第十章-損失分布課件

風險管理講義

2023/8/81風險管理講義

2023/7/311

第八章?lián)p失分布引言第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計基本概念第二節(jié)常用損失分布及性質(zhì)第三節(jié)獲得損失分布的一般過程2023/8/82

第八章?lián)p失分布引言2023/7/312第八章?lián)p失分布1、損失分布建立在概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎上2、常用描述風險損失分布：

二項分布；幾何分布；泊松分布；負二項分布；正態(tài)分布3、獲得損失分布方法：經(jīng)典統(tǒng)計法、貝葉斯方法、隨機模擬法2023/8/83第八章?lián)p失分布1、損失分布建立在概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎上2引言風險管理措施依賴于事先對風險做出定量預測，預測的結(jié)果就是損失分布。風險是未來的不確定性，無法用一個數(shù)值描述，只能用匯總所有結(jié)構(gòu)及其發(fā)生概率的概率分布來描述。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是基礎與關(guān)鍵。2023/8/84引言風險管理措施依賴于事先對風險做出定量預測，預測的結(jié)果就是第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念1、隨機事件與樣本空間定義：廣義從某一研究目的出發(fā)，對隨機現(xiàn)象進行觀察或測量的過程均可稱為隨機試驗。一個過程的結(jié)果的某種集合稱為一個事件，無法再分解為更簡單成分的結(jié)果或事件稱為基本事件。隨機試驗的結(jié)果也稱隨機事件。隨機試驗的所有基本事件的集合稱為此試驗的樣本空間，其中每一個結(jié)果稱為樣本點。2023/8/85第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念202第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念2、概率的定義一般地，概率用P表示，事件用A，B或C表示，P（A）就表示事件A發(fā)生的概率。定義：古典概率（結(jié)果發(fā)生必須是等可能的）：假設一個試驗包括n種不同的基本事件，這些基本事件發(fā)生的可能性都是相同的。如果在這n個結(jié)果種，有m種屬于事件A，那么P（A）=m/n2023/8/86第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念202第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念定義：概率的統(tǒng)計定義：將一個試驗在相同條件下重復n次，假設事件A出現(xiàn)了m次。當試驗的重復次數(shù)足夠多時，事件A發(fā)生的概率可以用事件A發(fā)生的頻率來近似，即P（A）=m/n2023/8/87第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念202第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念定義：主觀概率：事件A的概率P（A）是基于相關(guān)環(huán)境知識，通過對它的值進行猜想或估計計算出的。我們主觀估計的概率與實際概率存在很大不同。見案例！2023/8/88第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念202第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念如果你做一個深呼吸，你有超過99%機會吸入凱撒垂死時呼出的最后一口氣的分子。如果蘇格拉底致命的鐵杯里裝滿了很多水，那么你喝下一杯水中就有可能含有一個同樣的水分子。在一個班里25名同學中，有超過50%可能性，至少有2個學生的生日是在同一天。2023/8/89第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念如果你做一個深呼吸，你有第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念2023/8/810第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念2023/7/3110蘇格拉底小故事蘇格拉底雖是古希臘一位偉大的哲學家和教育家，但他自己一篇著作也沒有留下，我們只能從他的學生如柏拉圖、色諾芬等人的著作中了解他的言行和思想。這一點頗像我國古代偉大的哲學家、教育家孔子?？鬃右簧彩恰笆龆蛔鳌?，沒有留下任何著作?！墩撜Z》這部著作要是他的弟子和他的再傳弟子們將他一生的言行整理、匯集成。2023/8/811蘇格拉底小故事蘇格拉底雖是古希臘一位偉大的哲學家和教育家，但第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念3、概率的運算規(guī)則（1）加法：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）如果A和B是互斥的，那么P（A+B）=P（A）+P（B）（2）乘法：P（AB）=P（A）P（B\A）條件概率P（B\A）=P（AB）/P（A）如果A和B是獨立的，那么

P（AB）=P（A）P（B）2023/8/812第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念202例2.甲、乙兩人先后從52張牌中各抽取13張,求甲或乙拿到4張A的概率.1)甲抽后不放回，乙再抽;2)甲抽后將牌放回，乙再抽.

