工業(yè)機(jī)器人第三章歐拉角DH參數(shù)

工業(yè)機(jī)器人第三章歐拉角DH參數(shù)第1頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第2頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.6RPY角和歐拉角

(一)RPY角

RPY角是描述船舶在海中航行時(shí)姿態(tài)的一種方法。將船的行駛方向取為Z軸，則繞Z軸的旋轉(zhuǎn)(α角)稱為滾動(Roll)；把繞Y軸的旋轉(zhuǎn)(β角)稱為俯仰(Pitch)；而把垂直方向取為X軸，將繞X軸的旋轉(zhuǎn)(γ角)稱為偏轉(zhuǎn)(Yaw)，如右圖1-9所示。操作臂手爪姿態(tài)的規(guī)定方法類似(如圖1-10)，故習(xí)慣上稱為RPY角方法。1-9滾動、俯仰、偏轉(zhuǎn)1-10機(jī)器人手的滾動、俯仰、偏轉(zhuǎn)第3頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

這種描述活動坐標(biāo)系方位的法則如下：活動系的初始方位與固定坐標(biāo)系重合，首先將活動系繞固定坐標(biāo)系的X軸旋轉(zhuǎn)γ角，再繞固定坐標(biāo)系的Y軸轉(zhuǎn)β角，最后繞固定坐標(biāo)系的Z軸轉(zhuǎn)α角，如圖1-11所示。因?yàn)槿涡D(zhuǎn)都是相對于固定坐標(biāo)系的，所以得相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣：1-11RPY角第4頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月其中：將矩陣相乘得：

它表示繞固定坐標(biāo)系的三個(gè)軸依次旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)矩陣，因此稱為繞固定軸X-Y-Z旋轉(zhuǎn)的RPY角法?！?.(11)第5頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

現(xiàn)在來討論逆問題：從給定的旋轉(zhuǎn)矩陣求出等價(jià)的繞固定軸X-Y-Z的轉(zhuǎn)角γ、β、α。令：

式中有3個(gè)未知數(shù)，共9個(gè)方程，其中6個(gè)方程不獨(dú)立因此可以利用其中的3個(gè)方程解出未知數(shù)?！?.(12)第6頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月由式(11)、(12)可以看出：如果cosβ≠0，則得到各個(gè)角的反正切表達(dá)式:

式中，Atan(y，x)是雙變量反正切函數(shù)。式(13)中的根式一般有兩個(gè)解，我們總是取-900≤β≤900中的一個(gè)解?！?.(13)第7頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)歐拉角1．繞運(yùn)動系X-Y-Z轉(zhuǎn)動的歐拉角這種坐標(biāo)系運(yùn)動的描述如下：運(yùn)動坐標(biāo)系的初始方位與參考系相同，首先使運(yùn)動系繞Z軸轉(zhuǎn)α角，然后繞運(yùn)動系的Y軸轉(zhuǎn)β角，最后繞運(yùn)動系的X軸轉(zhuǎn)γ角，如圖1-12所示。這種描述法中的各次轉(zhuǎn)動都是相對于運(yùn)動坐標(biāo)系的某軸進(jìn)行的，而不是相對于固定的參考系。這樣的三次轉(zhuǎn)動角稱為歐拉角。因此可以得出歐拉變換矩陣1-12繞Z-Y-X轉(zhuǎn)動的歐拉角第8頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月歐拉變換矩陣：其中：將矩陣相乘得：第9頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

這一結(jié)果與繞固定軸X-Y-Z旋轉(zhuǎn)的結(jié)果完全相同。這是因?yàn)槔@固定軸旋轉(zhuǎn)的順序與繞運(yùn)動軸旋轉(zhuǎn)的順序相反，且旋轉(zhuǎn)的角度也對應(yīng)相等時(shí)，所得到的變換矩陣是相同的。因此，用Z-Y-X歐拉角與固定軸X-Y-Z轉(zhuǎn)角描述運(yùn)動坐標(biāo)系是完全等價(jià)的。第10頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2．繞Z-Y-Z轉(zhuǎn)動的歐拉角這種坐標(biāo)系運(yùn)動的描述如下：最初，坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系重合。首先使運(yùn)動系繞Z軸轉(zhuǎn)動α角，然后繞運(yùn)動系的Y軸轉(zhuǎn)β角，最后繞運(yùn)動系的Z軸轉(zhuǎn)γ角，如圖3-9所示。

