2022-2023學(xué)年福建省莆田市高二下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省莆田市高二下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．從3名男生，2名女生中任選2人，則選到2名女生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先為男生，女生編號(hào)，再結(jié)合樣本空間，和古典概型概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)3名男生的編號(hào)為，2名女生的編號(hào)為，任取2人的樣本空間包含共10個(gè)樣本點(diǎn)，其中選到2名女生為共1個(gè)樣本點(diǎn)，所以選到2名女生的概率.故選：A2．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，即可求解.【詳解】.故選：B3．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則可能使的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系，可知，結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷.【詳解】要使，則，A.，B.，C.，D..故選：B4．甲每次投籃命中的概率為，且每次投籃相互獨(dú)立，則在16次連續(xù)投籃中甲命中的次數(shù)的方差是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意，命中的次數(shù)隨機(jī)變量，由二項(xiàng)分布方差公式求解.【詳解】根據(jù)題意，命中的次數(shù)隨機(jī)變量，由二項(xiàng)分布方差公式得，.故選：C5．若點(diǎn)平面，且對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)滿足，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得出，，，四點(diǎn)共面，再根據(jù)即可求出的值．【詳解】平面，，，，四點(diǎn)共面，又，，解得．故選：D．或者根據(jù)平面，，，，四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，又，所以解得故選：D6．如圖，平行六面體的底面是矩形，其中，，，且，則線段的長(zhǎng)為（

）

A．9 B． C． D．【答案】C【分析】由，兩邊平方，利用勾股定理以及數(shù)量積的定義求出的值，進(jìn)而可得答案【詳解】由，.因?yàn)榈酌媸蔷匦?，，，，所以，，因?yàn)?，所以所以，故選：C.7．某同學(xué)利用電腦軟件將函數(shù)，的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系中，得到如圖的“心形線”.觀察圖形，當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】首先確定函數(shù)的圖象，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)于函數(shù)圖象間的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，，所以軸下方的圖象為函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故排除CD；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，時(shí)，函數(shù)圖象上每點(diǎn)處的切線斜率應(yīng)先變小，再增大，故排除B，只有A正確.故選：A8．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由于，，，所以構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性可比較大小，【詳解】，，，令，則，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，因?yàn)?，所以，所以，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此考查比較大小，解題的關(guān)鍵是對(duì)變形，使形式相同，然后構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較大小，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.二、多選題9．某學(xué)習(xí)小組收集了7組樣本數(shù)據(jù)（如下表所示）：12345670.51.20.81.51.72.32.5他們繪制了散點(diǎn)圖并計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，發(fā)現(xiàn)與有比較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.若關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．與呈正相關(guān)關(guān)系B．C．當(dāng)時(shí)，的預(yù)測(cè)值為3.3D．去掉樣本點(diǎn)后，樣本相關(guān)系數(shù)不變【答案】ABD【分析】首先求，根據(jù)樣本中心求回歸直線方程，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由數(shù)據(jù)可知，，，樣本點(diǎn)中心必在回歸直線上，所以，得，故AB正確；，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槭菢颖军c(diǎn)中心，，所以去掉這一項(xiàng)，樣本相關(guān)系數(shù)不變，故D正確.故選：ABD10．甲、乙兩個(gè)罐子均裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，除顏色外，各個(gè)球完全相同.先從甲罐中隨機(jī)取出2個(gè)球放入乙罐中，再從乙罐中隨機(jī)取出1個(gè)球，記事件表示從甲罐中取出的2個(gè)球中含有個(gè)紅球，表示從乙罐中取出的球是紅球，則（

）A．，，兩兩互斥 B．C． D．與不相互獨(dú)立【答案】AC【分析】結(jié)合互斥，相互獨(dú)立事件的定義，以及全概率公式，條件概率公式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.表示從甲罐中取出的2個(gè)球，沒有紅球，表示從甲罐中取出的2個(gè)球，有1個(gè)紅球，表示從甲罐中取出的2個(gè)球，有2個(gè)紅球，在一次實(shí)驗(yàn)中，這三個(gè)事件，任兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，所以兩兩互斥，故A正確；B.，故B錯(cuò)誤；C.，故C正確；D.，，，則，則與相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：AC11．函數(shù)在處取得極大值，則（