1)A、B互斥P(A+B)=P(A)+P(B)解：設A={甲拿到4張A}，B={乙拿到4張A}所求為P(A+B)計算P(A)和P(B)時用古典概型2023/8/813例2.甲、乙兩人先后從52張牌中各抽取13張,求甲或乙拿到2)A、B相容P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)解：設A={甲拿到4張A}，

B={乙拿到4張A}所求為P(A+B)2023/8/8142)A、B相容P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，

B={擲出偶數(shù)點}，P(A|B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3個元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個在集A中，容易看到P(A|B)2023/8/815P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，注意P(AB)與P(A|B)的區(qū)別！請看下面的例子2023/8/816注意P(AB)與P(A|B)的區(qū)別！請看下面的例子202例2

甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個零件中，有189個是標準件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產(chǎn)的標準件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個189個是標準件300個乙廠生產(chǎn)300個乙廠生產(chǎn)設B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標準件}2023/8/817例2甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生所求為P(AB).設B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標準件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標準件的概率是多少?”求的是P(A|B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000個189個是標準件300個乙廠生產(chǎn)2023/8/818所求為P(AB).設B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標準件}第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念3、概率的運算規(guī)則（3）全概率公式與貝葉斯公式全概率公式用于某一事件的概率的計算。如果事件組滿足：①A1，A2，…An兩兩互斥，且P（Ai）>0（i=1，…，n）；②A1+A2+…+An=U（U為整個樣本空間），則對任何一事件B皆有2023/8/819第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念202第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念貝葉斯：當我們對一個事件知道更多時，概率應該被修正。表示A的補，2023/8/820第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念202第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念4、隨機變量與概率分布定義：一個隨機變量是指這樣一個便利，對于過程中的每個結(jié)果，都有一個由可能性決定的唯一的數(shù)值與之對應。如果變量的數(shù)值有限或可數(shù)，則稱這個隨機變量為一個離散隨機變量。如果一個隨機變量有無限多取值，這些數(shù)值能夠和一種沒有間斷的連續(xù)刻度的度量聯(lián)系起來，則稱這種隨機變量為連續(xù)隨機變量。一個概率分布（probabilitydistribution）表示隨機變量每個值的概率圖、表或公式。2023/8/821第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念202第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念5、隨機變量的數(shù)字特征期望值（expectedvalue）：如果隨機試驗無限重復下去，我們所期望得到的平均值。方差（variance）：表示隨機變量取值與其期望值偏離程度。定義：離散隨機變量X的期望值其中是隨機變量X的第i個取值，2023/8/822第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念202第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念連續(xù)隨機變量X的期望值為隨機變量X的取值，為隨機變量X的概率密度函數(shù)。連續(xù)隨機變量用函數(shù)形式表示概率分布稱為概率密度函數(shù)離散隨機變量X的方差隨機變量X的期望值。2023/8/823第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念202第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念連續(xù)隨機變量X的期望值2023/8/824第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、概率論基本概念202第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念1、統(tǒng)計推斷：從一般到具體方法稱為演繹法，是概率論的研究方法。從具體到一般方法稱為歸納法，是數(shù)理統(tǒng)計研究方法。抽取樣本觀察，整理分析判斷，得出一般結(jié)論---統(tǒng)計推斷數(shù)理統(tǒng)計作用提供歸納推斷方法，并對推斷結(jié)論可信度做出計量2023/8/825第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念20第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念2、總體、樣本與分布定義：按照統(tǒng)計研究目的而確定的同類事物或出現(xiàn)現(xiàn)象的全體稱為總體，它是個體或特體性質(zhì)的集合。樣本（sample）指從總體中抽取若干個元素而構(gòu)成的集體。數(shù)理統(tǒng)計中，一般采用概率抽樣，即每個單位都有指定概率被選中，便于基于概率論推斷總體。2023/8/826第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念20第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念總體的數(shù)值分布的規(guī)律稱為總體分布，其中的特征數(shù)稱為參數(shù)。從總體中抽取容量為n的樣本，樣本觀察值的分布稱為經(jīng)驗分布。使用樣本數(shù)據(jù)來估計總體參數(shù)的公式或過程稱為估計量。用來近似總體參數(shù)的特征數(shù)值或數(shù)值的范圍稱為估計值。樣本數(shù)據(jù)平均值稱為樣本均值，樣本數(shù)據(jù)的方差和標準差分別稱為樣本方差和樣本均方差。2023/8/827第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念20第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念3、偏態(tài)定義：將數(shù)據(jù)按照大小依次排列，處于中間位置的數(shù)值稱為中位數(shù)，出現(xiàn)最多的那個數(shù)值稱為眾數(shù)。如果數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)和眾數(shù)三者是相同的，則這個分布是對稱分布，沒有偏態(tài)。如果一個分布的眾數(shù)小于中位數(shù)，則稱其為正偏或右偏，反之稱為負偏或左偏。2023/8/828第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念20第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念正偏負偏2023/8/829第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念正偏負偏2023/7/第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念4、相關(guān)定義：當兩個變量中的一個以某種方式和另一個有關(guān)時，就稱這兩個變量之間是相關(guān)的。相關(guān)性可以相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）來度量。線性相關(guān)系數(shù)r（皮爾森積距相關(guān)系數(shù)）度量的是一個樣本中成對的x值和y值之間線性關(guān)系的程度，2023/8/830第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念20第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念其中，即隨機變量X和Y的標準差，稱為X和Y的協(xié)方差，2023/8/831第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念20第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念計算相關(guān)系數(shù)結(jié)論：