繞Z-Y-Z轉(zhuǎn)動的歐拉角第11頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

可以求得：第12頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣，求Z-Y-Z歐拉角的逆解方法如下：如果sinβ≠0，則:令：第13頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)Zi坐標(biāo)軸是沿著i+1關(guān)節(jié)的運(yùn)動軸。(2)Xi軸是沿著Zi和Zi-1的公垂線，指向離開Zi-1軸的方向。(3)Yi軸的方向按構(gòu)成XiYiZi右手直角坐標(biāo)系來建立。(4)公垂線長度ai是Zi-1

和Zi兩軸間的最小距離，一段稱ai

為連桿長度。(5)兩公垂線ai-1和ai之間的距離稱為連桿距離di。(6)Xi-1軸與Xi之間的夾角為θi，以繞Zi-1軸右旋為正，一般稱為連桿的夾角。(7)Zi-1軸與Zi之間的夾角為αi，以繞Xi軸右旋為正，αi稱為扭轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)動連桿參數(shù)3.7機(jī)器人連桿參數(shù)及其D—H坐標(biāo)變換第15頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

若兩桿以移動副連接，則連桿構(gòu)件坐標(biāo)系的建立及參數(shù)的規(guī)定如圖2-2所示。圖中各符號所表示的意義仍與圖2-1相同。由于對于移動副來說，連桿長度ai

已經(jīng)沒有意義，故令其為零，形成的構(gòu)件坐標(biāo)系見圖2-2。

移動連桿參數(shù)第17頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

由圖2-1和圖2-2可知，四個(gè)參數(shù)ai，di，θi，αi完全確定了連桿i-1和連桿i之間的相對關(guān)系，一般ai，αi為常量，由連桿i的形狀確定。對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，di是常量，θi為變量；對于移動關(guān)節(jié)θi是常量，di是變量。根據(jù)上述模式，我們給所有連桿賦予坐標(biāo)系，并且可以建立i-1和i坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。應(yīng)當(dāng)說明的是，盡管Zi軸通過關(guān)節(jié)i+1的軸線，但坐標(biāo)系XiYiZi是固定在連桿i上的，隨連桿i運(yùn)動而一起運(yùn)動。第18頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月1．旋轉(zhuǎn)連桿坐標(biāo)系及其D-H坐標(biāo)變換

第19頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2．移動連桿坐標(biāo)系及其連桿的D-H坐標(biāo)變換

第21頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第23頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

第三節(jié)建立機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)方程的實(shí)例根據(jù)上節(jié)所述方法，首先建立機(jī)器人各桿件的構(gòu)件坐標(biāo)系，從而得出齊次變換矩陣Ti。一個(gè)T矩陣僅能描述連桿坐標(biāo)系之間相對平移和旋轉(zhuǎn)的一次齊次變換。T1描述第一個(gè)連桿相對于某個(gè)坐標(biāo)系(如機(jī)身)的位姿，T2描述第二個(gè)連桿(構(gòu)件)坐標(biāo)系相對于第一個(gè)連桿(構(gòu)件)坐標(biāo)系的位姿。

第24頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

若有一個(gè)六連桿機(jī)器人，機(jī)器人手的末端(即連桿坐標(biāo)系6)相對于固定坐標(biāo)系的變換可表示為第25頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

一個(gè)六連桿機(jī)器人有六個(gè)自由度(每個(gè)連桿有一個(gè)自由度)。機(jī)器人最后一個(gè)構(gòu)件(手部)有三個(gè)自由度用來確定其位置，三個(gè)自由度用來確定其方向。對如圖2-3所示的一個(gè)機(jī)器人手部，我們可以把描述其位置和方向的坐標(biāo)系原點(diǎn)定在兩個(gè)手指的中點(diǎn)，用一個(gè)向量p描述這個(gè)原點(diǎn)。用三個(gè)向量n、o、a描述機(jī)器人的姿態(tài)。圖2-3手抓坐標(biāo)系第26頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)手部處于初始位置和姿態(tài)時(shí)，向量Z指向手接近物體的方向。其單位向量a稱為接近向量。向量Y的單位向量o稱為方位向量。最后一個(gè)單位向量稱為正交向量n。上述向量構(gòu)成右手矢量積，它們用向量的矢量積來表示：n=oxa

