2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重要考點(diǎn)題精講精練(人教版)直接開(kāi)方法和配方法（答案版）

直接開(kāi)方法和配方法（答案版）直接開(kāi)方法解一元二次方程：

利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開(kāi)平方法.直接開(kāi)方法解一元二次方程的步驟:①將方程化為x2=p②直接開(kāi)平方化為兩個(gè)一元一次方程；③解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解.題型1：直接開(kāi)方法的條件1.1．若關(guān)于x的方程x2-m=0有實(shí)數(shù)根則mA．m<0 B．m≤0 C．m>0 【答案】D【解析】【解答】解：xx∵關(guān)于x的方程x2-∴m故答案為：D.【分析】先移項(xiàng)得到x2=m再由偶數(shù)次冪的非負(fù)性得到【變式1-1】若方程（x﹣4）2=a有實(shí)數(shù)解則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)＞0 D．無(wú)法確定【答案】B【解析】【解答】解：∵方程（x﹣4）2=a有實(shí)數(shù)解∴x﹣4=±a∴a≥0；故選B．【分析】利用直接開(kāi)平方法解方程然后根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)數(shù)列出關(guān)于a的不等式方程然后求得a的取值范圍．【變式1-2】若關(guān)于x的一元二次方程（x﹣2）2=m有實(shí)數(shù)解則m的取值范圍是（）A．m≤0 B．m＞0 C．m≥0 D．無(wú)法確定【答案】C【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（x﹣2）2=m有實(shí)數(shù)解∴m≥0故選C【分析】利用平方根的性質(zhì)判斷即可確定出m的范圍．【變式1-3】①4x2=1；②x2+2x-1=0；③3x2-x=0；④-（2x+1）2+4=0．其中能用直接開(kāi)平方法求解的是（）①②B．①③C．①④D．③④【分析】根據(jù)直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型客直接得出答案．【解答】解：能用直接開(kāi)平方法求解的是：①4x2=1和④-（2x+1）2+4=0；

故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程-公式法用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（ab同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（ac同號(hào)且a≠0）．題型2：解形如x2=2.用直接開(kāi)平方法解下列方程．（1）x2-9=0(2)x2-121=0(3)3a2-27=0【解答】解：（1）∵x2-9=0

∴x2=9

∴x=±3．（2）∵x2-121=0

∴x2=121

∴x=11或x=-11（3）∵3a2-27=0

∴a2=9

∴a=±3．【變式2-1】解方程（1）4x2=1（2）0.8x2-4=0；（3）4.3-6x2=2.8．【解答】解（1）∵4x2=1

∴x2=1∴x=±1（2）∵0.8x2-4=0

∴x2=5

∴x=±5．（3）∵4.3-6x2=2.8

∴x2=1∴x=±1【變式2-2】下列解方程正確的是（）A．x2=-64解：x=±8B．（x-1）2=36解：x-1=6∴x=7C．x2=7解：x=±7D．25x2=1解：25x=±1∴x=±1【分析】根據(jù)直接開(kāi)平方法對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的解法分別進(jìn)行判斷．【解答】解：A、x2=-64沒(méi)有實(shí)數(shù)解所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、（x-1）2=36解：x-1=±6∴x1=7x2=-5所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、x2=7解：x=±7所以C選項(xiàng)正確；

D、25x2=1解：5x=±1∴x=±125所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-直接開(kāi)平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方程．題型3：解形如(mx3.解方程（1）（x-3）2=16；（2）2（x-1）2=338（3）4（x-2）2-36=0．【解答】解：（1）∵（x-3）2=16