1、正相關(guān)是兩個隨機變量傾向于以相同方向變化，負相關(guān)指的是二者傾向于相反方向變化。

2、相關(guān)性不代表因果性?。ó斚嚓P(guān)系數(shù)大時，不能簡單認為x的變化引起y的變化，而唯一有效結(jié)論是：x和y之間也許存在某種線性趨勢，可能是與二者有因果關(guān)系的第三個變量在起作用。2023/8/832第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念二、數(shù)理統(tǒng)計基本概念20第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)1、二項分布(常用離散型概率分布)其模型:假設在n次獨立的重復試驗中，每次試驗只可能有兩種結(jié)果（1或0），設在每一次試驗中1出現(xiàn)的概率都是p2023/8/833第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)1、二項分布(常用離散型概率分第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)則隨機變量X的概率分布：二項分布的均值和方差：2023/8/834第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)則隨機變量X的概率分布：202例3

已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.解:因為這是有放回地取3次，因此這3次試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努里試驗.依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設X為所取的3個中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X~B(3,0.05)，2023/8/835例3已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中解:因為這是例4

某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率是0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.解:設X為三個燈泡在使用1000小時已壞的燈泡數(shù).X~B(3,0.8)，把觀察一個燈泡的使用時數(shù)看作一次試驗,“使用到1000小時已壞”視為“成功”.每次試驗,“成功”的概率為0.8

P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.1042023/8/836例4某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上解:設X為三個燈泡第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)2、幾何分布

其模型：考慮只有兩個結(jié)果的獨立重復隨機變量試驗序列，指定結(jié)果發(fā)生的概率為p，則首次出現(xiàn)指定結(jié)果所需的試驗次數(shù)X的概率分布：2023/8/837第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)2、幾何分布

其模型：考慮只有第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)幾何分布的均值和方差：2023/8/838第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)幾何分布的均值和方差：2023第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)3、泊松分布（近似二項）其模型：法國數(shù)學家泊松二項近似引入。只有兩個結(jié)果的n次獨立重復隨機試驗，當n很大，且指定結(jié)果發(fā)生概率p很小，且np適中，泊松是很好近似。一般應用：1、泊松在描述稀有事件出現(xiàn)概率特別有用。2、描述單位時間內(nèi)或指定范圍內(nèi)特定事件出現(xiàn)次數(shù)的統(tǒng)計規(guī)律2023/8/839第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)3、泊松分布（近似二項）202第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)3、泊松分布：如果隨機變量X取值為0,1,2,…,則概率分布，記為泊松分布的均值和方差：2023/8/840第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)3、泊松分布：2023/7/3第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)3、泊松分布：

例：有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設每輛汽車,在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?

