第1節(jié)　集合的概念與運算

第一節(jié)集合的概念與運算第一章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.了解集合的含義,體會元素與集合的“屬于”關(guān)系.2.能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.3.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.4.在具體情境中,了解全集與空集的含義.5.理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集.6.理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集.7.能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算.1.集合的含義與表示2.集合間的基本關(guān)系3.集合的基本運算4.集合的新定義問題1.直觀想象2.邏輯推理3.數(shù)學運算強基礎(chǔ)增分策略1.集合的相關(guān)概念(1)集合元素的三個特性:確定性、無序性、互異性.(2)元素與集合的兩種關(guān)系:屬于,記為

;不屬于,記為

.

(3)集合的三種表示方法:

、

、圖示法.

(4)五個特定的集合:集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號

∈

?列舉法

描述法

NN+或N*ZQR2.集合間的基本關(guān)系任何一個元素A?B(或B?A)A≠BA?B(或B?A)集合A,B中的元素相同或集合A,B互為子集

A=B微點撥1.若集合A是集合B的真子集,則集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一個元素不在集合A中.任何一個集合是它本身的子集.2.當集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?B(或B?A),讀作“A不含于B”(或“B不包含A”).3.空集是不含任何元素的集合,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.微思考若一個集合A有n個元素,則集合A有幾個子集,幾個真子集?提示:2n,2n-1.3.集合的基本運算

微點撥1.求集合A的補集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其實是給定的條件.從全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素構(gòu)成的集合即為?UA.2.集合運算的基本性質(zhì)(1)并集的性質(zhì):A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A.(2)交集的性質(zhì):A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A.(3)補集的性質(zhì):A∩(?UA)=?;A∪(?UA)=U;?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).微思考從A∩B=A可以得到集合A,B有什么關(guān)系?從A∪B=A可以得到集合A,B有什么關(guān)系?提示:A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A.常用結(jié)論1.如圖所示,用圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分所表示的集合分別是A∩B,A∩(?UB),B∩(?UA),?U(A∪B).2.若card表示有限集合中元素的個數(shù),則card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).增素能精準突破考點一集合的含義與表示典例突破例1.(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則A中元素的個數(shù)為(

)A.9 B.8

C.5

D.4(2)(2021河北石家莊二模)已知集合A=,B={0,1-b,1}(a,b∈R),若A=B,則a+2b=(

)A.-2 B.2

C.-1 D.1答案:(1)A

(2)D

解析:(1)(方法1)將滿足x2+y2≤3的整數(shù)對(x,y)全部列舉出來,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9個.故選A.(方法2)根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標系中作出圖形,如圖,易知在圓x2+y2=3中有9個符合題意的點,即為集合A的元素個數(shù).故選A.突破技巧與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含義,再看元素的限制條件,明白集合的類型,是數(shù)集、點集,還是其他類型集合.(2)集合元素的三個特性中的互異性對解題的影響較大,特別是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.對點訓練1(1)已知集合A={x∈N|1<x<log2k},若集合A中至少有3個元素,則k的取值范圍為(

)A.(8,+∞) B.[8,+∞)C.(16,+∞) D.[16,+∞)(2)(2021廣西南寧二中月考)定義:當x∈Z,y∈Z時,P(x,y)成為“格點”,則集合{(x,y)|x2+y2≤2}對應(yīng)的圖形中“格點”的個數(shù)為(

)A.7 B.8

C.9

D.10答案:(1)C

(2)C

解析:(1)因為集合A中至少有3個元素,所以log2k>4,所以k>24=16,故選C.(2)由當x∈Z,y∈Z時,x2+y2≤2,則y2≤2-x2,所以2-x2≥0,得到

,所以x的取值為-1,0,1.所以當x=-1時,y的值為-1,0,1,當x=0時,y的值為-1,0,1,當x=1時,y的值為-1,0,1,所以滿足條件的“格點”有9個.考點二集合間的基本關(guān)系典例突破例2.(1)(2021浙江諸暨模擬)已知集合滿足{1,2}?A,且A?{1,2,3},則集合A可以是(

)A.{3} B.{1,3}C.{2,3} D.{1,2}(2)(2021山東濰坊四縣市聯(lián)考)已知集合A={x∈N|x2-x-6<0},以下可為A的子集的是(

)A.{x|-2<x<3} B.{x|0<x<3}C.{0,1,2} D.{-1,1,2}(3)(2021山西臨汾三模)已知A={x|x2+6x+8≤0},B={x|x<a},若A?B,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)C.(-2,+∞) D.[-2,+∞)答案:(1)D

(2)C

(3)C

解析:(1)∵{1,2}?A,且A?{1,2,3},∴集合A可以是{1,2},{1,2,3}.故選D.(2)因為A={x∈N|x2-x-6<0}={x∈N|-2<x<3}={0,1,2},所以C正確.(3)A={x|x2+6x+8≤0}={x|-4≤x≤-2},B={x|x<a},因為A?B,所以實數(shù)a的取值范圍是(-2,+∞).突破技巧集合間基本關(guān)系的兩種判定方法和一個關(guān)鍵

