(shù)能被

3整除，推知3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被

3整除，故

2B能被

3整除。B可取

0，3，6，9這

4個(gè)值。由于

B可以取

4個(gè)值，A可以取

5個(gè)值，題目沒有要求

A≠B，所以符合條件的六位數(shù)共有

5×4＝20（個(gè)）。例

6要使六位數(shù)能被

36整除，而且所得的商最小，問

A，B，C各代表什么數(shù)字？分析與解：因?yàn)?/p>

36＝4×9，且

4與

9互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)既能被

4整除又能被

9整除。六位數(shù)能被

4整除，就要能被

4整除，因此

C可取

1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使這個(gè)六位數(shù)盡可能小。因此首先是

A盡量小，其次是B盡量小，最后是

C盡量小。先試取

A=0。六位數(shù)的各位數(shù)字之和為

12＋B＋C。它應(yīng)小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-13-到現(xiàn)在為止，我們已小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-14-能被

9整除，因此

B＋C＝6或

B＋C＝15。因?yàn)?/p>

B，C應(yīng)盡量小，所以

B＋C＝6，而

C只能取1，3，5，7，9，所以要使

盡可能小，應(yīng)取

B＝1，C＝5。當(dāng)

A=0，B=1，C＝5時(shí)，六位數(shù)能被

36整除，而且所得商最小，為

150156÷36＝4171。練習(xí)

41．6539724能被

4，8，9，24，36，72中的哪幾個(gè)數(shù)整除？2．個(gè)位數(shù)是

5，且能被

9整除的三位數(shù)共有多少個(gè)？3．一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是

3，十位上的數(shù)字都是

6，并且它們既能被

2整除又能被

3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4．五位數(shù)能被

12整除，求這個(gè)五位數(shù)。5．有一個(gè)能被

24整除的四位數(shù)□23□，這個(gè)四位數(shù)最大是幾？最小是幾？6．從

0，2，3，6，7這五個(gè)數(shù)碼中選出四個(gè)，可以組成多少個(gè)可以被

8整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？7．在

123的左右各添一個(gè)數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被

72整除。8．學(xué)校買了

72只小足球，發(fā)票上的總價(jià)有兩個(gè)數(shù)字已經(jīng)辨認(rèn)不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少錢嗎？第

5講

棄九法從第

4講知道，如果一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被

9整除，那么這個(gè)數(shù)能被

9整除；如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和被

9除余數(shù)是幾，那么這個(gè)數(shù)被

9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個(gè)性質(zhì)可以迅速地判斷一個(gè)數(shù)能否被

9整除或者求出被

9除的余數(shù)是幾。例如，3645732這個(gè)數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被

9除余

3，所以

3645732這個(gè)數(shù)不能被

9整除，且被

9除后余數(shù)為

3。但是，當(dāng)一個(gè)數(shù)的數(shù)位較多時(shí)，這種計(jì)算麻煩且易錯(cuò)。有沒有更簡便的方法呢？因?yàn)槲覀冎皇桥袛噙@個(gè)式子被

9除的余數(shù)，所以凡是若干個(gè)數(shù)的和是

9時(shí)，就把這些數(shù)劃掉，如

3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個(gè)

3（如下圖），所以這個(gè)數(shù)除以

9的余數(shù)是

3。這種將和為

9或

9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以

9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。一個(gè)數(shù)被

9除的余數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的九余數(shù)。利用棄九法可以計(jì)算一個(gè)數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗(yàn)四則運(yùn)算的正確性。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-14-能被9整除，因此B小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-15-例

1求多位數(shù)

7645821369815436715除以

9的余數(shù)。分析與解：利用棄九法，將和為

9的數(shù)依次劃掉。只剩下

7，6，1，5四個(gè)數(shù)，這時(shí)口算一下即可。口算知，7，6，5的和是

9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下

1。所以這個(gè)多位數(shù)除以

9余

1。例

2將自然數(shù)

1，2，3，…依次無間隔地寫下去組成一個(gè)數(shù)

1234567891011213…如果一直寫到自然數(shù)

100，那么所得的數(shù)除以

9的余數(shù)是多少？分析與解：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時(shí)不能逐個(gè)劃掉和為

9或

9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當(dāng)?shù)姆治?。我們已?jīng)熟知1＋2＋3＋…＋9＝45，而