）A． B．只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C． D．在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【分析】首先根據(jù)極值點(diǎn)求函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，極值和端點(diǎn)值，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，，由條件可知，，得，當(dāng)時(shí)，，得或，單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增單調(diào)遞減由表格數(shù)據(jù)單調(diào)性可知，單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在區(qū)間有1個(gè)零點(diǎn)，同理，函數(shù)在區(qū)間和也各有1個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故A正確，B錯(cuò)誤；，，，，故C正確；，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)可知，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：AC12．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）.把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A．B．若為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為2C．點(diǎn)到直線的距離是D．異面直線與所成角的正切值為【答案】BCD【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則判斷A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算B、C、D.【詳解】因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，對(duì)于B：因?yàn)闉榫€段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，故B正確；對(duì)于C：，，所以點(diǎn)到直線的距離，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，所以，即異面直線與所成角的正切值為，故D正確；故選：BCD三、填空題13．已知，，且，則.【答案】【分析】利用向量共線定理列方程求得，從而可得答案.【詳解】因?yàn)?，，且，，，則，解得：，.故答案為：14．若某工廠制造的機(jī)械零件尺寸服從正態(tài)分布，則零件尺寸介于3.5和5之間的概率約為.（若，則，，）【答案】【分析】由題意可得，然后代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以，所以，所以，故答案為：15．現(xiàn)從甲、乙、丙3人中選派一人參加“垃圾分類”知識(shí)競(jìng)答，他們商議通過玩“石頭、剪刀、布”游戲解決：如果其中兩人手勢(shì)相同，另一人不同，則選派手勢(shì)不同的人參加；否則重新進(jìn)行一局“石頭、剪刀、布”游戲，直到確定人選為止.在每局游戲中，甲、乙、丙各自出3種手勢(shì)是等可能的，且各局游戲是相互獨(dú)立的，則直到第三局游戲才最終確定選派人員的概率為.【答案】【分析】根據(jù)題意，先求出進(jìn)行一局游戲，沒有確定參加活動(dòng)人選的概率，然后根據(jù)各局游戲是相互獨(dú)立，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)事件表示“進(jìn)行一局游戲，成功確定參加活動(dòng)人選”，則，則進(jìn)行一局游戲，沒有確定參加活動(dòng)人選的概率為，且各局游戲是相互獨(dú)立的，則直到第三局游戲才最終確定選派人員的概率為.故答案為：四、雙空題16．已知函數(shù)，若直線是曲線的切線，則；若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，則的取值范圍是.【答案】【分析】，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)出切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，由此可得的值；依題意，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，可知，則由，可令，進(jìn)一步可得，設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)求出的范圍，即可得到的范圍．【詳解】記，，設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)，，則，解得，即實(shí)數(shù)的值為；令，則，依題意，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，又，令，解得，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，

由圖象可知：要使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則又，則，則，令，則，又，則，于是，則，故，設(shè)，則，又，設(shè)，則，故在,上單調(diào)遞減，則，故在,上恒成立，則在,上單調(diào)遞減，于是，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，求某點(diǎn)處的切線方程較為簡(jiǎn)單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時(shí)，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時(shí)，常采用兩種思路：求直接求最值和等價(jià)轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.五、解答題17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，極小值為(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)，將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，得或，當(dāng)時(shí)，解得：或，當(dāng)時(shí)，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)變換時(shí)，，的變化情況如下表所示，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的的極大值為，極小值為（2），，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，可得在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以，即的取值范圍是.18．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求二面角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式，即可求解；（2）利用垂直關(guān)系證明平面，利用法向量求二面角的大小.【詳解】（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離；（2）因?yàn)?，平面，平面，所以，且，平面，所以平面，即平面，，，，，所以二面角的大小?9．甲、乙兩位好友進(jìn)行乒乓球友誼賽，比賽采用局勝制（），若每局比賽甲獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果是相互獨(dú)立的.(1)比賽采用5局3勝制，已知甲在第一局落敗，求甲反敗為勝的概率；(2)比賽采用3局2勝制，比賽結(jié)束時(shí)，求甲獲勝的局?jǐn)?shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意，分別求出比分或的概率，即可得到結(jié)果；（2）由題意可知，的所有可能取值為，然后分別求出其對(duì)應(yīng)的概率，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）記“甲在第一局落敗”，“甲反敗為勝”，甲最終獲勝有兩種可能的比分或，且每局比賽結(jié)果是相互獨(dú)立的.①若比分是，則甲接下來連勝3局，其概率為；②若比分是，則第2,3,4，局比賽中甲勝2局輸1局且第5局甲獲勝，其概率為，所以.（2）的所有可能取值為，，，，所以的分布列為012則.20．如圖，在四棱錐中，，，，為的中點(diǎn)，與均為等邊三角形，與相交于點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）要證明線面垂直，可證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，利用垂直關(guān)系，構(gòu)造輔助線，即可證明；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量公式求線面角的正弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，

因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，因?yàn)?，，為的中點(diǎn)，所以四邊形是正方形，所以，則，且，平面，所以平面，平面，所以，又因?yàn)榕c均為等邊三角形，所以，所以，且，平面，所以平面（2）四邊形是正方形，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，,，，，，,設(shè)平面的法向量為，則，即，得令，所以平面的法向量，設(shè)直線與平面的夾角為，所以，所以直線與平面的夾角的正弦值21．為了考查一種新疫苗預(yù)防某一疾病的效果，研究人員對(duì)一地區(qū)某種動(dòng)物進(jìn)行試驗(yàn)，從該試驗(yàn)群中隨機(jī)抽查了50只，得到如下的樣本數(shù)據(jù)（單位：只）：發(fā)病沒發(fā)病合計(jì)接種疫苗81624沒接種疫苗17926合計(jì)252550(1)能否有95%的把握認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān)？(2)從該地區(qū)此動(dòng)物群中任取一只，記表示此動(dòng)物發(fā)病，表示此動(dòng)物沒發(fā)病，表示此動(dòng)物接種疫苗，定義事件的優(yōu)勢(shì)，在事件發(fā)生的條件下的優(yōu)勢(shì).（?。┳C明：；（ⅱ）利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，給出，的估計(jì)值，并給出的估計(jì)值.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)有95%的把握認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān).(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)卡方的計(jì)算即可與臨界值比較求解，（2）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，即可結(jié)合的定義進(jìn)行求證，進(jìn)而求解.【詳解】（1）根據(jù)聯(lián)表可得，所以有95%的把握認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān).（2）（?。┯捎?所以，，故,故得證.（ⅱ）由二聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，，所以，22．已知函數(shù)，其中.(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求的最小值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）依題意可得，即可得到，從而得到，令，，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可求出的最小值.【詳解】（1）定義域?yàn)?，且，?dāng)