語言統(tǒng)計(jì)第十章-F分布及其應(yīng)用課件

第十章F分布及其應(yīng)用第十章F分布及其應(yīng)用1第一節(jié)F分布第二節(jié)F分布的應(yīng)用——方差的同質(zhì)性檢驗(yàn)第三節(jié)F分布的應(yīng)用——方差分析一、為什么需要方差分析二、方差分析的條件三、單因素方差分析與多因素方差分析四、方差分析的基本原理五、單因素方差分析六、雙因素方差分析第一節(jié)F分布2第一節(jié)F分布F分布也是一種抽樣分布。F分布與方差有關(guān)。假如我們從一個(gè)正態(tài)總體中，或者從兩個(gè)方差相同的正態(tài)總休中，抽取兩個(gè)樣本，分別記為和，其方差則為和，我們再計(jì)算出兩個(gè)樣本的方差的比值。如果我們重復(fù)這一步驟，抽取多對樣本，那么就可以計(jì)算出多個(gè)F值。這些F值的分布是怎樣的呢？其分布為F分布。第一節(jié)F分布F分布也是一種抽樣分3

F分布為正偏態(tài)分布，它的形狀不是固定的，而是隨樣本的大小而變化。這里，“樣本大小”仍用“自由度”（df）的概念來表示。由于計(jì)算方差比值時(shí)涉及兩個(gè)樣本，所以自由度也涉及兩個(gè)樣本，具體來講，就是和，即在方差比值中作分子的樣本的容量減1和作分母的樣本的容量減1，分別記為和。隨著樣本容量的增大，分布偏態(tài)的程度越來越小，越來越接近正態(tài)分布。F分布為正偏態(tài)分布，它的形狀不是固定的，而是隨樣本的大4第二節(jié)F分布的應(yīng)用——方差的同質(zhì)性檢驗(yàn)

分布的應(yīng)用主要有兩類：一是檢驗(yàn)兩個(gè)樣本所來自的總體的方差是否相等，即檢驗(yàn)方差的同質(zhì)性；二是方差分析。F檢驗(yàn)，其過程如下：第一步：陳述零假設(shè)和備擇假設(shè)。在F檢驗(yàn)中，零假設(shè)為，而備擇假設(shè)的形式則要視所預(yù)測的差異的方向來定：如果是無方向的，則為（即雙尾檢驗(yàn)）；如果是有方向的，則為或（即單尾檢驗(yàn)）。第二節(jié)F分布的應(yīng)用——方差的同質(zhì)性檢驗(yàn)分布的應(yīng)用主要5

第二步：設(shè)定顯著水平。第三步：分別計(jì)算兩個(gè)樣本的方差第四步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值，即兩樣本方差的比值F，計(jì)算F值時(shí)，用較大的方差作分子，用較小的方差作分母，因而F值總是大于1。第五步：根據(jù)自由度（）以及所設(shè)定的顯著水平，從F分布中查出臨界值。第六步：比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值和臨界值。如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值等于或大于臨界值，則推翻零假設(shè)，表明總體方差有顯著的差異；否則，就接受零假設(shè)表明兩總體方差之間沒有顯著的差異（注意：“沒有顯著差異”不等于“沒有差異”），就方差而言，也可以說兩樣本來自同一個(gè)總體。第二步：設(shè)定顯著水平。6第三節(jié)F分布的應(yīng)用——方差分析

方差分析是F分布最重要的用途之一。方差分析比較復(fù)雜，常常需要使用專門的電腦統(tǒng)計(jì)軟件（如SPSS）。這里，我們只簡要討論一下方差分析的基本原理并舉例說明最簡單的方差分析的方法和應(yīng)用。一、為什么需要方差分析？簡單來講，方差分析是t檢驗(yàn)的一種特殊情況。檢驗(yàn)僅適用于檢驗(yàn)兩個(gè)樣本平均數(shù)之間的差異是否顯著。運(yùn)用方差分析，就可以把幾個(gè)樣本平均數(shù)同時(shí)加以比較，看看它們有沒有顯著差異。因而方差分析是語言研究中非常常用、非常重要的一個(gè)統(tǒng)計(jì)分析手段。第三節(jié)F分布的應(yīng)用——方差分析方差分析是F7二、方差分析的條件方差分析是一個(gè)參數(shù)檢驗(yàn)，必須滿足下列條件：（1）樣本為獨(dú)立樣本；（2）總體分布為正態(tài)；（3）總體方差相等。