45是

9的倍數(shù)，所以每一組

1，2，3，…，9都可以劃掉。在

1～99這九十九個(gè)數(shù)中，個(gè)位數(shù)有十組

1，2，3，…，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組

1，2，3，…，9，也都劃掉。這樣在這個(gè)大數(shù)中，除了

0以外，只剩下最后的

100中的數(shù)字

1。所以這個(gè)數(shù)除以

9余

1。在上面的解法中，并沒有計(jì)算出這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)與它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和除以

9的余數(shù)相同，所以題中這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和，與

1＋2＋…＋100除以

9的余數(shù)相同。利用高斯求和法，知此和是

5050。因?yàn)?/p>

5050的數(shù)字和為

5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個(gè)

9余

1，故

5050除以

9余

1。因此題中的數(shù)除以

9余

1。例

3檢驗(yàn)下面的加法算式是否正確：2638457＋3521983＋6745785＝12907225。分析與解：若干個(gè)加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不等，那么這個(gè)加法算式肯定不正確。上式中，三個(gè)加數(shù)的九余數(shù)依次為

8，4，6，8+4+6的九余數(shù)為

0；和的九余數(shù)為

1。因?yàn)?/p>

0≠1，所以這個(gè)算式不正確。例

4檢驗(yàn)下面的減法算式是否正確：7832145-2167953＝5664192。分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加

9，然后再減）應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果不等，那么這個(gè)減法計(jì)算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是

3，減數(shù)的九余數(shù)是

6，由（9+3）-6＝6知，原題等號左邊的九余數(shù)是

6。等號右邊的九余數(shù)也是

6。因?yàn)?/p>

6＝6，所以這個(gè)減法運(yùn)算可能正確。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗(yàn)加法、減法、乘法（見例

5）運(yùn)算的結(jié)果是否正確時(shí)，如果等號兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個(gè)算式肯定不正確；小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-15-例1求多位數(shù)76小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-16-如果等號兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因?yàn)榫庞鄶?shù)只有

0，1，2，…，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗(yàn)運(yùn)算的正確性，只是一種粗略的檢驗(yàn)。例

5檢驗(yàn)下面的乘法算式是否正確：46876×9537＝447156412。分析與解：兩個(gè)因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€(gè)因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等，那么這個(gè)乘法計(jì)算肯定不正確。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，4×6＝24，24的九余數(shù)是

6。乘積的九余數(shù)是

7。6≠7，所以這個(gè)算式不正確。說明：因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，所以當(dāng)余數(shù)為零時(shí)，利用棄九法驗(yàn)算除法可化為用棄九法去驗(yàn)算乘法。例如，檢驗(yàn)

383801÷253=1517的正確性，只需檢驗(yàn)

1517×253=383801的正確性。練習(xí)

51．求下列各數(shù)除以

9的余數(shù)：（1）7468251；

（2）36298745；（3）2657348；

（4）6678254193。2．求下列各式除以

9的余數(shù)：（1）67235＋82564；

（2）97256-47823；（3）2783×6451；

（4）3477+265×841。3．用棄九法檢驗(yàn)下列各題計(jì)算的正確性：（1）228×222＝50616；（2）334×336＝112224；（3）23372428÷6236＝3748；（4）12345÷6789＝83810105。4．有一個(gè)

2000位的數(shù)

A能被

9整除，數(shù)

A的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是

B，數(shù)

B的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是

C，數(shù)

C的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是

D。求

D。第

6講

數(shù)的整除性（二）這一講主要講能被

11整除的數(shù)的特征。一個(gè)數(shù)從右邊數(shù)起，第

1，3，5，…位稱為奇數(shù)位，第

2，4，6，…位稱為偶數(shù)位。也就是說，個(gè)位、百位、萬位……是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位……是偶數(shù)位。例如

9位數(shù)

768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示：小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-16-如果等號兩邊的九余數(shù)相小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-17-能被

11整除的數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被

11整除，那么這個(gè)數(shù)就能被

11整除。例

1判斷七位數(shù)

1839673能否被

11整除。分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為

1＋3＋6＋3=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為

8＋9＋7=24，因?yàn)?/p>

24-13=11能被

11整除，所以

1839673能被

11整除。根據(jù)能被

11整除的數(shù)的特征，也能求出一個(gè)數(shù)除以

11的余數(shù)。一個(gè)數(shù)除以

11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以

11的余數(shù)相同。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應(yīng)在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加