∴x-3=±4

∴x=7或x=-1．∵2（x-1）2=338

∴（x-1）2=169

∴x-1=±13

∴x=14或-12；（2）∵4（x-2）2-36=0

∴（x-2）2=9

∴x=5或x=-1．【變式3-1】解方程（1）4（t+4）2=9（2）2（n-12））2【解答】解：（1）∵4（t+4）2=9

∴（t+4）2=9∴t+4=±3∴t=?112或t=?（2）∵2（n-12）2∴（n-12）2=∴n-12=±∴n=1【變式3-2】已知x1x2是方程3(x-1)2=15的兩個(gè)根A．x1<-1x2>3 B．C．-1<x1<【答案】A【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3(x-1)2∴(∴x-1=±5∴x2=1+5故答案為：A.【分析】直接開(kāi)平方法解方程得出兩根進(jìn)而估計(jì)無(wú)理數(shù)的大小得出答案.題型4：已知一根求字母的值4.若2是關(guān)于x的方程x2-c=0的一個(gè)根則c=（）A．2B．4C．-4D．-2【分析】把x=2代入方程x2-c=0得4-c=0然后解關(guān)于c的方程．【解答】解：把x=2代入方程x2-c=0得4-c=0

解得c=4．

故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-直接開(kāi)平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方程．【變式4-1】若x=2是方程3x2-7=a2的一個(gè)根則a的值為（）A．5B．±5C．5D．±5【分析】將x=2代入方程得到有關(guān)a的方程然后求解即可．【解答】解：∵x=2是方程3x2-7=a2的一個(gè)根

∴3×4-7=a2

∴a2=5

解得a=±5故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的定義及直接開(kāi)平方法熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵【變式4-2】若關(guān)于x的方程（ax-1）2-16=0的一個(gè)根為2則a的值為?！痉治觥繉=2代入原方程即可求出a的值．【解答】解：將x=2代入（ax-1）2-16=0

∴（2a-1）2-16=0

∴2a-1=±4a1=52或a2=?【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法本題屬于基礎(chǔ)題型．配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成的形式再利用直接開(kāi)平方法求解這種解一元二次方程的方法叫配方法.用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)則兩邊直接開(kāi)平方求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.題型5：完全平方式問(wèn)題5.方程x2+2x=1的左邊配成完全平方后所得方程為（A．(x+1)2=2 B．(x-1)2【答案】A【解析】【解答】解：∵x2+2x=1∴x2+2x+1=2∴（x+1）2=2故答案為：A.【分析】給方程兩邊同時(shí)加上1然后對(duì)左邊的式子利用完全平方公式分解即可.【變式5-1】把方程x2-6x-5=0左邊配成一個(gè)完全平方式后,所得的方程是（）A．(x-6)2=41 B．(x-3)2=4 C．(x-3)2=14 D．(x-3)2=9【答案】C【解析】【解答】解：x2-6x-5=0

x2-6x=5

x2-6x+9=5+9

（x-3）2=14.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)配方法的特點(diǎn)先把不合適的常數(shù)項(xiàng)移到右邊方程兩邊再同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即即可配方.【變式5-2】把方程x2-10x=-3左邊化成含有A．x2-10xC．x2+10x+【答案】B【解析】【解答】解：x2-10x+（-5）2=-3+（-5）2即x2-10x+（-5）2=22．故答案為：B．【分析】方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方（-5）2右邊根據(jù)有理數(shù)的加法法則合并同類項(xiàng)即可。題型6：配方法解一元二次方程-二次項(xiàng)系數(shù)為16.解方程：（1）x2﹣6x+2=0．（2）x2+4x【答案】（1）解：x2﹣6x+2=0移項(xiàng)得：x2-6x=-2配方得：x2-6x+9=-2+9即（x-3）2=7開(kāi)方得：x-3=±7∴原方程的解是：x1=3+7x2=3-7；（2）解：x2+4x2x2+4x+4=-1+4x+2=±3【變式6-1】解方程：（1）x2+3x-1=0【答案】（1）解：x2x2(xx+x+32=13x1=-3+13（2）解：x4x4x(22x-解得：x1=2【變式6-2】解方程（1）x2-5x-6=0；（2【答案】（1）解：x2(xx+1=0xx1（2）x2-2x-5=0