解：設1000輛車通過,出事故的次數(shù)為X,則X~b（1000,0.0001）,可利用泊松定理計算,λ=1000×0.0001=0.1P｛X≥2｝≈1-e^(-0.1)／0!-0.1×e^(-0.1)／1!=0.00472023/8/841第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)3、泊松分布：2023/7/3第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)4、負二項分布：其模型：進一步研究只有兩個結(jié)果的獨立重復隨機試驗序列，指定結(jié)果發(fā)生的概率為p，則指定結(jié)果第k次恰好出現(xiàn)在第x+k次試驗的概率為：記為NB（k，p）負二項分布的均值和方差：2023/8/842第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)4、負二項分布：2023/7/第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)5、正態(tài)分布（高斯分布）是常用連續(xù)型分布，風險事故造成的損失金額較好服從正態(tài)分布：若為兩個實數(shù)，則由下列密度函數(shù)確定隨機變量X的分布稱為正態(tài)分布：記為2023/8/843第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)5、正態(tài)分布（高斯分布）是常用第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)5、正態(tài)分布的均值和方差：當稱為標準正態(tài)分布，相應密度函數(shù)和分布函數(shù)專門記為：2023/8/844第二節(jié)常用的損失分布及性質(zhì)5、正態(tài)分布的均值和方差：20頻率分布直方圖數(shù)學情景2023/8/845頻率分布數(shù)學情景2023/7/3145第一步：分組確定組數(shù)，組距？2023/8/846第一步：分組確定組數(shù)，組距？2023/7/3146區(qū)間號區(qū)間頻數(shù)頻率累積頻率頻率/組距1153.5~157.550.05950.05950.0152157.5~161.580.09520.15470.0243161.5~165.5100.11900.27380.0304165.5~169.5150.17860.45340.0455169.5~173.5180.21430.66670.0546173.5~1775180.17860.84520.0457177.5~181.580.09520.94050.0248181.5~185.550.059510.015第二步：列出頻率分布表2023/8/847區(qū)間號區(qū)間頻數(shù)頻率累積頻率頻率/組距1153.5~157.5xy頻率/組距中間高，兩頭低，左右大致對稱第三步：作出頻率分布直方圖2023/8/848xy頻率/組距中間高，兩頭低，左右大致對稱第三步：作出頻率分頻率組距產(chǎn)品尺寸（mm）ab若數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率分布直方圖的頂邊縮小乃至形成一條光滑的曲線，我們稱此曲線為概率密度曲線．總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率概率密度曲線概率密度曲線的形狀特征．

“中間高，兩頭低，左右對稱”

知識點一：正態(tài)密度曲線2023/8/849頻率產(chǎn)品ab若數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那上圖中概率密度曲線具有“中間高，兩頭低”的特征，像這種類型的概率密度曲線,叫做“正態(tài)密度曲線”，它的函數(shù)表達式是知識點二：正態(tài)分布與密度曲線式中的實數(shù)、是參數(shù),分別表示總體的平均數(shù)與標準差.不同的對應著不同的正態(tài)密度曲線)0(>ss2023/8/850上圖中概率密度曲線具有“中間高，兩頭低”的特征，像正態(tài)密度曲線σ＝0.5σ＝1σ＝2μ一定Oｘ2023/8/851正態(tài)密度曲線σ＝0.5σ＝1σ＝2μ一定Oｘ2023/7/3(1)曲線在x軸上方,與x軸不相交.(2)曲線關(guān)于直線x=μ對稱.(3)在x=μ時位于最高點.(4)當x<μ時,曲線上升;當x>μ時,曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近。σ＝0.5σ＝1σ＝2μ一定Oｘ正態(tài)曲線的性質(zhì)2023/8/852(1)曲線在x軸上方,與x軸不相交.σ＝0.5σ＝1σ＝2μ(5)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定。σ越大，曲線越“扁平”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“尖陡”，表示總體的分布越集中σ＝0.5σ＝1σ＝2μ一定Oｘ正態(tài)曲線的性質(zhì)2023/8/853σ＝0.5σ＝1σ＝2μ一定Oｘ正態(tài)曲線的性質(zhì)2023/7/當μ＝0，σ＝1時，正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體，其相應的函數(shù)表達式是

其相應的曲線稱為標準正態(tài)曲線。標準正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要地位。任何正態(tài)分布的問題均可轉(zhuǎn)化成標準總體分布的概率問題。知識點六：標準正態(tài)曲線2023/8/854當μ＝0，σ＝1時，正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體，其相應的函數(shù)表（1）在生產(chǎn)中，各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標一般都服從正態(tài)分布；（2）在測量中，測量結(jié)果、測量的隨機誤差都服從正態(tài)分布；（3）在生物學中，同一群體的某種特征都服從正態(tài)分布；（4）在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等都服從正態(tài)分布。知識點四：正態(tài)分布的意義2023/8/855（1）在生產(chǎn)中，各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標一般都服從正態(tài)分布；知識點標準正態(tài)總體N(0,1)的概率問題:就是圖中陰影區(qū)域A的面積