11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。例

2求下列各數(shù)除以

11的余數(shù)：（1）41873；

（2）296738185。分析與解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7，所以

41873除以

11的余數(shù)是

7。（2）奇數(shù)位之和為

2＋6＋3＋1＋5=17，偶數(shù)位之和為

9＋7＋8＋8＝32。因?yàn)?/p>

17＜32，所以應(yīng)給

17增加

11的整數(shù)倍，使其大于

32。（17+11×2）-32＝7，所以

296738185除以

11的余數(shù)是

7。需要說明的是，當(dāng)奇數(shù)位數(shù)字之和遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于偶數(shù)位數(shù)字之和時(shí)，為了計(jì)算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)與11的差即為所求。如上題（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余數(shù)是

11-4=7。例

3求除以

11的余數(shù)。分析與解：奇數(shù)位是

101個(gè)

1，偶數(shù)位是

100個(gè)

9。（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，11-7=4，所求余數(shù)是

4。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-17-能被11整除的數(shù)的特小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-18-例

3還有其它簡捷解法，例如每個(gè)“19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差

9-1＝8，奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相差

8×99=8×9×11，能被

11整除。所以例

3相當(dāng)于求最后三位數(shù)

191除以

11的余數(shù)。例

4用

3，3，7，7四個(gè)數(shù)碼能排出哪些能被

11整除的四位數(shù)？解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個(gè)

3和一個(gè)

7即可。有

3377，3773，7337，7733。例

5用

1～9九個(gè)數(shù)碼組成能被

11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的最大九位數(shù)。分析與解：最大的沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)是

987654321，由（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5知，987654321不能被

11整除。為了保證這個(gè)數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加

3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少

3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?/p>

5＋3×2=11，這個(gè)數(shù)就能被

11整除。調(diào)整“4321”，只要

4調(diào)到奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大

3，就可達(dá)到目的。此時(shí)，4，3在奇數(shù)位，2，1在偶數(shù)位，后四位最大是

2413。所求數(shù)為

987652413。例

6六位數(shù)能被

99整除，求

A和

B。分析與解：由

99=9×11，且

9與

11互質(zhì)，所以六位數(shù)既能被

9整除又能被

11整除。因?yàn)榱粩?shù)能被

9整除，所以A+2+8+7+5+B＝22+A+B應(yīng)能被

9整除，由此推知

A＋B＝5或

14。又因?yàn)榱粩?shù)能被

11整除，所以（A＋8＋5）－（2＋7＋B）＝A-B＋4應(yīng)能被

11整除，即A-B+4=0或

A-B+4=11?；喌?/p>

B-A＝4或

A-B＝7。因?yàn)?/p>

A+B與

A-B同奇同偶，所以有在（1）中，A≤5與

A≥7不能同時(shí)滿足，所以無解。在（2）中，上、下兩式相加，得（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，2B＝18，小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-18-例3還有其它簡捷小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-19-B=9。將

B=9代入

A＋B=14，得

A＝5。所以，A=5，B＝9。練習(xí)

61．為使五位數(shù)

6□295能被

11整除，□內(nèi)應(yīng)當(dāng)填幾？2．用

1，2，3，4四個(gè)數(shù)碼能排出哪些能被

11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？3．求能被

11整除的最大的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。4．求下列各數(shù)除以

11的余數(shù)：（1）2485；

（2）63582；

（3）987654321。5．求除以

11的余數(shù)。6．六位數(shù)5A634B能被

33整除，求

A+B。7．七位數(shù)3A8629B是

88的倍數(shù)，求

A和

B。第

7講

找規(guī)律（一）我們在三年級已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個(gè)題目，學(xué)習(xí)了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這一講重點(diǎn)學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實(shí)累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復(fù)一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比如，數(shù)列

0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照

0，1，2三個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。下面，我們通過一些例題作進(jìn)一步講解。例

1節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照

5盞紅燈、再接

4盞藍(lán)燈、再接

3盞黃燈，然后又是

5盞紅燈、4盞藍(lán)燈、3盞黃燈、……這樣排下去。問：（1）第

100盞燈是什么顏色？（2）前

150盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？分析與解：這是一個(gè)周期變化問題。彩燈按照