x2-2x=5

x2-2x+1=5+1

（x-1）2=6

∴x-1=±6

∴x1=1+6x2=1-6；題型7：配方法解一元二次方程-二次項(xiàng)系數(shù)不為17.用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0．【答案】解：∵2x∴x2∴x2∴x2∴(x∴x-∴x1【解析】【分析】利用配方法解方程即可。【變式7-1】用配方法解下列方程時(shí)配方有錯(cuò)誤的是（）A．2m2+m﹣1＝0化為(mB．x2﹣6x+4＝0化為（x﹣3）2＝5 C．2t2﹣3t﹣2＝0化為(tD．3y2﹣4y+1＝0化為(【分析】各項(xiàng)中的方程變形得到結(jié)果即可做出判斷．【解答】解：A、2m2+m﹣1＝0變形得：m2+12m配方得：m2+12m+116=916即（B、x2﹣6x+4＝0移項(xiàng)得：x2﹣6x＝﹣4配方得：x2﹣6x+9＝5即（x﹣3）2＝5本選項(xiàng)正確；C、2t2﹣3t﹣2＝0變形得：t2-32t配方得：t2-32t+916=2516即（D、3y2﹣4y+1＝0變形得：y2-43y配方得：y2-43y+49=19即（故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣配方法熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式7-2】用配方法解方程：2x2-2=x【分析】方程移項(xiàng)把平方項(xiàng)的系數(shù)化為1利用完全平方公式平方后計(jì)算即可求出解．【解答】【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程-配方法熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．題型8：配方法求字母的值8.將一元二次方程x2-8x+10=0通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為A．(x-4)2=6 B．(x-8)【答案】A【解析】【解答】解：∵x2∴x2∴x2-8x故答案為：A．

【分析】利用配方法減一元二次方程即可得出答案?！咀兪?-1】把方程x2-4x-3=0化成(x+A．27 B．25 C．-27 D．-2【答案】C【解析】【解答】解：x2x2(x(x∴a=-2故答案為：C.【分析】首先將常數(shù)項(xiàng)移至右邊然后給兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方“4”對(duì)左邊的式子利用完全平方公式分解即可化為(x+a)2=b的形式進(jìn)而可得a、b的值.【變式8-2】若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通過(guò)配方寫成（x﹣n）2＝0的形式那么于m+n的值是【答案】30【解析】【解答】解：x2-10x+m=0移項(xiàng)得x2-10x=-m配方得x2-10x+25=-m+25（x-5）2=25-m∵關(guān)于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通過(guò)配方寫成（x-n）2=0的形式∴25-m=0n=5∴m=25∴m故答案為：30．

【分析】利用配方法將一元二次方程化簡(jiǎn)為（x-5）2=25-m再利用待定系數(shù)法可得25-m=0n=5求出m的值再將m、n的值代入m+n計(jì)算即可。題型9：直接開(kāi)方法和配方法的新定義問(wèn)題9.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“★”其規(guī)則為a★b=a2﹣b2則方程（2★3）★x=9的根為．【答案】x1=4x2=﹣4【解析】【解答】解：根據(jù)新定義可以列方程：（22﹣32）★x=9（﹣5）2﹣x2=925﹣x2=9x2=16x1=4x2=﹣4．故答案為：x1=4x2=﹣4．【分析】根據(jù)新定義列出方程把方程的左邊化成完全平方的形式右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)用直接開(kāi)平方法求出方程的根．【變式9-1】對(duì)于實(shí)數(shù)m、n我們定義一種運(yùn)算“※”為：m※n=mn+m+n．

（1）化簡(jiǎn)：（a+b）※（a-b）；

（2）解關(guān)于x的方程：x※（1※x）=-1．【分析】（1）根據(jù)公式列式計(jì)算可得；

（2）根據(jù)新定義計(jì)算左邊可得關(guān)于x的一元二次方程解之可得．【解答】解：（1）∵m※n=mn+m+n

∴（a+b）※（a-b）=（a+b）（a-b）+a+b+a-b=a2-b2+2a；

（2）∵x※（1※x）=-1

∴x2+2x+1=0

∴x1=x2=-1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程和整式的運(yùn)算解題的關(guān)鍵是掌握新定義及解一元二次方程的能力．【變式9-2】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算規(guī)定：a★b=a2-b2求方程（x+2）★5=0的解．【分析】先根據(jù)新定義得到（x+2）2-52=0再變形得到（x+2）2=52然后利用直接開(kāi)平方法求解．【解答】解：∵（x+2）★5=0