由于標準正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，已專門制作了“標準正態(tài)分布表”見p110。A該區(qū)域的面積表示？又該如何計算呢2023/8/856標準正態(tài)總體N(0,1)的概率問題:就是圖中陰影2023/8/8572023/7/31572023/8/8582023/7/31582023/8/8592023/7/31592023/8/8602023/7/31602023/8/8612023/7/3161參數(shù)估計2-1參數(shù)的點估計參數(shù)的區(qū)間估計點估計的評判標準2023/8/862參數(shù)估計2-1參數(shù)的點估計參數(shù)的區(qū)間估計點估計的評判標準20什么是參數(shù)估計？參數(shù)是刻畫總體某方面概率特性的數(shù)量.當此數(shù)量未知時,從總體抽出一個子樣，用某種方法對這個未知參數(shù)進行估計就是參數(shù)估計.例如，X~N(,2),

點估計區(qū)間估計若,2未知,通過構(gòu)造樣本的函數(shù),給出它們的估計值或取值范圍就是參數(shù)估計的內(nèi)容.2023/8/863什么是參數(shù)估計？參數(shù)是刻畫總體某方面概率特性的數(shù)量.當此數(shù)量參數(shù)估計的類型點估計——估計未知參數(shù)的值區(qū)間估計——估計未知參數(shù)的取值范圍，并使此范圍包含未知參數(shù)真值的概率為給定的值.2023/8/864參數(shù)估計的類型點估計——估計未知參數(shù)的值區(qū)間估計——2§2.1點估計方法常用的點估計方法介紹

頻率替換法利用事件A

在n

次試驗中發(fā)生的頻率作為事件A

發(fā)生的概率p

的估計量2023/8/865§2.1點估計方法常用的點估計方法介紹頻率替換法利用事例1

設總體X~N(,2

),在對其作28次

獨立觀察中,事件“X<4”出現(xiàn)了21次,試用頻率替換法求參數(shù)的估計值.解

由查表得于是的估計值為2023/8/866例1設總體X~N(,2),在對其作方法用子樣

k

階原點矩作為總體

k

階原點矩的估計量,建立含有待估參數(shù)的方程,從而解出待估參數(shù)一般,不論總體服從什么分布,總體期望

與方差2存在,則它們的矩估計量分別為

矩法2023/8/867方用子樣k階原點矩作為總體k階原點矩的估計量,事實上，按矩法原理，令2023/8/868事實上，按矩法原理，令2023/7/3168例2設從某燈泡廠某天生產(chǎn)的燈泡中隨機抽取10只燈泡，測得其壽命為(單位:小時)1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200試用矩法估計該天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命及壽命分布的方差.解2023/8/869例2設從某燈泡廠某天生產(chǎn)的燈泡中隨機解2023/7/31例3設總體X~E(),X1,X2,…,Xn為總體的樣本,求的矩法估計量.解令故例4設總體X~U(a,b),a,b未知,求參數(shù)

a,b

的矩法估計量.解由于2023/8/870例3設總體X~E(),X1,X2,…,Xn為令解得2023/8/871令解得2023/7/3171例5設總體X~解,其密度函數(shù)為求和的矩估計量.令2023/8/872例5設總體X~解,其密度函數(shù)為求和令解得2023/8/873令解得2023/7/3173一般,設待估計的參數(shù)為總體的

r

階矩記為子樣X1,X2,…,Xn的r階矩為令解上述方程組,得k

個統(tǒng)計量：未知參數(shù)

1,,k

的矩估計量2023/8/874一般,設待估計的參數(shù)為總體的r階矩記為子樣X1,X最大似然估計法思想方法：一次試驗就出現(xiàn)的事件有較大的概率例如:有兩外形相同的箱子,各裝100個球一箱99個白球1個紅球一箱1個白球99個紅球現(xiàn)從兩箱中任取一箱,并從箱中任取一球,結(jié)果所取得的球是白球.答:第一箱.問:所取的球來自哪一箱？2023/8/875最大似然估計法思想方法：一次試驗就出現(xiàn)的例如:有兩外例6設總體X服從0-1分布,且P(X=1)=p,

用最大似然法求

p

的估計值.解總體X的概率分布為設x1,x2,…,xn為總體樣本X1,X2,…,Xn的樣本值,則2023/8/876例6設總體X服從0-1分布,且P(X=1)=對于不同的p,L(p)不同,見右下圖現(xiàn)經(jīng)過一次試驗，發(fā)生了，事件則

p

的取值應使這個事件發(fā)生的概率最大.2023/8/877對于不同的p,L(p)不同,見右下圖現(xiàn)經(jīng)過一次試驗在容許范圍內(nèi)選擇