5紅、4藍(lán)、3黃，每

12盞燈一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)。（1）100÷12＝8……4，所以第

100盞燈是第

9個(gè)周期的第

4盞燈，是紅燈。（2）150÷12=12……6，前

150盞燈共有

12個(gè)周期零

6盞燈，12個(gè)周期中有藍(lán)燈

4×12＝48（盞），最后的

6盞燈中有

1盞藍(lán)燈，所以共有藍(lán)燈

48＋1=49（盞）。例

2有一串?dāng)?shù)，任何相鄰的四個(gè)數(shù)之和都等于

25。已知第

1個(gè)數(shù)是

3，第

6個(gè)數(shù)是

6，第

11個(gè)數(shù)是

7。問：這串?dāng)?shù)中第

24個(gè)數(shù)是幾？前

77個(gè)數(shù)的和是多少？小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-19-B=9。將B小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-20-分析與解：因?yàn)榈?/p>

1，2，3，4個(gè)數(shù)的和等于第

2，3，4，5個(gè)數(shù)的和，所以第

1個(gè)數(shù)與第

5個(gè)數(shù)相同。進(jìn)一步可推知，第

1，5，9，13，…個(gè)數(shù)都相同。同理，第

2，6，10，14，…個(gè)數(shù)都相同，第

3，7，11，15，…個(gè)數(shù)都相同，第

4，8，12，16…個(gè)數(shù)都相同。也就是說，這串?dāng)?shù)是按照每四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第

2個(gè)數(shù)等于第

6個(gè)數(shù)，是

6；第

3個(gè)數(shù)等于第

11個(gè)數(shù)，是

7。前三個(gè)數(shù)依次是

3，6，7，第四個(gè)數(shù)是25-（3+6+7）=9。這串?dāng)?shù)按照

3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。第

24個(gè)數(shù)與第

4個(gè)數(shù)相同，是

9。由

77÷4＝9……1知，前

77個(gè)數(shù)是

19個(gè)周期零

1個(gè)數(shù)，其和為

25×19+3=478。例

3下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是：從第

3個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)。問：這串?dāng)?shù)中第

88個(gè)數(shù)是幾？628088640448…分析與解：這串?dāng)?shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個(gè)相鄰數(shù)字與前面的某兩個(gè)相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串?dāng)?shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。我們試著將這串?dāng)?shù)再多寫出幾位：當(dāng)寫出第

21，22位（豎線右面的兩位）時(shí)就會發(fā)現(xiàn)，它們與第

1，2位數(shù)相同，所以這串?dāng)?shù)按每

20個(gè)數(shù)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)。由

88÷20=4……8知，第

88個(gè)數(shù)與第

8個(gè)數(shù)相同，所以第

88個(gè)數(shù)是

4。從例

3看出，周期性規(guī)律有時(shí)并不明顯，要找到它還真得動(dòng)點(diǎn)腦筋。例

4在下面的一串?dāng)?shù)中，從第五個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字。那么在這串?dāng)?shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個(gè)數(shù)是“2000”？135761939237134…分析與解：無休止地將這串?dāng)?shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例

3的方法找到一周期，因?yàn)檫@個(gè)周期很長，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)的前四個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個(gè)數(shù)都是它前面四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串?dāng)?shù)依次寫出來，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……可以看出，這串?dāng)?shù)是按照四個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠(yuǎn)不會出現(xiàn)四個(gè)偶數(shù)連在一起的情況，即不會出現(xiàn)“2000”。例

5A，B，C，D四個(gè)盒子中依次放有

8，6，3，1個(gè)球。第

1個(gè)小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子；第

2個(gè)小朋友也找到放球最少的盒子，然后也小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-20-分析與解：因?yàn)榈?，小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-21-從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子……當(dāng)

100位小朋友放完后，A，B，C，D四個(gè)盒子中各放有幾個(gè)球？分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，A，B，C，D四個(gè)盒子中的球數(shù)如下表：可以看出，第

6人放過后與第

2人放過后四個(gè)盒子中球的情況相同，所以從第

2人放過后，每經(jīng)過

4人，四個(gè)盒子中球的情況重復(fù)出現(xiàn)一次。（100-1）÷4＝24……3，所以第

100次后的情況與第

4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有

4，6，3，5個(gè)球。練習(xí)

