2022-2023學年北京市昌平區(qū)高二下學期期中數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年北京市昌平區(qū)高二下學期期中數(shù)學試題一、單選題1．函數(shù)在處的瞬時變化率為（

）A．－2 B．－4 C．－ D．－【答案】D【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)求值即可得瞬時變化率.【詳解】由題設(shè)，故.故選：D2．已知為等差數(shù)列的前項和，，則的值為（

）A．4 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標和性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，解得.故選：A3．某食堂每天中午準備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；（2）任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天不同午餐的搭配方法總數(shù)是A．210 B．420 C．56 D．22【答案】A【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、在4種不同的葷菜中任選兩種葷菜，在7種不同的蔬菜任選兩種蔬菜，與白米飯搭配，②、在4種不同的葷菜中任選一種葷菜，在7種不同的蔬菜任選兩種蔬菜，與蛋炒飯搭配，由加法原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①在4種不同的葷菜中任選兩種葷菜，在7種不同的蔬菜任選兩種蔬菜，與白米飯搭配，有種搭配方法；②在4種不同的葷菜中任選一種葷菜，在7種不同的蔬菜任選兩種蔬菜，與蛋炒飯搭配，有種搭配方法，則每天不同午餐的搭配方法總數(shù)是種，故選A．【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計算原理的應(yīng)用，注意結(jié)合題意正確進行分類討論，屬于中檔題.4．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.只有C選項的圖象符合.故選：C.5．已知數(shù)列滿足，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用遞推關(guān)系即求.【詳解】依題意有，則，由此得，，，．故選：C．6．電視機的使用壽命與顯像管開關(guān)的次數(shù)有關(guān)，某品牌的電視機的顯像管開關(guān)了次還能繼續(xù)使用的概率是，開關(guān)了次后還能繼續(xù)使用的概率是，則已經(jīng)開關(guān)了次的電視機顯像管還能繼續(xù)使用到次的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】記事件電視機的顯像管開關(guān)了次還能繼續(xù)使用，記事件電視機的顯像管開關(guān)了次后還能繼續(xù)使用，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件電視機的顯像管開關(guān)了次還能繼續(xù)使用，記事件電視機的顯像管開關(guān)了次后還能繼續(xù)使用，則，，所以，已經(jīng)開關(guān)了次的電視機顯像管還能繼續(xù)使用到次的概率為.故選：D.7．數(shù)列的前項和為，，則（

）A．32 B．16 C．15 D．8【答案】B【分析】首先利用公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求.【詳解】因為，所以時，，所以，整理得，，又所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．故選：B8．下圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形.圖（1）中陰影三角形的個數(shù)為1，記為，圖（2）中陰影三角形的個數(shù)為3，記為，以此類推，，，…，數(shù)列構(gòu)成等比數(shù)列.設(shè)的前n項和為，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】依題意可得，再求出，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：易知，所以，由，得，所以.故選：C9．已知三個互不相等的正數(shù)，，成等差數(shù)列，那么對于數(shù)列，，，下列說法正確的是（