∴（x+2）2-52=0

∴（x+2）2=52

∴x+2=±5

∴x1=3x2=-7．題型10：配方法的應(yīng)用-最值問(wèn)題10.將代數(shù)式x2-10x+5配方后發(fā)現(xiàn)它的最小值為（）A．-30B．-20C．-5D．0【答案】B【分析】原式利用完全平方公式配方后確定出最小值即可．【解答】解：x2-10x+5=x2-10x+25-20=（x-5）2-20

當(dāng)x=5時(shí)代數(shù)式的最小值為-20

故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程-配方法熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式10-1】將x2+6x+4進(jìn)行配方變形后可得該多項(xiàng)式的最小值為【分析】將x2+6x+4利用配方法轉(zhuǎn)化為（x+3）2-5然后根據(jù)（x+3）2≥0可得多項(xiàng)式x2+6x+4的最小值．【解答】解：∵x2+6x+4=（x+3）2-5

∴當(dāng)x=-3時(shí)多項(xiàng)式x2+6x+4取得最小值-5；

故答案為-5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用．解答該題時(shí)利用了配方法求多項(xiàng)式或二次函數(shù)的最值是常用方法．【變式10-2】已知：a是不等式5（a-2）+8＜6（a-1）+7的最小整數(shù)解請(qǐng)用配方法解關(guān)于x的方程x2+2ax+a+1=0.【分析】解不等式5（a-2）+8＜6（a-1）+7得a＞-3所以最小整數(shù)解為-2于是將a=-2代入方程x2-4x-1=0．利用配方法解方程即可．【解答】解：解不等式5（a-2）+8＜6（a-1）+7得a＞-3

∴最小整數(shù)解為-2

將a=-2代入方程x2+2ax+a+1=0得x2-4x-1=0

配方得（x-2）2=5．

直接開(kāi)平方得x-2=±解得x1=2+x2=2-題型11:配方法的應(yīng)用-比較代數(shù)式大小11.已知M=（t為任意實(shí)數(shù)）則MN的大小關(guān)系為（）A．M＞NB．M＜NC．M=ND．不能確定【分析】利用配方法把N-M的代數(shù)式變形根據(jù)偶次方的非負(fù)性判斷即可．【解答】解：∵N-M==t2-2t+2=（t-1）2+1＞0

∴M＜N

故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】閱讀材料：

數(shù)學(xué)課上老師在求代數(shù)式x2-4x+5的最小值時(shí)利用公式a2±2ab+b2=（a±b）2對(duì)式子作如下變形：x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1．

∵（x-2）2≥0∴（x-2）2+1≥1．

當(dāng)x=2時(shí)（x-2）2+1=1

因此（x-2）2+1有最小值1即x2-4x+5的最小值為1．

通過(guò)閱讀解決下列問(wèn)題：

（1）代數(shù)式x2+10x-6的最小值為試比較代數(shù)式A=3x2-2x與B=2x2+4x-10的大小并說(shuō)明理由．【分析】（1）仿照閱讀材料中的方法把代數(shù)式配方后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出最小值即可；

（2）利用作差法列出關(guān)系式配方后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出大小即可．【解答】解：（1）x2+10x-6

=（x2+10x+25）-31

=（x+5）2-31

∵（x+5）2≥0

∴當(dāng)x+5=0即x=-5時(shí)代數(shù)式x2+10x-6的最小值為-31．

故答案為：-31；

（2）A＞B．理由如下：

∵（3x2-2x）-（2x2+4x-10）

=3x2-2x-2x2-4x+10

=x2-6x+10

=（x2-6x+9）+1

=（x-3）2+1≥1＞0

∴A＞B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式11-2】把代數(shù)式通過(guò)配方等手段得到完全平方式再運(yùn)用完全平方式的非負(fù)性這一性質(zhì)解決問(wèn)題這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值解方程最值問(wèn)題等都有廣泛的應(yīng)用．如利用配方法求最小值求a2+6a+8的最小值．