71．有一串很長的珠子，它是按照

5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復(fù)排列的。問：第

100顆珠子是什么顏色？前

200顆珠子中有多少顆紅珠？2．將

1，2，3，4，…除以

3的余數(shù)依次排列起來，得到一個(gè)數(shù)列。求這個(gè)數(shù)列前

100個(gè)數(shù)的和。3．有一串?dāng)?shù)，前兩個(gè)數(shù)是

9和

7，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)乘積的個(gè)位數(shù)。這串?dāng)?shù)中第

100個(gè)數(shù)是幾？前

100個(gè)數(shù)之和是多少？4．有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是

6，以后每一個(gè)數(shù)都是它前面一個(gè)數(shù)與

7的和的個(gè)位數(shù)。這列數(shù)中第

88個(gè)數(shù)是幾？5．小明按

1～3報(bào)數(shù)，小紅按

1～4報(bào)數(shù)。兩人以同樣的速度同時(shí)開始報(bào)數(shù)，當(dāng)兩人都報(bào)了

100個(gè)數(shù)時(shí)，有多少次兩人報(bào)的數(shù)相同？6．A，B，C，D四個(gè)盒子中依次放有

9，6，3，0個(gè)小球。第

1個(gè)小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出

3個(gè)球放到其它盒子中各

1個(gè)球；第

2個(gè)小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出

3個(gè)球放到其它盒子中各

1個(gè)球……當(dāng)

100個(gè)小朋友放完后，A，B，C，D四個(gè)盒子中各放有幾個(gè)球？第

8講

找規(guī)律（二）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-21-從其它盒子中各取一個(gè)球小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-22-整數(shù)

a與它本身的乘積，即

a×a叫做這個(gè)數(shù)的平方，記作

a2，即

a2＝a×a；同樣，三個(gè)

a的乘積叫做

a的三次方，記作

a3，即

a3＝a×a×a。一般地，n個(gè)

a相乘，叫做

a的

n

次方，記作

an，即本講主要講

an的個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律，以及

an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。因?yàn)榉e的個(gè)位數(shù)只與被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)和乘數(shù)的個(gè)位數(shù)有關(guān)，所以

an的個(gè)位數(shù)只與

a的個(gè)位數(shù)有關(guān)，而

a的個(gè)位數(shù)只有

0，1，2，…，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。為了找出一個(gè)整數(shù)

a自乘

n次后，乘積的個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看

a，a2，a3，a4，…的個(gè)位數(shù)字各是什么。從表看出，an的個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當(dāng)

a的個(gè)位數(shù)是

0，1，5，6時(shí)，an的個(gè)位數(shù)仍然是

0，1，5，6。（2）當(dāng)

a的個(gè)位數(shù)是

4，9時(shí)，隨著

n的增大，an的個(gè)位數(shù)按每兩個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中

a的個(gè)位數(shù)是

4時(shí)，按

4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個(gè)位數(shù)是

9時(shí)，按

9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。（3）當(dāng)

a的個(gè)位數(shù)是

2，3，7，8時(shí)，隨著

n的增大，an的個(gè)位數(shù)按每四個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中

a的個(gè)位數(shù)是

2時(shí)，按

2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個(gè)位數(shù)是

3時(shí)，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)

a的個(gè)位數(shù)是

7時(shí)，按

7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)

a的個(gè)位數(shù)是

8時(shí)，按

8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。例

1

求

67999的個(gè)位數(shù)字。分析與解：因?yàn)?/p>

67的個(gè)位數(shù)是

7，所以

67n的個(gè)位數(shù)隨著

n的增大，按

7，9，3，1四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。999÷4＝249……3，所以

67999的個(gè)位數(shù)字與

73的個(gè)位數(shù)字相同，即

67999的個(gè)位數(shù)字是

3。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-22-整數(shù)a與它本身的小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-23-例

2求

291+3291的個(gè)位數(shù)字。分析與解：因?yàn)?/p>

2n的個(gè)位數(shù)字按

2，4，8，6四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4＝22……3，所以，291的個(gè)位數(shù)字與