）A．可能成等差數(shù)列 B．可能成等比數(shù)列C．既可能成等差，也可能成等比數(shù)列 D．既不可能成等差，也不可能成等比數(shù)列【答案】D【分析】根據(jù)等差中項和等比中項分析可得答案.【詳解】因為三個互不相等的正數(shù)，，成等差數(shù)列,所以,因為,所以數(shù)列，，一定不成等差數(shù)列，故A不正確；因為，所以數(shù)列，，一定不成等比數(shù)列，故BC不正確.故選：D10．已知函數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．當時，D．【答案】C【分析】對于A，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；對于B，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；對于D，通過導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；對于C，結(jié)合選項A、D計算與0的大小關(guān)系即可.【詳解】對于A選項，因為令，在上是增函數(shù)，所以當時，，所以，即．故A錯誤；對于B選項，因為令，所以，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減．所以與無法比較大?。蔅選項錯誤；對于D選項，，所以時，在單調(diào)遞減，時，在單調(diào)遞增，所以當時，，故成立，當時，，．故D錯誤；對于C選項，由D選項知，當時，在單調(diào)遞增，又由選項A得出成立所以,故C選項正確.故選：C．二、雙空題11．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式，設(shè)為數(shù)列的前項和，那么當時的值最小.【答案】/【分析】依題意可得是公差的等差數(shù)列，即可求出通項公式，再令，求出的取值范圍，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可確定的值最小時的值.【詳解】因為，所以是公差的等差數(shù)列，又，所以，令，即，解得，又公差，所以數(shù)列單調(diào)遞增，所以，即數(shù)列的前項均為負數(shù)，所以當時的值最小.故答案為：；三、填空題12．展開式的常數(shù)項是．（用數(shù)字作答）【答案】24【分析】求出給定二項式展開式的通項公式，再求出常數(shù)項作答.【詳解】展開式的通項公式是，由，得，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：2413．隨機變量的分布列如下：其中成等差數(shù)列，若，則的值是．【答案】【詳解】根據(jù)已知條件得，解得b＝，a＝，c＝.∴D(ξ)＝×(－1－)2＋×(0－)2＋×(1－)2＝.14．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)的解析式．①；②是偶函數(shù)；③在上單調(diào)遞增．【答案】（滿足條件即可）【分析】根據(jù)函數(shù)的三個性質(zhì)，列出符合條件的函數(shù)即可》【詳解】解：如，，，故，是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，故答案為：（滿足條件即可）15．如圖，將一邊長為的正方形鐵皮四角各截去一個大小相同的小正方形，然后沿虛線折起，得到一個無蓋長方體容器，若要求所得容器的容積最大，則截去的小正方形邊長為.【答案】1【分析】根據(jù)題意先設(shè)小正方形邊長為x，計算出容器體積的函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性，進而求得此函數(shù)的最大值即可.【詳解】設(shè)剪去小正方形的邊長為x，則容器的容積為：，.令，則(舍去)，.當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時鐵盒的容積最大，故截去的小正方形邊長為1m.故答案為：1.16．已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是.①函數(shù)有零點；②函數(shù)有極大值，也有極小值；③函數(shù)既無最大值，也無最小值；④函數(shù)的圖象與直線有3個交點.【答案】①②④【分析】由確定①正確，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷其他項的正確性．【詳解】，所以①選項正確，，所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，所以當時，有極大值，當時，有極小值，所以②選項正確，因為恒成立，所以是的最小值，③選項錯誤，畫出的大致圖象如下圖所示，由圖可知函數(shù)的圖象與直線y=1有3個交點，④選項正確．故答案為：①②④．四、解答題17．已知數(shù)列中，，______，其中．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的前項和．從①前項和，②，③且，這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答．【答案】選擇條件見解析（1），；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）選①：根據(jù)與的關(guān)系即可得出答案；選②：根據(jù)可得數(shù)列是以2為首項2為公差的等差數(shù)列，從而可得答案；選③：根據(jù)，可得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，求出公差，從而可得答案；（2）求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)等比數(shù)列即可得出結(jié)論；（3）利用分組求和及等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式即可得出答案.【詳解】解：（1）選①：因為，，當時，，當時，等式也成立所以，；選②：由，，所以數(shù)列是以2為首項2為公差的等差數(shù)列，所以，；選③：由，且，可得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，所以，；（2）證明：，可得，所以數(shù)列是首項和公比均為4的等比數(shù)列；（3），.18．某中學高二年級共有8個班，現(xiàn)從高二年級選10名同學組成社區(qū)服務(wù)小組，其中高二（1）班選取3名同學，其它各班各選取1名同學．現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學到社區(qū)老年中心參加“尊老愛老”活動（每位同學被選到的可能性相同）.（1）求選出的3名同學來自不同班級的概率；（2）設(shè)為選出的同學來自高二（1）班的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）見解析.【詳解】試題分析：（1）設(shè)“選出的名同學來自不同班級”為事件，利用排列組合知識能求出選出的名同學來自班級的概率．（2）隨機變量的所有可能值為分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量的分布列．試題解析：（1）三名學生均不來自高二（1）班的概率為三名學生有1名來自高二（1）班的概率為三名學生來自不同班級的概率為（2）時，，時，時，，時，.的分布列如下表：0123【方法點睛】求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”即利用排列組合，枚舉法，概率公式求出隨機事件取每個值時的概率；第三步：寫出“分布列”即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值.19．已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求曲線的單調(diào)區(qū)間及在上的最大值．【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；最大值為.【分析】（1）先求得在處切線的斜率，再求得切點坐標，由此求得切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間求得最大值.【詳解】（1）因為函數(shù)，，所以，則,所以切線方程為；（2）因為，令得,當時，，當時，，當時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當時，.20．某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學生支持方案二的概率估計值記為，假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）,（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率估計概率，即得結(jié)果；（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨立事件概率乘法公式以及分類計數(shù)加法公式求結(jié)果；（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計概率，即得大小.【詳解】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個男生支持方案一，（2）僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（Ⅲ）【點睛】本題考查利用頻率估計概率、獨立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.21．已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）當時，證明：；（Ⅲ）判斷在定義域內(nèi)是否為單調(diào)函數(shù)，并說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）函數(shù)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)．理由見解析【分析】根據(jù)解析式可確定函數(shù)定義域并求得（Ⅰ）求得和，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知切線斜率為，從而得到切線方程；（Ⅱ）將所證不等式轉(zhuǎn)化為；令，通過導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，可得，即，從而證得結(jié)論；（Ⅲ）令，通過導(dǎo)數(shù)可知單調(diào)遞減；利用零點存在定理可知在內(nèi)存在零點，從而得到的符號，進而得到單調(diào)性，說明不是單調(diào)函數(shù).【詳解】由題意得：函數(shù)的定義域為，（Ⅰ），在點處