其中，第三個(gè)條件可以放松一些，因?yàn)榧词箍傮w方差之間有些差異，如果各組的樣本容量大體相同，也不會對方差分析的結(jié)果造成大的影響，因?yàn)樵谶@種條件下，方差分析對方差同質(zhì)性的偏離不是很敏感。但是，如果樣本容量差別很大，而總體方差又不相同，就要謹(jǐn)慎了。二、方差分析的條件8

三、單因素方差分析與多因素方差分析方差分析分單因素方差分析與多因素方差分析。所謂“因素”，簡而言之，就是實(shí)驗(yàn)研究所涉及的自變量。比如，我們要研究不同的教學(xué)方法對學(xué)習(xí)成績的影響，所涉及的自變量就是“教學(xué)方法”；再比如，要研究語言難度與內(nèi)容熟悉程度對閱讀理解的影響，就要涉及“語言難度”和“內(nèi)容熟悉程度”這兩個(gè)自變量。從另一個(gè)角度看，“因素”也可以稱為“分組變量”，因?yàn)槲覀円栽撟兞繛闃?biāo)準(zhǔn)把因變量（我們所收集的數(shù)據(jù)）分成若干組。三、單因素方差分析與多因素方差分析9

四、方差分析的基本原理方差分析是利用F分布來決定幾個(gè)平均數(shù)之間是否有顯著差異。對于一組數(shù)據(jù)，該變異是由各方差代表著數(shù)據(jù)的變異或離散情況個(gè)觀測值之間的差異造成的。如果我們的數(shù)據(jù)是由幾組數(shù)據(jù)組成的，那么數(shù)據(jù)的總變異就來自兩個(gè)方面或是由兩個(gè)變異源造成的：一是各組內(nèi)部的差異——由抽樣所帶來的觀測值之間的差異，我們稱之為“組內(nèi)變異”；二是各組平均數(shù)之間的差異，稱為“組間變異”。四、方差分析的基本原理10五、單因素方差分析1.總變異的分解從以上分析可以看出，方差分析的關(guān)鍵是把數(shù)據(jù)的總變異分解為兩個(gè)部分：反映各組內(nèi)觀測值離散程度的組內(nèi)變異和反映各組平均值之間差異大小的組間變異。因此，我們先來看看如何分解總變異。我們知道，數(shù)據(jù)的變異是用方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來表示的。我們知道，方差的計(jì)算公式為五、單因素方差分析11

我們在分解總變異時(shí)，被分解的實(shí)質(zhì)上是這一部分，即離均差的平方和。為了討論方便，我們先引入幾個(gè)符號：表示數(shù)據(jù)的總變異（即總平方和）表示組間變異（即組間平方和）表示組內(nèi)變異（即組內(nèi)平方和）也有人用RSS表示組內(nèi)變異。RSS為英文residualsumofsquares的縮寫，意為“剩余平方和”。因?yàn)榭偲椒胶偷扔诮M間平方和與組內(nèi)平方和了。我們只要計(jì)算出總平方和與組間平方和，兩者相減就可得出組內(nèi)平方和了。我們在分解總變異時(shí)，被分解的實(shí)質(zhì)上是12

2.單因素方差分析的步驟第一步：提出零假設(shè)（即各組數(shù)值或各樣本所來自的總體的平均值之間沒有差異，m表示組數(shù)或樣本數(shù)）。第二步：設(shè)定顯著水平。第三步：計(jì)算總平方和。由于反映整個(gè)數(shù)據(jù)的離散情況，所以用下面的公式式中X——全部數(shù)據(jù)中的每個(gè)觀測值X——所有觀測值的總平均數(shù)。（10.1）2.單因素方差分析的步驟（10.1）13

第四步：計(jì)算組間平方和。由于反映各組平均數(shù)之間的離散情況，所以用下式（10.3）為了計(jì)算方便，一般用下面的公式第四步：計(jì)算組間平方和。由于14第五步：求組內(nèi)平方和。由于總平方和是組內(nèi)和組間平方和之和，所以計(jì)算出和之后，兩者相減，就可得出

