第一節(jié)　平面向量的概念及線性運算

第一節(jié)平面向量的概念及線性運算第七章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)固本增分研考點精準突破課標解讀1.通過力和力的分析等實例,了解向量的實際背景,理解平面向量和相等向量的含義,理解向量的幾何表示.2.通過實例,掌握向量的加、減運算,并理解其幾何意義.3.通過實例,掌握向量的數(shù)乘運算,并理解其幾何意義,以及兩個向量共線的含義.4.理解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.強基礎(chǔ)固本增分1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注相等向量大小

相等

、方向

相同

的向量

兩向量只有相等或不相等,不能比較大小兩個向量平行(共線)如果兩個

非零

向量的方向相同或相反,則稱這兩個向量平行.兩個向量平行也稱為兩個向量共線

規(guī)定零向量與任一向量平行(共線)相反向量給定一個向量,把與這個向量方向

相反

、大小

相等

的向量稱為它的相反向量

零向量的相反向量仍是零向量微點撥1.注意0與0的區(qū)別,0是一個向量,0是一個實數(shù),且|0|=0,一個向量是零向量的充要條件是其模等于0.2.單位向量有無數(shù)個,它們的模相等,都等于1,但方向不一定相同.微思考

向量平行與直線平行有何不同?提示

向量平行與向量共線是完全相同的一個概念,指兩個向量的方向相同或相反,亦即向量所在的直線可以平行,也可以重合;但直線平行不包含直線重合的情況.2.向量的加法

(2)向量求和的法則

(3)向量a,b的模與a+b的模之間滿足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.(4)向量加法的運算律①交換律:a+b=

b+a

.②結(jié)合律:(a+b)+c=

a+(b+c)

.

(5)多個向量相加已知n個向量,依次把這n個向量

首尾相接

,以第一個向量的始點為始點,第n個向量的終點為終點的向量,稱為這n個向量的和向量.

3.向量的減法(1)定義:一般地,平面上任意給定兩個向量a,b,如果向量x能夠滿足b+x=a,則稱x為向量a與b的差,并記作

x=a-b

.

4.數(shù)乘向量(1)數(shù)乘向量的定義一般地,給定一個實數(shù)λ與任意一個向量a,規(guī)定它們的乘積是一個

向量

,記作λa,其中:

(ⅰ)當λ≠0且a≠0時,λa的模為

|λ||a|

,而且λa的方向如下:

①當λ>0時,與a的方向

相同

;

②當λ<0時,與a的方向

相反

.

(ⅱ)當λ=0或a=0時,λa=

0

.

實數(shù)λ與向量a相乘的運算簡稱為數(shù)乘向量.(2)數(shù)乘向量的定義說明如果存在實數(shù)λ,使得b=λa,則b∥a.(3)數(shù)乘向量的幾何意義數(shù)乘向量的幾何意義是,把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小.特別地,一個向量的相反向量可以看成-1與這個向量的乘積,即-a=(-1)a.(4)數(shù)乘向量的運算律設(shè)λ,μ為實數(shù),則λ(μa)=(λμ)a;特別地,我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).5.向量的運算律一般地,對于實數(shù)λ與μ,以及向量a,有(1)λ(μa)=

(λμ)a

;(2)λa+μa=

(λ+μ)a

;(3)λ(a+b)=

λa+λb

.

6.共線向量基本定理如果a≠0且b∥a,則存在唯一一個實數(shù)λ,使得

b=λa

.

微點撥

三點共線的幾個等價關(guān)系

微思考

共線向量定理中為什么規(guī)定a≠0?提示

(1)若將條件a≠0去掉,即當a=0時,顯然a與b共線;(2)當a=0時,若b≠0,則不存在實數(shù)λ,使得b=λa,但此時向量a與b共線;(3)當a=0時,若b=0,則對任意實數(shù)λ,都有b=λa,與有唯一一個實數(shù)λ矛盾.常用結(jié)論

自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)√××題組二

雙基自測4.

已知e1,e2是兩個不共線的向量,a=e1-2e2,b=2e1+ke2.若a與b是共線向量,則實數(shù)k的值為

.

答案

-4研考點精準突破考點一平面向量的概念題組(1)(2023·山東煙臺高三月考)下列說法正確的是(

)A.若a,b都是單位向量,則a=bB.若存在實數(shù)λ,μ,使得a=λb,c=μb,則a∥cC.與非零向量a共線的單位向量是唯一的D.若存在實數(shù)λ,μ滿足λa=μb,則a與b共線(2)(多選)(2023·河南鄭州高三月考)若a,b均為非零向量,則

成立的一個充分條件是(

)A.a∥b

B.b=-2aC.|a-b|=|a|+|b| D.a·b=-|a||b|答案

(1)B

(2)BCD規(guī)律方法

關(guān)于平面向量概念的幾個注意點(1)單位向量不一定相等.(2)向量的相等具有傳遞性,非零向量的平行(共線)具有傳遞性.(3)表示與a同向的單位向量.(4)向量可以任意平移,平移后的向量與原向量是相等向量.考點二平面向量的線性運算(多考向探究預(yù)測)考向1線性運算

A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3nA.1 B.2 C.3 D.4答案

(1)B

(2)C規(guī)律方法

平面向量的線性運算的求解策略

答案

D考向2線性運算的幾何意義

答案

D引申探究(變條件變結(jié)論)本例中,其他條件不變,將“x=-”變?yōu)椤皔=”,則x的取值范圍是

.

規(guī)律方法

對點訓練(2023·福建廈門高三月考)若a,b為非零向量,且滿足|2a+3b|=|2a-3b|,則(

)A.3|a|=2|b| B.a∥bC.a⊥b

D.2|a|=3|b|答案

C解析

由于|2a+3b|=|2a-3b|,作

,則以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線長度相等,所以該平行四邊形為矩形,所以2a⊥3b,因此a⊥b.故選C.考點三共線向量基本定理及其應(yīng)用答案

(1)A

(2)D規(guī)律方法

利用共線向量基本定理解題的方法(1)若b≠0,則a∥b?a=λb是判斷兩個向量共線的主要依據(jù),注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線,即A,B,C