兩種方法(1)化簡集合,從表達式中尋找兩集合的關(guān)系;(2)用列舉法(或圖示法等)表示各個集合,從元素(或圖形)中尋找關(guān)系一個關(guān)鍵關(guān)鍵是看它們是否具有包含關(guān)系,若有包含關(guān)系就是子集關(guān)系,包括相等和真子集兩種關(guān)系A(chǔ).1

B.2

C.4 D.8A.M∩N=? B.M=NC.M?N D.N?M答案:(1)D

(2)D

又n+2為整數(shù),2m+1為奇數(shù),且整數(shù)包含奇數(shù),∴N?M,故選D.考點三集合的基本運算(多考向探究)考向1.集合的運算典例突破例3.(1)(2021全國乙,文1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則?U(M∪N)=(

)A.{5} B.{1,2}C.{3,4} D.{1,2,3,4}(2)(2021西藏拉薩二模)已知集合A={x|x(x-3)≤0},B={-1,2,3,5},則集合A∩B=(

)A.?

B.{2}C.{2,3} D.{-1,0,1,2,3,5}(3)(2021河南新鄉(xiāng)一模)已知集合A={x|3-x>1},B={x|3-3x>0},則(

)A.A∩B={x|x>1}B.A∪B={x|x>2}C.A∪B=RD.A∩(?RB)={x|1≤x<2}答案:(1)A

(2)C

(3)D

解析:(1)(方法1)∵M∪N={1,2,3,4},∴?U(M∪N)={5}.(方法2)∵?UM={3,4,5},?UN={1,2,5},∴?U(M∪N)=(?UM)∩(?UN)={5}.(2)由x(x-3)≤0可得0≤x≤3,所以集合A={x|0≤x≤3},又因為集合B={-1,2,3,5},所以A∩B={2,3}.(3)因為A={x|x<2},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},A∪B={x|x<2},又因為?RB={x|x≥1},所以A∩(?RB)={x|1≤x<2},選項A,B,C錯誤,選項D正確.突破技巧求解集合基本運算的方法技巧

對點訓練3(1)(2021全國乙,理2)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},則S∩T=(

)A.?

B.S

C.T D.Z(2)(2021福建泉州一模)已知集合A={(x,y)|x+y=8,x,y∈N+},B={(x,y)|y>x+1},則A∩B中元素的個數(shù)為(

)A.2

B.3

C.4 D.5(3)(2021湖北武漢模擬)已知全集U={x∈N|0<x<8},A∩(?UB)={1,2},?U(A∪B)={5,6},B∩(?UA)={4,7},則A集合為(

)A.{1,2,4} B.{1,2,7}C.{1,2,3} D.{1,2,4,7}答案:(1)C

(2)B

(3)C解析:(1)當n=2k,k∈Z時,S={s|s=4k+1,k∈Z}=T;當n=2k+1,k∈Z時,S={s|s=4k+3,k∈Z},所以T?S,故S∩T=T.(2)根據(jù)題意A={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)},其中滿足y>x+1的有(1,7),(2,6),(3,5),所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5)},有3個元素.(3)由題意U={1,2,3,4,5,6,7},用Venn圖表示集合A,B,如圖所示,依次填寫A∩(?UB),?U(A∪B),B∩(?UA),最后剩下的數(shù)字3只能填寫在A∩B中,所以集合A={1,2,3}.考向2.利用集合的運算求參數(shù)典例突破例4.(1)(2021山東聊城三模)已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},則實數(shù)a的值為(

)A.0 B.1

C.2

D.3(2)已知集合A={x|x2-x-12>0},B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>4},則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-4,3) B.[-3,4]C.(-3,4) D.(-∞,4](3)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,1) B.(-∞,1]C.(2,+∞) D.[2,+∞)答案:(1)B

(2)B

(3)D

解析:(1)由A∩B={1},而a2+3≥3,故a=1.(2)集合A={x|x<-3,或x>4},∵A∩B={x|x>4},∴-3≤m≤4,故選B.(3)集合B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2},由A∩B=B可得B?A,作出數(shù)軸如圖,可知a≥2.故選D.突破技巧根據(jù)集合的運算結(jié)果求參數(shù)值或范圍的方法(1)將集合中的運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個集合之間的關(guān)系.若集合中的元素能一一列舉,則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系,若集合中的元素是用不等式(組)表示的,則一般利用數(shù)軸解決,要注意端點值能否取到;(2)將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問題求解;(3)根據(jù)求解結(jié)果來確定參數(shù)的值或取值范圍.對點訓練4(1)(2021江西上饒高三聯(lián)考)設(shè)集合A={x∈Z|0<x<5},B={x|a<x<5},若A∩B={2,3,4},則a的取值范圍是(

)A.(1,2) B.(1,2] C.[1,2) D.[1,2](2)(2021海南?？诟呖颊{(diào)研)設(shè)集合A={x|x2-9≤0},B={x|3x+a≥0},且A∩B={x|1≤x≤3},則a=(

)A.-1 B.