解：a2+6a+8=a2+6a+32-32+8=（a+3）2-1因?yàn)椴徽揳取何值（a+3）2總是非負(fù)數(shù)即（a+3）2≥0．所以（a+3）2-1≥-1所以當(dāng)a=-3時(shí)a2+6a+8有最小值最小值是-1．

根據(jù)上述材料解答下列問(wèn)題：

（1）填空：x2-10x+=（x-）2；

（2）將x2-8x+2變形為（x+m）2+n的形式并求出x2-8x+2的最小值；

（3）若M=4a2+9a+3N=3a2+11a-1其中a為任意數(shù)試比較M與N的大小并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式求解；

（2）利用配方法求最小值即可；

（3）利用作差法比較大?。窘獯稹拷猓海?）x2-10x+25=（x-5）2

故答案為：255；

（2）x2-8x+2

=x2-8x+16-16+2

=（x-4）2-14

∵不論x取何值（x-4）2總是非負(fù)數(shù)

即（x-4）2≥0

∴（x-4）2-14≥-14

∴當(dāng)x=4時(shí)x2-8x+2有最小值最小值是-14；

（3）M＞N．理由如下：

M-N

=4a2+9a+3-（3a2+11a-1）

=4a2+9a+3-3a2-11a+1

=a2-2a+4

=a2-2a+1-1+4

=（a-1）2+3

∵（a-1）2≥0

∴（a-1）2+3＞0

∴M-N＞0

∴M＞N．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)利用作差法比較大小是解題的關(guān)鍵．題型12:配方法的應(yīng)用-三角形邊的關(guān)系12.已知abc是△ABC的三條邊長(zhǎng)且abc是正整數(shù)．

（1）若abc滿足（x+a）（x+b）=x2+17x+60且a2+b2=c2求△ABC的周長(zhǎng)；

（2）若abc滿足a2-4ab+5b2-6b+9=0且△ABC的周長(zhǎng)是偶數(shù)求c的值．【分析】（1）根據(jù)“（x+a）（x+b）=x2+17x+60”可得a和b的值再根據(jù)a2+b2=c2可得c的值進(jìn)一步即可求出△ABC的周長(zhǎng)；

（2）先將a2-4ab+5b2-6b+9=0配方成（a-2b）2+（b-3）2=0求出ab的值再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系以及△ABC的周長(zhǎng)為偶數(shù)即可確定c的值．【解答】解：（1）∵（x+a）（x+b）=x2+17x+60

∴a+b=17ab=60

∵abc是正整數(shù)

∴a=12b=5或a=5b=12

∵a2+b2=c2

∴c=13

∴△ABC的周長(zhǎng)為5+12+13=30；

（2）∵a2-4ab+5b2-6b+9=0

∴（a-2b）2+（b-3）2=0

解得b=3a=2b=6

∴3＜c＜9

∵△ABC的周長(zhǎng)是偶數(shù)且a+b=9是奇數(shù)

∴c是奇數(shù)

∴c=5或7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用勾股定理三角形的三邊關(guān)系等熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式12-1】先閱讀下面的內(nèi)容再解決問(wèn)題

例題：若m2+2mn+2n2-6n+9=0求m和n的值．

解：因?yàn)閙2+2mn+2n2-6n+9=0

所以m2+2mn+n2+n2-6n+9=0．

所以（m+n）2+（n-3）2=0．

所以m+n=0n-3=0．

所以m=-3n=3．

問(wèn)題：（1）若x2+4y2+2xy-12y+12=0求xy的值；

（2）已知abc是等腰△ABC的三邊長(zhǎng)且ab滿足a2+b2=10a+8b-41求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】（1）仿照例題的思路配成兩個(gè)完全平方式然后利用偶次方的非負(fù)性進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）仿照例題的思路配成兩個(gè)完全平方式再利用偶次方的非負(fù)性先求出ab的值然后分兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵x2+4y2+2xy-12y+12=0

