第二節(jié)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

第二節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性第四章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)固本增分研考點精準突破課標解讀1.結(jié)合實例,借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;對于多項式函數(shù),能求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.能夠利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題.強基礎(chǔ)固本增分微點撥

討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實質(zhì)是解不等式,求解時,要堅持“定義域優(yōu)先”原則.函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

不等式中不帶“=”

(1)如果在區(qū)間(a,b)內(nèi),f'(x)>0,則曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)對應(yīng)的那一段上每一點處切線的斜率都

大于0

,曲線呈

上升

狀態(tài),因此f(x)在(a,b)上是

增

函數(shù);不等式中不帶“=”(2)如果在區(qū)間(a,b)內(nèi),f'(x)<0,則曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)對應(yīng)的那一段上每一點處切線的斜率都

小于0

,曲線呈

下降

狀態(tài),因此f(x)在(a,b)上是

減

函數(shù).

常用結(jié)論1.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減)的充要條件是?x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)的任何子區(qū)間上都不恒為零.2.導(dǎo)數(shù)的絕對值與函數(shù)值變化的關(guān)系一般地,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大,那么這個函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快,這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數(shù)的圖象就比較“平緩”.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)恒有f'(x)≤0,且f'(x)=0的根為有限個,則f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.(

)2.函數(shù)f(x)=sinx-x在R上單調(diào)遞減.(

)3.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上變化得越快,其導(dǎo)數(shù)就越大.(

)√√×題組二

雙基自測4.

函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間是

.

答案

(-∞,0)和(0,+∞)研考點精準突破考點一研究不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性答案

(1)B

(2)(π+2kπ,2π+2kπ),k∈Z

(2kπ,π+2kπ),k∈Z令f'(x)>0,則2sin

x<0,得π+2kπ<x<2π+2kπ,k∈Z,令f'(x)<0,則2sin

x>0,得2kπ<x<π+2kπ,k∈Z,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(π+2kπ,2π+2kπ),k∈Z,單調(diào)遞減區(qū)間是(2kπ,π+2kπ),k∈Z.規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的3種方法

導(dǎo)函數(shù)不等式可解時解不等式f'(x)>0或f'(x)<0求出單調(diào)區(qū)間方程f'(x)=0可解時解出方程的實根,按實根把函數(shù)的定義域劃分成若干個區(qū)間,確定各區(qū)間內(nèi)f'(x)的符號,從而確定單調(diào)區(qū)間導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解時根據(jù)f'(x)的結(jié)構(gòu)特征,利用其圖象與性質(zhì)確定f'(x)的符號,從而確定單調(diào)區(qū)間對點訓(xùn)練若曲線

在點(1,f(1))處的切線過點(-1,0),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.(-∞,0)B.(0,+∞)和(-1,0)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(-∞,-1)和(-1,0)答案

D考點二討論含參函數(shù)的單調(diào)性例題已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(a+2)x+2(a為常數(shù)).(1)若f(x)在(1,f(1))處的切線與直線x+3y=0垂直,求a的值;(2)若a>0,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.規(guī)律方法

分類討論思想解決含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性問題利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,基本策略是分類討論,注意以下幾點:(1)注意確定函數(shù)的定義域,在定義域的限制條件下研究單調(diào)區(qū)間;(2)注意觀察f'(x)的表達式(或其中的某一部分、某個因式等)的取值是否恒為正(或恒為負),這往往是分類討論的出發(fā)點;(3)注意結(jié)合解含參數(shù)不等式中分類討論的一些常用方法,例如:對二次項系數(shù)正負的討論,對判別式Δ的討論,對根的大小比較的討論等;(4)分類討論要做到不重不漏,同時還要注意對結(jié)果進行綜述.考點三與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究預(yù)測)考向1辨析圖象例題

(2023·東北師大附中高三檢測)已知函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖所示,且f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則(

)A.f'(-1)=f'(-2)<0<f'(1)<f'(2)B.f'(2)<f'(1)<0<f'(-1)=f'(-2)C.0>f'(2)>f'(1)>f'(-1)=f'(-2)D.f'(2)<f'(1)<0<f'(-2)<f'(-1)答案

B解析

由函數(shù)圖象可知,當x≤0時,函數(shù)y=f(x)勻速遞增,故f'(x)是一個大于0的常數(shù).當x>0時,函數(shù)y=f(x)遞減,且遞減幅度越來越快,∴f'(x)<0,且y=f'(x)單調(diào)遞減,則f'(2)<f'(1)<0<f'(-1)=f'(-2).規(guī)律方法

利用單調(diào)性辨析函數(shù)圖象的策略辨析函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)系時,要抓住各自的關(guān)鍵要素,對于原函數(shù),要重點考察其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)上升或下降,而對于導(dǎo)函數(shù),則應(yīng)考察其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零、小于零,并考察這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致.考向2比較大小與解不等式例題(2022·新高考Ⅰ,7)設(shè)a=0.1e0.1,b=,c=-ln0.9,則(

)A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<b答案

C規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的方法利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式,其關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),把比較大小和解不等式問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性比較大小和解不等式問題.比較大小時,還要注意當自變量不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)時,應(yīng)先利用函數(shù)的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,再進行比較;解不等式時,還要注意將常數(shù)巧妙地轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,再根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“f”.對點訓(xùn)練(2022·山東濟南一模)設(shè)a=2022·ln2020,b=2021ln2021,c=2020ln2022,則下列選項正確的是(

)A.a>c>b B.c>b>aC.b>a>c D.a>b>c答案

D考向3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或參數(shù)范圍)例題若函數(shù)h(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在[1,4]上單調(diào)遞減,則a的取值范圍為

.

引申探究1(變條件)若本例條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)在[1,4]上單調(diào)遞增”,則a的取值范圍為

.

答案

(-∞,-1]引申探究2(變條件)若本例條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)在(1,4)上不單調(diào)”,則a的取值范圍為

.

規(guī)律方法

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的類型及解法

1已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),f(x)中含參數(shù)轉(zhuǎn)化為f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到2已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),I中含參數(shù)先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,再令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集,建立