23的個(gè)位數(shù)字相同，等于

8。類似地，3n的個(gè)位數(shù)字按

3，9，7，1四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291÷4＝72……3，所以

3291與

33的個(gè)位數(shù)相同，等于

7。最后得到

291+3291的個(gè)位數(shù)字與

8+7的個(gè)位數(shù)字相同，等于

5。例

3求

28128-2929的個(gè)位數(shù)字。解：由

128÷4＝32知，28128的個(gè)位數(shù)與

84的個(gè)位數(shù)相同，等于

6。由

29÷2＝14……1知，2929的個(gè)位數(shù)與

91的個(gè)位數(shù)相同，等于

9。因?yàn)?/p>

6＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個(gè)位數(shù)字為

16－9＝7。例

4求下列各除法運(yùn)算所得的余數(shù)：（1）7855÷5；（2）555÷3。分析與解：（1）由

55÷4＝13……3知，7855的個(gè)位數(shù)與

83的個(gè)位數(shù)相同，等于

2，所以

7855可分解為

10×a＋2。因?yàn)?/p>

10×a能被

5整除，所以

7855除以

5的余數(shù)是

2。（2）因?yàn)?/p>

a÷3的余數(shù)不僅僅與

a的個(gè)位數(shù)有關(guān)，所以不能用求

555的個(gè)位數(shù)的方法求解。為了尋找

5n÷3的余數(shù)的規(guī)律，先將

5的各次方除以

3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以

3的余數(shù)并不需要計(jì)算出

5n，然后再除以

3去求，而是用上次的余數(shù)乘以

5后，再除以

3去求。比如，52除以

3的余數(shù)是

1，53除以

3的余數(shù)與

1×5=5除以

3的余數(shù)相同。這是因?yàn)?/p>

52＝3×8+1，其中

3×8能被

3整除，而53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，（3×8）×5能被

3整除，所以

53除以

3的余數(shù)與

1×5除以

3的余數(shù)相同。由上表看出，5n除以

3的余數(shù)，隨著

n的增大，按

2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。由

55÷2=27……1知，555÷3的余數(shù)與

51÷3的余數(shù)相同，等于

2。例

5某種細(xì)菌每小時(shí)分裂一次，每次

1個(gè)細(xì)茵分裂成

3個(gè)細(xì)菌。20時(shí)后，將這些細(xì)菌每

7個(gè)分為一組，還剩下幾個(gè)細(xì)菌？分析與解：1時(shí)后有

1×3=31（個(gè)）細(xì)菌，2時(shí)后有

31×3=32（個(gè)）細(xì)菌……20時(shí)后，有

320個(gè)細(xì)菌，所以本題相當(dāng)于“求

320÷7的余數(shù)”。由例

4（2）的方法，將

3的各次方除以

7的余數(shù)列表如下：小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-23-例2求291+3小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-24-由上表看出，3n÷7的余數(shù)以六個(gè)數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由

20÷6＝3……2知，320÷7的余數(shù)與

32÷7的余數(shù)相同，等于

2。所以最后還剩

2個(gè)細(xì)菌。最后再說明一點(diǎn)，an÷b所得余數(shù)，隨著

n的增大，必然會出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因?yàn)樗糜鄶?shù)必然小于

b，所以在

b個(gè)數(shù)以內(nèi)必會重復(fù)出現(xiàn)。練習(xí)

81．求下列各數(shù)的個(gè)位數(shù)字：（1）3838；

（2）2930；（3）6431；

（4）17215。2．求下列各式運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字：（1）9222＋5731；

（2）615+487+349；（3）469-6211；

（4）37×48+59×610。3．求下列各除法算式所得的余數(shù)：（1）5100÷4；

（2）8111÷6；（3）488÷7第

9講

數(shù)字謎（一）我們在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些簡單的數(shù)字謎問題。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過的知識外，還要學(xué)習(xí)一些新的內(nèi)容。例

1在下面算式等號左邊合適的地方添上括號，使等式成立：5+7×8+12÷4-2＝20。分析：等式右邊是

20，而等式左邊算式中的

7×8所得的積比

20大得多。因此必須設(shè)法使這個(gè)積縮小一定的倍數(shù)，化大為小。從整個(gè)算式來看，7×8是

4的倍數(shù)，12也是

4的倍數(shù)，5不能被

4整除，因此可在

7×8+12前后添上小括號，再除以

4得

17，5＋17-2=20。解：5+（7×8+12）÷4-2=20。例

2把

1～9這九個(gè)數(shù)字填到下面的九個(gè)□里，組成三個(gè)等式（每個(gè)數(shù)字只能填一次）：分析與解：如果從加法與減法兩個(gè)算式入手，那么會出現(xiàn)許多種情形。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：2×3＝6或