p，使L(p)最大注意到，lnL(p)是L的單調(diào)增函數(shù),故若某個p

使lnL(p)最大,則這個p必使L(p)最大。所以為所求p的估計值.2023/8/878在容許范圍內(nèi)選擇p，使L(p)最大注意到，一般,設X為離散型隨機變量,其分布律為則樣本X1,X2,…,Xn的概率分布為或稱L()為樣本的似然函數(shù)2023/8/879一般,設X為離散型隨機變量,其分布律為則樣本X1,稱這樣得到的為參數(shù)的極大似然估計值稱統(tǒng)計量為參數(shù)的極大似然估計量MLE簡記mle簡記L()選擇適當?shù)?,使取最大值,即最大似然法的思想2023/8/880稱這樣得到的為參數(shù)的極大似然估計值稱統(tǒng)計量為若X

連續(xù),取f(xi,)為Xi

的密度函數(shù)似然函數(shù)為注1注2未知參數(shù)可以不止一個,如1,…,k

設X

的密度(或分布)為則定義似然函數(shù)為2023/8/881若X連續(xù),取f(xi,)為Xi的密度函數(shù)似然若關(guān)于1,…,k可微,則稱為似然方程組若對于某組給定的樣本值x1,x2,…,xn，參數(shù)使似然函數(shù)取得最大值,即則稱為1,…,k

的極大似然估計值2023/8/882若關(guān)于1,…,k可微,則稱為似然方程組若對于某組給定例7設總體X~N(,2),x1,x2,…,xn是

X

的樣本值,求,2的極大似然估計.解2023/8/883例7設總體X~N(,2),x1,x2

,2的最大似然估計量分別為似然方程組為2023/8/884,2的最大似然估計量分別為似然2023/7/31最大似然估計步驟1）寫出似然函數(shù)L2）求出,使得可得未知參數(shù)的最大似然估計值若L可微,解似然方程組若L不可微,需用其它方法求最大似然估計值.請看下例：2023/8/885最大似然估計步驟1）寫出似然函數(shù)L2）求出,使得可得例8設X~U(a,b),x1,x2,…,xn是

X

的一個樣本值,求

a,b的極大似然估計值與極大似然估計量.解X的密度函數(shù)為似然函數(shù)為2023/8/886例8設X~U(a,b),x1,x2,…,x似然函數(shù)只有當a<xi<b,i=1,2,…,n時才能獲得最大值,且a越大,b越小,L越大.令xmin=min{x1,x2,…,xn}xmax=max{x1,x2,…,xn}取則對滿足的一切a<b,都有2023/8/887似然函數(shù)只有當a<xi<b,i=1,2,…,故是a,b的極大似然估計值.分別是a,b的極大似然估計量.問題1)待估參數(shù)的極大似然估計是否一定存在?2)若存在,是否惟一?2023/8/888故是a,b的極大似然估計值.分別是a,b的極設X~U(a–?,a+?),x1,x2,…,xn是

X的一個樣本,求

a的極大似然估計值.解由上例可知,當時,L

取最大值1,即顯然,a

的極大似然估計值可能不存在,也可能不惟一.例92023/8/889設X~U(a–?,a+不僅如此,任何一個統(tǒng)計量若滿足都可以作為

a

的估計量.2023/8/890不僅如此,任何一個統(tǒng)計量若滿足都可以作為a的估計量.極大似然估計的不變性設是的極大似然估計值,u()()是的函數(shù),且有單值反函數(shù)=(u),uU則是u()的極大似然估計值.2023/8/891極大似然估計的不變性設是的極大似然估計值,u如在正態(tài)總體N(,2)中,2的極大似然估計值為是2的單值函數(shù),且具有單值反函數(shù)，故的極大似然估計值為lg的極大似然估計值為2023/8/892如在正態(tài)總體N(,2)中,2的極大是2的

特殊方法（對正態(tài)總體參數(shù)的特殊估計）用子樣中位數(shù)作為總體期望的估計用子樣極差的函數(shù)作為總體均方差的估計值查表2-1（P.41）2023/8/893特殊方法（對正態(tài)總體參數(shù)的特殊估計）用子樣中位數(shù)作為總體設若是的中位數(shù),則對任意有近似即當較大時，近似所以，當較大時可取定理2023/8/894設若是的中位數(shù),則對任意有近似即當較大時，近似所以，當設總體為子樣極差，則由上可見：估計產(chǎn)生平均平方誤差為用標準差為其系數(shù)可查表2-1（P.41）2023/8/895設總體為子樣極差，則由上可見：估計產(chǎn)生平均平方誤差為用標準差當時,將子樣數(shù)據(jù)等分成若干組,每組數(shù)據(jù)不超過10個,取各組極差的平均然后用估計查時，取每一組中數(shù)據(jù)的個數(shù).2023/8/896當時,將子樣數(shù)據(jù)等分成若干組,每組數(shù)據(jù)不超過10個,取例10