當(dāng)然，也可以用公式求出，公式為另一個(gè)簡單一些的公式是（10.6）（10.7）第五步：求組內(nèi)平方和。由于總平方和是組15

第六步：在組間和組內(nèi)平方和的基礎(chǔ)上，計(jì)算總體的組間和組內(nèi)方差估計(jì)值。組間均方為組內(nèi)均方為

第七步：計(jì)算組間與組內(nèi)均方之比F（即檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值）第六步：在組間和組內(nèi)平方和的基礎(chǔ)上，計(jì)算總體的組間和組16第八步：根據(jù)計(jì)算F值時(shí)的分子（組間均方）的自由度（記為）和分母（組內(nèi)均方）的自由度（記為）以及所設(shè)定的顯著水平，查F分布表，得臨界值。根據(jù)方差分析的原理，當(dāng)零假設(shè)不成立時(shí)（即各樣本來自平均值不同的總體），組間變異就會大于組內(nèi)變異，所以我們的預(yù)測是有方向性的，因而方差分析應(yīng)為單尾檢驗(yàn)。第九步：比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值和臨界值。如果前者等于或大于后者，就說明檢驗(yàn)有顯著意義，就可以推翻零假設(shè)，同時(shí)接受備擇假設(shè)；否則，就接受零假設(shè)。第八步：根據(jù)計(jì)算F值時(shí)的分子（組間均方）的自由17第十步：把分析結(jié)果用表格（稱為方差分析表或來源表）的形式整理出來（計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)軟件中的方差分析程序一般也輸出一個(gè)類似的表）：如果差異顯著，則在F值的右上角標(biāo)一“﹡”號（顯著水平為0.05）；如果差異非常顯著，則標(biāo)一“﹡﹡”號（顯著水平為0.01）第十步：把分析結(jié)果用表格（稱為方差分析表或來源表）的形183.單因素方差分析例示我們現(xiàn)在舉例說明單因素方差分析的過程。假如我們要研究一下景記憶（把生詞放在一個(gè)有意義的上下文中）、語義場記憶（把生詞按照義分類）和孤立記憶三種不同的記憶方法對詞匯記憶效果的影響。實(shí)中，我們把被試隨機(jī)分成三組，分別用上述三種方法記憶所選取的生詞同時(shí)設(shè)法控制其它變量，經(jīng)過一段時(shí)間之后，對被試進(jìn)行測驗(yàn)。這里，同的記憶方法為自變量，詞匯測試成績?yōu)橐蜃兞俊０凑沼洃浄椒ǖ牟煌~匯成績被分成三組，數(shù)據(jù)如表10.23.單因素方差分析例示19語言統(tǒng)計(jì)第十章-F分布及其應(yīng)用ppt課件20單因素方差分析的步驟如下：第一步：提出零假設(shè)：（即三種記憶方法沒有造成詞匯測驗(yàn)平均成績的差異）。第二步：設(shè)顯著水平為0.05。第三步：計(jì)算總平方和（公式10.2）第四步：計(jì)算組間平方和（公式10.5）單因素方差分析的步驟如下：第四步：計(jì)算組間平方和（公21第五步：計(jì)算組內(nèi)平方和第六步：計(jì)算組間均方和組內(nèi)均方

第五步：計(jì)算組內(nèi)平方和第六步：計(jì)算組間均方和組22第七步：計(jì)算組間與組內(nèi)均方之比F即檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值）第八步：從F分布表中查檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值F的臨界值：第九步：比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值和臨界值：所以零假設(shè)不成立。第十步：編制單因素方差分析表：第七步：計(jì)算組間與組內(nèi)均方之比F即檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值）234.平均數(shù)差異的多重比較我們說過，方差分析僅能表明各組數(shù)值的平均數(shù)之同是否存在顯著差異，但是不能檢驗(yàn)出具休哪對平均數(shù)之間存在差異。因此，當(dāng)方差分析的結(jié)果表明各平均數(shù)之間存在顯著差異時(shí)，還可以對其進(jìn)行進(jìn)一步的比較分析。至于分析的方法，一個(gè)選擇是t檢驗(yàn)；二是作多次t檢驗(yàn)。最小差異檢驗(yàn)法的公式為（10.8）（10.9）4.平均數(shù)差異的多重比較（10.8）（10.9）24