這樣，變換T60可用下列矩陣表示:第27頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

根據(jù)前面兩式即可建立機(jī)器人的位姿方程。坐標(biāo)變換圖如圖2-4所示。圖2-4機(jī)器人手的坐標(biāo)變換圖第28頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

下面給出兩個(gè)機(jī)器人手運(yùn)動方程的求解實(shí)例

[例1]

PUMA560六自由度機(jī)械手由轉(zhuǎn)動坐標(biāo)臂(RRR)和歐拉腕組成，其結(jié)構(gòu)示意圖參看圖2-5。關(guān)節(jié)變量為θ1,θ2

,…,θ6，若己知PUMA560六自由度機(jī)械手θ1＝900,θ2＝00

,θ3＝900,θ4＝00

，θ5＝00

，θ6＝00

，a2＝431.8mm,d2＝149.09mm，d4＝433.07mm，d6＝56.25mm。求Ti(i＝l，2，3，4，5，6)及T60的表達(dá)式及當(dāng)θi取給定值時(shí)末桿的位姿。第29頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月圖2-5PUMA-560機(jī)械手坐標(biāo)系第30頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

[解]

(1)設(shè)定機(jī)器人各桿的坐標(biāo)系按D—H坐標(biāo)系建立各桿的坐標(biāo)系如圖2-5所示。將o0z0設(shè)置在關(guān)節(jié)1的轉(zhuǎn)軸上，o0和o1重合；o1z1o2z2分別沿關(guān)節(jié)2、3的轉(zhuǎn)軸，o1z1

／／o2z2。z3與z2軸的交點(diǎn)為o3；o2和o3重合，d3＝0,o3x3y3z3并非置于臂的終端。o3z3是腕的第一個(gè)轉(zhuǎn)軸。z4與z3的交點(diǎn)為o4

，設(shè)在臀的終端，是腕結(jié)構(gòu)的中心，o4z4是腕的第二個(gè)轉(zhuǎn)軸；z5與z4的交點(diǎn)為o5。o4和o5重合，o5z5是腕的第三個(gè)轉(zhuǎn)軸。o6x6y6z6為終端坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系考慮了工具長度d6。y6、x6、z6的單位向量分別記為n、o、a。第31頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)確定連桿的D-H參數(shù)和關(guān)節(jié)變量連桿變量αadcosαsinα1θ1-90°000-12θ20°a2d2103θ390°00014θ4-90°0d40-15θ590°00016θ60°0d610第32頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

(3)求兩桿間的位姿矩陣Ai

根據(jù)表2-1所示的D-H參數(shù)和公式(1)可求得Ai其中：第33頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

(4)求末桿位姿矩陣令：可得第34頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月式中：第35頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月…..(5)第36頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)式(3)和式(4)可得：式中：……..(6)第37頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

若令θ1＝900,θ2＝00

,θ3＝900,θ4＝00

θ5＝00

θ6＝00，并將有關(guān)常量代入T6矩陣，則有：第38頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月[例2]

斯坦福機(jī)器人的結(jié)構(gòu)示意圖如圖2-6，它由球面坐標(biāo)臂(RRP)和歐拉腕組成。求Ai(i=1，2，3，4，5，6)及T6的表達(dá)式。

[解]

(1)設(shè)定機(jī)器人各桿的坐標(biāo)系按D—H坐標(biāo)系建立各桿的坐標(biāo)系如圖2-6所示。圖中z0軸沿關(guān)節(jié)1的軸，zi軸沿關(guān)節(jié)(i+1)的軸,令所有xi軸與機(jī)座坐標(biāo)系x0軸平行，y軸按右手坐標(biāo)系確定。原點(diǎn)o0和o1重合，o3、o4、o5、o6重合。第39頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)確定連桿的D-H參數(shù)和關(guān)節(jié)變量連桿的D-H參數(shù)見表2-2連桿變量αadcosαsinα1θ1-90°000-12θ290°0d2013θ30°0

d3

104θ4-90°000-15θ590°00016θ60°0010表2-2斯坦福機(jī)器人的D-H參數(shù)第40頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