設一批機器零件毛坯的重量服從正態(tài)分布,隨機抽取10件,得子樣(單位kg):

210,243,185,240,215,228,196,235,200,199解將子樣由小到大重排用不同方法估計總體的參數(shù)值.2023/8/897例10設一批機器零件毛坯的重量服從正態(tài)分布,隨機抽取10其中誤差誤差查表

2-12023/8/898其中誤差誤差查表2-12023/7/3198某班50名學生概率考試成績?nèi)缦拢?565808192637779549885726684836082786490817876866876737188876557468978668779847896886738677583826885例11若認為學生成績總體試用特殊方法估計總體的參數(shù)值.2023/8/899某班50名學生概率考試成績?nèi)缦拢?565808解1756580819263777954982857266848360827864903817876866876737188874655746897866877984785968867386775838268854430204358組成績將數(shù)據(jù)等分為5組.2023/8/8100解1756580819263

結(jié)論

一般矩法與最大似然法優(yōu)于特殊方法2023/8/8101結(jié)論一般矩法與最大似然法優(yōu)于特殊方法2023/第三節(jié)獲得損失分布的一般過程獲得損失分布方法總介紹：1、經(jīng)典統(tǒng)計法是指在數(shù)據(jù)相對完備的條件下，通過總體信息和樣本信息來確定損失的概率分布、估計其未知參數(shù)。2、貝葉斯方法采用先驗概率、損失函數(shù)等主觀信息來估計未知參數(shù)，估計損失的概率分布。3、隨機模擬應用計算機程序?qū)嶋H過程進行模擬，在模擬結(jié)果的基礎上對損失分布進行估算2023/8/8102第三節(jié)獲得損失分布的一般過程獲得損失分布方法總介紹：20第三節(jié)獲得損失分布的一般過程獲得損失分布的方法通常有經(jīng)典統(tǒng)計方法、貝葉斯統(tǒng)計方法和隨機模擬。一、經(jīng)典統(tǒng)計方法基于總體信息和樣本信息進行的統(tǒng)計推斷被稱為經(jīng)典統(tǒng)計學。其過程如下：（1）獲得損失分布的大體輪廓得出密度函數(shù)曲線（2）選擇分布類型（3）估計參數(shù)，確定概率分布：用矩法或極大似然法（4）對分布及參數(shù)進行檢驗：卡方檢驗2023/8/8103第三節(jié)獲得損失分布的一般過程獲得損失分布的方法通常有經(jīng)典第三節(jié)獲得損失分布的一般過程檢驗分布的擬合是否恰當，常用卡方檢驗。先把觀察數(shù)據(jù)排序，然后分為若干組，組數(shù)記為n。計算每一組的數(shù)據(jù)個數(shù)Oi，再用所選擇的概率分布計算每一組的“理論個數(shù)”Ei，則近似服從自由度為n-r-1的卡方分布，其中r為所選擇的概率分布中參數(shù)的個數(shù)。

2023/8/8104第三節(jié)獲得損失分布的一般過程檢驗分布的擬合是否恰當，常用第三節(jié)獲得損失分布的一般過程例10.5：p159設某投保人經(jīng)營某種車輛險，對過去發(fā)生的1000次理賠情況，平均理賠額為2200元，將個體理賠額分為5檔，個檔的數(shù)值范圍與次數(shù)見p159表試用卡方檢驗判斷是否能用指數(shù)分布模擬個體；理賠額的分布?2023/8/8105第三節(jié)獲得損失分布的一般過程例10.5：p1592023第三節(jié)獲得損失分布的一般過程解：如果用指數(shù)分布模擬個體理賠額的分布，就要估計指數(shù)分布的參數(shù)，由最大似然法可以估計出接下來計算：X2統(tǒng)計量的值為2023/8/8106第三節(jié)獲得損失分布的一般過程解：如果用指數(shù)分布模擬個體理第三節(jié)獲得損失分布的一般過程查表可以知道，在99.5%置信度下的臨界值為14.86，遠遠低于觀察值331.89，因而拒絕原假設，即選擇指數(shù)分布不恰當！2023/8/8107第三節(jié)獲得損失分布的一般過程查表可以知第三節(jié)獲得損失分布的一般過程二、貝葉斯方法經(jīng)典統(tǒng)計方法是建立在具有獨立性和代表性的樣本信息基礎上，但在風險管理實踐中，有時對損失分布的估計需要加入主觀判斷，并利用獲得的數(shù)據(jù)修正原來的估計的方法就是貝葉斯方法。2023/8/8108第三節(jié)獲得損失分布的一般過程二、貝葉斯方法2023/7/貝葉斯簡介貝葉斯是英國數(shù)學家.1702倫敦-1761年卒.1742年，貝葉斯被選為英國皇家學會會員.1763年，貝葉斯發(fā)表《論機會學說問題的求解》中，提出了一種歸納推理的理論，其中的“貝葉斯定理（或貝葉斯公式）”給出了在已知結(jié)果E后，對所有原因C計算其條件概率（后驗概率）的公式，可以看作最早的一種統(tǒng)計推斷程序，以后被一些統(tǒng)計學者發(fā)展為一種系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷方法，稱為貝葉斯方法.