六、雙因素方差分析由于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)的實(shí)施、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析、結(jié)果的解釋等方面的原因，最常見的實(shí)驗(yàn)研究一般只涉及兩三個(gè)（至多四個(gè)）自變量，與之相應(yīng)，就有雙因素方差分析、三因素方差分析等。這里，我們僅討論最簡單的、也是最常見的多因素方差分析因素方差分析。1.因素實(shí)驗(yàn)適用多因素方差分析的最典型的實(shí)驗(yàn)是因素實(shí)驗(yàn)，它采用的是因素設(shè)計(jì)。在因素設(shè)計(jì)中，研究者同時(shí)操縱兩個(gè)以上的自變量，以觀察其對因變量可能產(chǎn)生什么影響或作用。六、雙因素方差分析25

2.因素與水平實(shí)驗(yàn)研究所涉及的自變量在因素設(shè)計(jì)和方差分析中稱為“因素”（但這與“因素分析”中的“因素”的概念是不同的），每個(gè)因素的不同情況為該因素的值，稱為因素“水平”。3.雙因素方差分析的條件雙因素方差分析僅是單因素方差分析的擴(kuò)展，其應(yīng)用條件是一樣的，即：（1）樣本為獨(dú)立樣本；（2）總體分布為正態(tài)；（3）總體方差相等。2.因素與水平264.雙因素實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)雙因素實(shí)驗(yàn)的典型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如圖10.1所示：4.雙因素實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)275.雙因素方差分析步驟第一步：陳述零假設(shè)雙因素方差分析的零假設(shè)就要涉及兩個(gè)自變量及其交互作用三個(gè)方面：（1）因素A各水平平均數(shù)相等（或其間沒有差異）；（2）因素B各水平平均數(shù)相等（或其間沒有差異）；（3）因素A和因素B對因變量沒有交互作用。第二步：指出方差分析的規(guī)模及數(shù)據(jù)量（也是為了方便以后的計(jì)算）：第三步：為了方便以后的計(jì)算，把原始數(shù)據(jù)整理成一個(gè)簡單的歸納表，給出各格的總和、各格的平均數(shù)、各列的總和、各行的總和以及所有數(shù)據(jù)的總和（即）。5.雙因素方差分析步驟28第四步：計(jì)算各中介項(xiàng)：（1）（求所有數(shù)值的平方和，即把每一個(gè)觀測值先平方，再累加。在有統(tǒng)計(jì)功能的計(jì)算器上可以直接得出）；（2）（所有數(shù)值的總和先平方，再除以所有數(shù)值的個(gè)數(shù)。該項(xiàng)稱為“校正值”，簡稱CF）（3）（把每一列的總和先平方，再累加，最后除以n與q之積）；（4）（把每一行的總和先平方，再累加，最后除以n與q之積）；（5）（把每一格的總和先平方，再累加，最后除以每格內(nèi)觀測值的個(gè)數(shù)）。第四步：計(jì)算各中介項(xiàng)：29第五步：計(jì)算各平方和及其相應(yīng)自由度：總平方和被分解為組間平方和及組內(nèi)平方和在單因素方差分析時(shí)，兩部分：第六步：求均方MS第五步：計(jì)算各平方和及其相應(yīng)自由度：30第七步：求F比值第八步：F檢驗(yàn)設(shè)定顯著水平，然后根據(jù)與各F比值有關(guān)的自由度，查F分布表，得臨界值，并與F值加以比較，以確定因素A各水平平均數(shù)之間是否有顯著差異，因素B各水平平均數(shù)之間是否有顯著差異，以及交互作用是否有顯著意義。第七步：求F比值31第九步：把檢驗(yàn)結(jié)果整理成方差分析表6.雙因素方差分析例示我們現(xiàn)在就以一個(gè)簡單的例子來說明雙因素方差分析的過程。假如所得到的詞匯測試成績?nèi)绫?0.5所示：第九步：把檢驗(yàn)結(jié)果整理成方差分析表6.雙因素方差32

33則雙因素方差分析過程如下：第一步：陳述零假設(shè)：（1）各記憶方法的詞匯測驗(yàn)平均成績沒有差異；（2）兩性別間的詞匯測驗(yàn)平均成績沒有差異；（3）記憶方法與性別兩因素對詞匯測驗(yàn)成績沒有產(chǎn)生交互作用。第二步：方差分析的規(guī)模及數(shù)據(jù)量：，所以該方差分析為雙