2×4＝8，所以應(yīng)當(dāng)從乘法算式入手。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-24-由上表看出，3n÷小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-25-因?yàn)樵诩臃ㄋ闶健?□=□中，等號兩邊的數(shù)相等，所以加法算式中的三個(gè)□內(nèi)的三個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)；而減法算式□-□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個(gè)□內(nèi)的三個(gè)數(shù)的和也是偶數(shù)。于是可知，原題加減法算式中的六個(gè)數(shù)的和應(yīng)該是偶數(shù)。若乘法算式是

2×4＝8，則剩下的六個(gè)數(shù)

1，3，5，6，7，9的和是奇數(shù)，不合題意；若乘法算式是

2×3＝6，則剩下的六個(gè)數(shù)

1，4，5，7，8，9可分為兩組：4＋5＝9，8-7＝1（或

8-1＝7）；1＋7＝8，9－5＝4（或

9－4＝5）。所以答案為與例

3下面的算式是由

1～9九個(gè)數(shù)字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數(shù)填入□，使得等式成立：□□□÷□□=□-□=□-7。分析與解：因?yàn)樽蠖顺ㄊ阶拥纳瘫卮笥诘扔?/p>

2，所以右端被減數(shù)只能填

9，由此知左端被除數(shù)的百位數(shù)只能填

1，故中間減式有

8-6，6-4，5-3和

4-2四種可能。經(jīng)逐一驗(yàn)證，8-6，6-4和

4-2均無解，只有當(dāng)中間減式為

5-3時(shí)有如下兩組解：128÷64=5-3=9-7，或

164÷82＝5-3＝9-7。例

4將

1～9九個(gè)數(shù)字分別填入下面四個(gè)算式的九個(gè)□中，使得四個(gè)等式都成立：□+□=6，

□×□=8，□-□=6，

□□÷□=8。分析與解：因?yàn)槊總€(gè)□中要填不同的數(shù)字，對于加式只有兩種填法：1＋5或

2＋4；對于乘式也只有兩種填法：1×8或

2×4。加式與乘式的數(shù)字不能相同，搭配后只有兩種可能：（1）加式為

1＋5，乘式為

2×4；（2）加式為

2+4，乘式為

1×8。對于（1），還剩

3，6，7，8，9五個(gè)數(shù)字未填，減式只能是

9-3，此時(shí)除式無法滿足；對于（2），還剩

3，5，6，7，9五個(gè)數(shù)字未填，減式只能是

9-3，此時(shí)除式可填

56÷7。答案如下：2＋4＝6，

1×8＝8，9－3＝6，

56÷7＝8。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-25-因?yàn)樵诩臃ㄋ闶健?小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-26-例

2～例

4都是對題目經(jīng)過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可能情況的題目，如果可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。例

5從

1～9這九個(gè)自然數(shù)中選出八個(gè)填入下式的八個(gè)○內(nèi)，使得算式的結(jié)果盡可能大：[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。分析與解：為使算式的結(jié)果盡可能大，應(yīng)當(dāng)使前一個(gè)中括號內(nèi)的結(jié)果盡量大，后一個(gè)中括號內(nèi)的結(jié)果盡量小。為敘述方便，將原式改寫為：[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。通過分析，A，C，D，H應(yīng)盡可能大，且

A應(yīng)最大，C，D次之，H再次之；B，E，F(xiàn)，G應(yīng)盡可能小，且

B應(yīng)最小，E，F(xiàn)次之，G再次之。于是得到

A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F(xiàn)=3，G=4，其中

C與

D，E與

F的值可互換。將它們代入算式，得到[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。練習(xí)

91．在下面的算式里填上括號，使等式成立：（1）4×6+24÷6-5=15；（2）4×6+24÷6-5=35；（3）4×6+24÷6-5=48；（4）4×6+24÷6-5＝0。2．加上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號和括號，使下式成立：12345＝100。3．把

0～9這十個(gè)數(shù)字填到下面的□里，組成三個(gè)等式（每個(gè)數(shù)字只能填一次）：□+□=□，□-□=□，□×□=□□。4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符號，使各個(gè)等式成立：4□4□4□4＝1，4□4□4□4＝3，4□4□4□4＝5，4□4□4□4＝9。5．將