∴x2+2xy+y2+3y2-12y+12=0

∴（x+y）2+3（y-2）2=0

∴x+y=0y-2=0

∴x=-2y=2

∴xy=2×（-2）=-4

∴xy的值為-4；

（2）∵a2+b2=10a+8b-41

∴a2-10a+25+b2-8b+16=0

∴（a-5）2+（b-4）2=0

∴a-5=0b-4=0

∴a=5b=4

因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形

所以c=5或4

分兩種情況：

當(dāng)c=5時(shí)△ABC的周長(zhǎng)為5+5+4=14

當(dāng)c=4△ABC的周長(zhǎng)為5+4+4=13

所以△ABC的周長(zhǎng)為13或14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用偶次方的非負(fù)性三角形的三邊關(guān)系熟練掌握完全平方式是解題的關(guān)鍵．【變式12-2】閱讀材料：若m2-2mn+2n2-10n+25=0求mn的值．

解：∵m2-2mn+2n2-10n+25=0

∴（m2-2mn+n2）+（n2-10n+25）=0．

∴（m-n）2+（n-5）2=0

∴m-n=0n-5=0．

∴n=5m=5．

根據(jù)你的觀察探究下面的問(wèn)題：

（1）已知：x2+4xy+5y2+4y+4=0求xy的值；

（2）已知：△ABC的三邊長(zhǎng)abc都是正整數(shù)且滿足：a2+b2-14a-16b+113=0求△ABC的周長(zhǎng)的最大值；

（3）已知：△ABC的三邊長(zhǎng)是abc且滿足：a2+2b2+c2-2b（a+c）=0試判斷△ABC是什么形狀的三角形并說(shuō)明理由．【分析】（1）已知等式利用完全平方公式配方后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果；

（2）已知等式利用完全平方公式配方后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值進(jìn)而確定出c的最大值確定出周長(zhǎng)的最大值即可；

（3）已知等式整理后利用完全平方公式配方再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到abc的關(guān)系即可作出判斷．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2+4y+4=0

∴（x2+4xy+4y2）+（y2+4y+4）=0即（x+2y）2+（y+2）2=0

∴x+2y=0y+2=0

解得：x=4y=-2

則xy=4-2=1（2）∵a2+b2-14a-16b+113=0

∴（a2-14a+49）+（b2-16b+64）=0即（a-7）2+（b-8）2=0

∴a-7=0b-8=0

解得：a=7b=8

由三角形的三邊關(guān)系可知：1＜c＜15且c為正整數(shù)