(3)求兩桿間的位姿矩陣Ai

根據(jù)表2-2所示的D-H參數(shù)和公式(1)可求得Ai其中：第41頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

(4)求機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程其中：第42頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

第四節(jié)機(jī)器人位移分析的逆問題前面介紹了如何建立機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程。對于具有n個(gè)自由度的操作臂而言，其運(yùn)動學(xué)方程可以寫成：

方程左邊表示末端連桿相對于參考坐標(biāo)系的位姿。根據(jù)機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)變量qi(i＝1，2，…，n)的值，便可計(jì)算出機(jī)器人末端的位姿方程，稱為機(jī)械手的運(yùn)動分析，或正向運(yùn)動學(xué)；反之，為了使機(jī)器人所握工具相對參考系的位姿滿足給定的要求，計(jì)算相應(yīng)的關(guān)節(jié)變量，這一過程稱為運(yùn)動學(xué)逆解。第43頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

從工程應(yīng)用的角度而言，運(yùn)動學(xué)逆解往往更重要，它是機(jī)器人運(yùn)動規(guī)劃和軌跡控制的基礎(chǔ)。

正向運(yùn)動學(xué)的解是唯一確定的，即各個(gè)關(guān)節(jié)變量給定之后，手臀末端的手爪或工具的位姿是唯一確定的；然而運(yùn)動學(xué)逆解往往具有多重解，也可能不存在解。此外，對于運(yùn)動學(xué)逆解而言，僅僅用某種方法求解是不夠的，對于各種計(jì)算方法的計(jì)算效率、計(jì)算精度均有較多要求。下面以PUMA機(jī)器人為例來探討機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)逆解。第44頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

[例3]

求例1中PUMA560機(jī)械人的運(yùn)動學(xué)逆解

[解]PUMA機(jī)械人的運(yùn)動學(xué)方程(6)可以寫成

在矩陣方程(7)中，左邊的矩陣元素nx,…,pz是已知的，而右邊的六個(gè)矩陣是未知的，它們依賴于關(guān)節(jié)變量θ1,…,θ6

?！?.(7)第45頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)求解θ1、θ3

用逆矩陣左乘矩陣方程(7):于是有:第46頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

可由式(5)求出。令上式兩邊的(2,4)元素相等，可得：令:其中:……..(8)……..(9)把式(9)代入(8)，可得:第47頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月于是可以解出θ1：式中，正號和負(fù)號分別對應(yīng)于θ1的兩種可能解。第48頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

我們再令矩陣兩邊的(1，4)元素、(3，4)元素分別相等，得以下方程：……..(10)由式(10)與式(8)的平方和，得：式中：……..(11)第49頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

方程(11)中消除了θ1，式(11)和式(8)形式相同，因此可用三角代換求出θ3

第50頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)求解θ2、θ4

將左式左乘可得:

式中，T63由式給出。令上式兩邊矩陣的(1，4)和(2，4)元素分別相等，得到：……..(12)第51頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月由式(13)和式(14)求得：……..(14)……..(13)第52頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月由于c23和s23表達(dá)式的分母相等且為正，故有：……..(15)

根據(jù)θ3、θ1解的四種可能組合，由式(15)可以算出θ23的四個(gè)值，于是得到θ2的四個(gè)可能解：第53頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

因?yàn)榫仃嚪匠?12)左邊為已知，令等式兩邊的(1，3)元素和(3，3)元素分別相等，便可得：只要s5≠0，我們可以求得θ4：第54頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)求解θ5θ4解出后，將左式繼續(xù)左乘可得:

式(16)的左邊，因θ1θ2θ3θ4中均已解出，從而有下式：……..(16)…..(17)第55頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

使式(17)兩邊的(1,3)元素和(3,3)元素相等，得出：又因?yàn)椋?/p>

因而可得：第56頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)求解θ6

繼續(xù)用以上方法求解θ6

使方程兩邊的（3，1）元素和（1，1）相等，得到方程從而得到θ6第57頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