2～7這六個(gè)數(shù)字分別填入下式的□中，使得等式成立：□+□-□=□×□÷□。6．將

1～9分別填入下式的九個(gè)□內(nèi)，使算式取得最大值：小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-26-例2～例4都是小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-27-□□□×□□□×□□□。7．將

1～8分別填入下式的八個(gè)□內(nèi)，使算式取得最小值：□□×□□×□□×□□。第

10講

數(shù)字謎（二）例

1把下面算式中缺少的數(shù)字補(bǔ)上：分析與解：一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)三位數(shù)，差是一個(gè)兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)與減數(shù)相差不到100。四位數(shù)與三位數(shù)相差不到

100，三位數(shù)必然大于

900，四位數(shù)必然小于

1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數(shù)上。（1）填百位與千位。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位應(yīng)填

9，被減數(shù)的千位應(yīng)填

1，百位應(yīng)填

0，且十位相減時(shí)必須向百位借

1。（2）填個(gè)位。由于被減數(shù)個(gè)位數(shù)字是

0，差的個(gè)位數(shù)字是

1，所以減數(shù)的個(gè)位數(shù)字是

9。（3）填十位。由于個(gè)位向十位借

1，十位又向百位借

1，所以被減數(shù)十位上的實(shí)際數(shù)值是

18，18分解成兩個(gè)一位數(shù)的和，只能是

9與

9，因此，減數(shù)與差的十位數(shù)字都是

9。所求算式如右式。

由例

1看出，考慮減法算式時(shí)，借位是一個(gè)重要條件。例

2在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出這兩個(gè)算式：分析與解：（1）這是一道四個(gè)數(shù)連加的算式，其特點(diǎn)是相同數(shù)位上的數(shù)字相同，且個(gè)位與百位上的數(shù)字相同，即都是漢字“學(xué)”。從個(gè)位相同數(shù)相加的情況來看，和的個(gè)位數(shù)字是

8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與

7＋7＋7＋7＝28，即“學(xué)”＝2或

7。如果“學(xué)”＝2，那么要使三個(gè)“數(shù)”所代表的數(shù)字相加的和的個(gè)位數(shù)字為

8，“數(shù)”只能代表數(shù)字

6。此時(shí)，百位上的和為“學(xué)”＋“學(xué)”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學(xué)”≠2。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-27-□□□×□□□×□小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-28-如果“學(xué)”＝7，那么要使三個(gè)“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個(gè)位進(jìn)位的

2，和的個(gè)位數(shù)字為

8，“數(shù)”只能代表數(shù)字

2。百位上兩個(gè)

7相加要向千位進(jìn)位

1，由此可得“我”代表數(shù)字

3。滿足條件的解如右式。（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個(gè)位上都有“努”，5432-4444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學(xué)”=9，“習(xí)”=1。滿足條件的算式如右下式。例

2中的兩題形式類似，但題目特點(diǎn)并不相同，解法也不同，請同學(xué)們注意比較。例

3下面豎式中每個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求被乘數(shù)。分析與解：由于個(gè)位上的“賽”ד賽”所得的積不再是“賽”，而是另一個(gè)數(shù)，所以“賽”的取值只能是

2，3，4，7，8，9。下面采用逐一試驗(yàn)的方法求解。（1）若“賽”＝2，則“數(shù)”＝4，積=444444。被乘數(shù)為

444444÷2＝222222，而被乘數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字各不相同，所以“賽”≠2。（2）若“賽”＝3，則“數(shù)”=9，仿（1）討論，也不行。（3）若“賽”＝4，則“數(shù)”＝6，積=666666。666666÷4得不到整數(shù)商，不合題意。（4）若“賽”＝7，則“數(shù)”＝9，積=999999。被乘數(shù)為

999999÷7＝142857，符合題意。（5）若“賽”＝8或

9，仿上討論可知，不合題意。所以，被乘數(shù)是

142857。例

4在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-28-如果“學(xué)”＝7，那小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）-29-分析與解：為清楚起見，我們用

A，B，C，D，…表示□內(nèi)應(yīng)填入的數(shù)字（見右上式）。由被乘數(shù)大于

500知，E=1。由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是

5，故

B，C中必有一個(gè)是

5。若

C＝5，則有6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，不可能等于□5□5，與題意不符，所以

B=5。再由

B=5推知