貝葉斯方法是唯一合理的統(tǒng)計推斷方法的統(tǒng)計學者，形成數(shù)理統(tǒng)計學中的貝葉斯學派.如今在概率、數(shù)理統(tǒng)計學中以貝葉斯姓氏命名的有貝葉斯公式、貝葉斯風險、貝葉斯決策函數(shù)、貝葉斯決策規(guī)則、貝葉斯估計量、貝葉斯方法、貝葉斯統(tǒng)計等等.2023/8/8109貝葉斯簡介貝葉斯是英國數(shù)學家.1702倫敦-1761年卒.第三節(jié)獲得損失分布的一般過程二、貝葉斯方法貝葉斯統(tǒng)計起源于英國學者貝葉斯去世后發(fā)表的論文《論有關(guān)機遇問題求解》1、是否利用先驗信息是貝葉斯統(tǒng)計方法和經(jīng)典統(tǒng)計方法的主要區(qū)別。

2、貝葉斯方法重視已出現(xiàn)的樣本觀察值，對尚未發(fā)生的樣本觀察值不予考慮，與經(jīng)典統(tǒng)計不同。

2023/8/8110第三節(jié)獲得損失分布的一般過程二、貝葉斯方法2023/7/第三節(jié)獲得損失分布的一般過程二、貝葉斯方法先驗信息：貝葉斯方法中評估人的主觀判斷稱為先驗信息，主要來源于經(jīng)驗和歷史資料。在風險管理實踐中，難以獲得足夠樣本信息，或者現(xiàn)有樣本信息不符合對統(tǒng)計樣本的理論要求，此時，對損失分布的估計就需要加入評估人的主觀判斷，并利用新獲得的證據(jù)來修正原來的估計。

2023/8/8111第三節(jié)獲得損失分布的一般過程二、貝葉斯方法2023/7/第三節(jié)獲得損失分布的一般過程二、貝葉斯方法設損失變量X的分布函數(shù)為連續(xù)情形下相應的密度函數(shù)族為。估計的貝葉斯方法和經(jīng)典統(tǒng)計方法區(qū)別：貝葉斯將看做一個隨機變量。其步驟如下：1、選擇先驗分布2、確定似然函數(shù)3、確定參數(shù)的后驗分布4、選擇損失函數(shù)并估計參數(shù)2023/8/8112第三節(jié)獲得損失分布的一般過程二、貝葉斯方法2023/7/第三節(jié)獲得損失分布的一般過程1、選擇先驗分布設的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為和稱為先驗分布和先驗密度。他們建立在研究者額經(jīng)驗和知識基礎上，甚至是主觀判斷。2023/8/8113第三節(jié)獲得損失分布的一般過程1、選擇先驗分布2023/7第三節(jié)獲得損失分布的一般過程2、確定似然函數(shù)為了得到關(guān)于的進一步信息，針對損失變量X進行一些試驗或觀察。假設獲得的新信息的觀察值為，則在

的條件下，可構(gòu)造函數(shù)：2023/8/8114第三節(jié)獲得損失分布的一般過程2、確定似然函數(shù)2023/7第三節(jié)獲得損失分布的一般過程3、確定參數(shù)的后驗分布由貝葉斯公式可以得到的后驗分布。注意：對于離散分布總可以計算出分母，但連續(xù)分布通過分布族即共軛分布族。2023/8/8115第三節(jié)獲得損失分布的一般過程3、確定參數(shù)