∴c的最大值為14

則△ABC的周長(zhǎng)的最大值為29；

（3）結(jié)論：△ABC為等邊三角形

理由為：∵a2+2b2+c2-2b（a+c）=0

∴（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）=0

∴（a-b）2+（b-c）2=0

∴a=b=c

則△ABC是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．一、單選題1．將一元二次方程x2﹣2x﹣3=0配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2=4 B．（x﹣1）2=4 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=3【答案】B【解析】【解答】解：x2﹣2x﹣3=0x2﹣2x=3x2﹣2x+1=3+1（x﹣1）2=4．故答案為：B．【分析】先將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊由于二次項(xiàng)系數(shù)為1則給方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)次數(shù)一半的平方然后將左邊寫成平方的形式即可.2．用配方法解方程x2-8x+11=0A．x2-8xC．(x+4)2=5【答案】A【解析】【解答】解：x2-移項(xiàng)得x2配方得x2即x2故答案為：A.【分析】用配方法解方程即可.3．用配方法解一元二次方程x2-9A．(x-92)2=54 B．【答案】A【解析】【解答】∵x2-∴x2則x2即(x故答案為：A.【分析】由配方法的步驟“把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方左邊配成完全平方式”并結(jié)合個(gè)選項(xiàng)即可求解.4．用配方法解方程x2﹣8x+5＝0將其化為（x+a）2＝b的形式正確的是（）A．（x+4）2＝11 B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11【答案】D【解析】【解答】解：x2﹣8x+5＝0x2﹣8x＝﹣5x2﹣8x+16＝﹣5+16（x﹣4）2＝11．故答案為：D．【分析】利用完全平方公式將方程化簡(jiǎn)為{x+a}2=b的形式即可。5．一元二次方程（x-1）2=4的解是（）A．x1=3x2=﹣1 B．x=3C．x=1 D．x1=3x2=0【答案】A【解析】【解答】解：∵（x-1）2=4∴x-1=±2∴x-1=2x-1=-2∴x1=3x2=-1．故答案為：A．【分析】利用直接開(kāi)平方法解方程即可.6．把方程x2-4x-6=0配方成（x+m)2=n的形式結(jié)果應(yīng)是（）A．（x-4）2=2 B．(x-2)2=6 C．（x-2）2=8 D．（x-2)2=10【答案】D【解析】【解答】解：移項(xiàng)得：x2-4x=6

配方得：x2-4x+4=6+4

即（x-2)2=10

故答案為：D

【分析】先將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊再將方程的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方然后將方程寫成（x+m)2=n的形式。7．用配方法解方程x2-4x=5時(shí)A．(x+2)2=1 B．(x-2)2【答案】D【解析】【解答】解：∵x2?4x=5∴x2?4x+4=5+4∴(x?2)2=9.故選D.8．用配方法將方程x2-4x-1=0A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【解答】解：x2配方得：x2即(x則m=5.故答案為：B.

【分析】利用配方法求解一元二次方程的解法求解即可。9．若將一元二次方程x2-8x-9=0化成(x+nA．425 B．-425 C．-25 D．-873【答案】B【解析】【解答】方程移項(xiàng)得：x2=4配方得：x2即(x則n=-4故答案為：B．

【分析】根據(jù)配方法即可求出答案。10．在解方程2x2+4x+1=0時(shí)對(duì)方程進(jìn)行配方小思：2xx(小博244(2A．兩人都正確 B．小思正確小博不正確C．小思不正確小博正確 D．兩人都不正確【答案】A【解析】【解答】由圖知小思和小博除了第一步x2的系數(shù)化1不一致其他都一樣．兩人的做法都正確故答案為：A．【分析】利用配方法解方程即可。二、填空題11．如果(x-4)2=9那么x=。【答案】7或1【解析】【解答】∵(∴x?4=±3∴x?4=3或x?4=?3∴x=7或1.故答案為：7或1.

【分析】對(duì)方程兩邊開(kāi)平方求得正負(fù)兩個(gè)值然后移項(xiàng)得出答案即可12．一元二次方程x2＝81的解是.【答案】x1＝9x2＝﹣9【解析】【解答】x＝±9所以x1＝9x2＝﹣9.故答案為x1＝9x2＝﹣9.【分析】利用直接開(kāi)平方法解方程.13．把一元二次方程x2+6x-1=0通過(guò)配方化成(x+m)2=n的形式為．【答案】(x+3)2=10【解析】【解答】解：∵x2+6x?1＝0∴x2+6x＝1∴x2+6x＋9＝1＋9∴（x+3）2＝10故答案為：(x+3)2=10.【分析】把常數(shù)項(xiàng)?1移到方程的右邊左右兩邊應(yīng)該同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可配方．14．將x2+6x+1=0改寫成(x+p【答案】(【解析】【解答】解：方程x2+6移項(xiàng)：x2配方得：x2+6x+9=-1+9=8即（x+3）2=8故答案為：(x+3)

【分析】利用配方法的一般步驟即可得出答案

(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；

(2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；

(3)等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。15．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通過(guò)配方寫成（x﹣n）2＝0的形式那么于m+n的值是【答案】30【解析】【解答】解：x2-10x+m=