注意：PUMA-560機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)逆解可能存在4個(gè)解。這是因?yàn)樵谇蠼猞?θ3時(shí)出現(xiàn)正負(fù)號，故可能得到4個(gè)解。下圖給出了這4種解的對應(yīng)形態(tài)。第58頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

第五節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動和微分變換

在機(jī)器人的操作與控制中，由于種種原因機(jī)器人末端操作器的位姿與目的物之間會產(chǎn)生位姿誤差。為了補(bǔ)償這一位姿誤差，要求末端操作器產(chǎn)生一微小運(yùn)動。此外，機(jī)器人操作時(shí)，有時(shí)會碰到兩個(gè)不同坐標(biāo)系之間的微位移關(guān)系問題，例如用攝像機(jī)時(shí)，攝像機(jī)安裝在某桿上，攝像機(jī)攝到的微位移是用固結(jié)于攝像機(jī)的坐標(biāo)系來描述的。要求補(bǔ)償?shù)哪┒瞬僮髌鞯奈⑽灰剖怯没A(chǔ)坐標(biāo)系來描述的，末端操作器的微位移又是通過關(guān)節(jié)空間的各關(guān)節(jié)的微運(yùn)動來實(shí)現(xiàn)的，這就存在不同坐標(biāo)系之間微位移的關(guān)系問題。第59頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

一、變換的微分假設(shè)有一個(gè)變換，它的元素是某個(gè)變量的函數(shù)，對于這個(gè)變換的微分就是該變換矩陣各元素對該變量的偏導(dǎo)數(shù)所組成的變換陣乘以該變量的微分。給定變換T為它的元素是某個(gè)變量x的函數(shù)，則變換T的微分為:第60頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

二、微移動——微平動和微轉(zhuǎn)動

所謂微運(yùn)動指的是無限小的運(yùn)動，即無限小移動和無限小轉(zhuǎn)動。它既可以用給定的當(dāng)前坐標(biāo)系矩陣T來描述，也可以用基礎(chǔ)坐標(biāo)系來描述。已知坐標(biāo)系矩陣T，微分運(yùn)動后變?yōu)門+dT。應(yīng)用相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的左乘法則，T+dT可表示為：

式中，是用基礎(chǔ)坐標(biāo)系描述的微移動dx，dy，dz的移動變換。是用基礎(chǔ)坐標(biāo)系描述的繞k軸微旋轉(zhuǎn)dθ的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動變換。由上式得:I為4X4的單位矩陣第61頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

代表一個(gè)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)的變換。微分移動的齊次變換矩陣為：微分旋轉(zhuǎn)的齊次變換矩陣為：第62頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

繞k軸旋轉(zhuǎn)dθ等價(jià)于分別繞三個(gè)軸X，Y，Z軸旋轉(zhuǎn)δx,δy,δz。令kxdθ=δx，kydθ=δy,

kzdθ=δz并代入上式可得：—1第63頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

[例]

假設(shè)有一個(gè)坐標(biāo)系A(chǔ)為：

相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的微分平移為，微分旋轉(zhuǎn)為，試求與d和δ相應(yīng)的A的微分變換。第64頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

[解]

首先構(gòu)造微分平移和旋轉(zhuǎn)變換第65頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第66頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月三、兩直角坐標(biāo)系間的微分移動的關(guān)系——微分變換

前面討論了用基準(zhǔn)坐標(biāo)系和當(dāng)前T坐標(biāo)系描述的微分運(yùn)動，分別為和，不同坐標(biāo)系的微分運(yùn)動和的關(guān)系為：所以有：第67頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

這個(gè)變換方程如同前面變換方程一樣，可以用一個(gè)變換圖來表示，如右圖所示。由圖也可以直接得到上式。方程2很重要，因?yàn)樗严鄬τ诓煌淖鴺?biāo)系之間的微分變化聯(lián)系起來了。我們首先展開方程右端的矩陣乘積，展開過程中進(jìn)行了簡化，可得出微分變化向量d和δ的元素之間的直接關(guān)系。變換T稱為微分坐標(biāo)